如何用二分法求方程的正确近似解

1、 如何用二分法求方程的正确近似解1.函数 有零点吗？你怎样求其零点？2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于4次的方程，类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法. 提出问题思考1:有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就

2、可以找出这个稍重的球？ 思考2:已知函数 在区间(2，3)内有零点，你有什么方法求出这个零点的近似值？ 知识探究(一)：二分法的概念思考3:怎样计算函数 在区间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？ 区间（a，b） 中点值mf（m）的近似值精确度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.562 50.0660.125（2.5，2.562 5）2.531 25-0.0090.0625（2.531 25，2.562 5）2.546 8750.0290.03125（2.531 25，2.5

3、46 875）2.539 062 50.010.015625（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0010.007813思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？ 提示：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？ 思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？ 提示：确定区间a,b，使 f(a)f(b)0 提示：求区间的中点c，并计算

4、f(c)的值 知识探究(二)：用二分法求函数零点近似值的步骤思考3:若f(c)=0说明什么？若f(a)f(c)0或f(c)f(b)0 ，则分别说明什么？ 若f(c)=0 ，则c就是函数的零点； 若f(a)f(c)0 ，则零点x0(a,c)；若f(c)f(b)0 ，则零点x0(c,b).提示： 思考4:若给定精确度，如何选取近似值？ 提示：当|mn|时，区间m，n内的任意一个值都是函数零点的近似值. 思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？xyoxyo考点一： 二分法的概念理论迁移例1下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()精解详析利用二分法

5、求函数零点，必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点.因为A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点答案B1函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的变号零点个数为()A0B1C4 D3解析：由图可知，图象与x轴有4个公共点，有3个穿过x轴，所以共有4个零点，其中有3个变号零点答案：D2下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法答案：B3用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是 ()f(x)的图像在区间

6、a，b上是连续不断的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.A BC D答案：A例2用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.01)考点二： 用二分法求函数零点的近似值精解详析经计算f(1)0，所以函数在1,1.5内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1，经计算f(1.25)0.因为f(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25,1.5)如此继续下去，如下表：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08(1.312

7、 5,1.343 75)1.328 1250.01(1.312 5,1.328 125)1.320 312 50.02因为|1.328 1251.320 312 5|，所以函数f(x)x3x1精确度为的一个近似零点可取为1.328 125.一点通1用二分法求函数的零点应遵循的原则 首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度(精确到给定的精确度)，以决定是停止还是继续计算2用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器完成计算.在计算时可用表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间长

8、度小于精确度的时候，运算结束，区间内的任意一点都可作为函数零点的近似值4用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线应填的内容分别为()A(0,0.5)f(0.25) B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75) D(0,0.5)f(0.125)解析：因为f(0)0，故x0(0,0.5).依二分法，第二次应计算f(0.25)答案：A5证明方程63x2x在区间(1,2)内有唯一实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)证明：设函数f(x)2x3x6.f(1)10，又f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6在区间(1

9、,2)内有唯一的零点，则方程63x2x在区间(1,2)内有唯一实数解设该解为x0，则x0(1,2).取x1，则f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)取x3，则f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0.x0(1.125,1.25)取x41.187 5，则f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，不合格记为f(x)0.因为f(0)0，先取0,16的中点，即x8，用含贵重金属比例8%的配方生产一次，如果产品合格，即f(8)0，则要在0,8内再进行试验；如果产品不合格，即f(8)0，取0,8的中点x4，用含贵重金属比例4%的配方生产一次，如果产品合格，即f(4)0，则要在0,4范围内再进行试验；如果产品不合格，即f(4)0，则要