线性代数复习指导

1、黄先开 辅导地位：历届考生公认的“线性代数第一人”，北京理工大学应用数学系硕士，中国科学院数学与系统科学研究院获博士，美国哈佛大学访问学者，现任北京工商大学数学系主任、教授。授课特点：理论扎实，表达独到，基础为纲，技巧为器，言简意赅，重点突出，伐毛洗髓，效果极佳名师风采：曾被评为北京市优秀青年骨干教师；1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号；曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇，单独完成以及合作完成数学专著10多部。加强计算能力训练 注重综合思维能力培养谈考研线性代数复习考研数学名师黄先开众所周知，教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是：严格按照考试大纲规定的考试内容与考试要求

2、命题，试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主，要加强对考生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查. 根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点，我认为考生在备考阶段的复习，一方面要重视“三基”，通过全面系统的复习，扎扎实实把基础打好；另一方面要注重能力的培养，特别是计算能力和综合思维能力的培养.基础的重要性是不言而喻的，没有基础，其他方面都无从谈起，但较好地把握了基础后，想要进一步有所提高，就必须注重能力的训练了.线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大

3、量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分. 例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组其中试讨论满足何种关系时,(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.分析 本题思路方

4、法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度. 解 方程组的系数行列式(1)当；(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为由可知ai(i=1,2,n)不全为零，不妨设.因为秩r(A)=1，取为自由未知量，可得方程组基础解系为，当,系数矩阵可化为 由于秩r(A)=n1，易知Ax=0的基础解系为评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为而r(B)=1,可方便地求出B的特征值为0,0,0，于是的特征值为从而根据特征值可求出行列式

5、为 评注2 当时，注意到系数矩阵A的秩为r(A)=n-1,而显然为Ax=0的一个解，即可作为基础解系.例2 （2003年数学一）设矩阵 的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A*及，然后计算B=P-1A*P及B+2E，最后求B+2E的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果.解 由又由可得于是 根据可知B+2E的特征值为解 9E-（B+2E） x =0,得基础解系为因此属于的所有特征向量为是不全为零的任意常数.解3E（B+2E） x =0,得基础解系为 为非零的任意常数.评注 本题直接计算，工作量是相当大的

6、.若由定义A =,有若求出A的特征值及对应特征向量, 则B+2E的特征值为及对应特征向量P-1这样就不必求A*. 且根据的特征值为0,0,6，从而A的特征值为1,1,7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关A*的公式结论有：AA*= A*A=|A|E，由此还可推出一系列相关的公式： (2)若A可逆，则A *=| A | A -1, (A*)-1(3) (4) (5) 若A可逆，且为A的特征值，则A*有一个特征值为.例3 （2000年数学一）设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，其中

7、E是4阶单位矩阵，求矩阵B.分析 本题相当于解矩阵方程.若先从A*求出A-1及A，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大.考虑到题设与A*有关，若先用A*A=AA*=|A|E化简，则方便得多.解 由ABA-1=BA-1+3E先右乘A，得 AB=B+3A,再左乘A*，并利用A*A=|A|E，得A*AB=A*B+3A*A,即 |A|B= A *B+3| A |E. 再由|A*|=|A|4-1=|A|3,得 |A|3=8,即 |A|=2.于是有2B=A*B+6E, (2E-A*)B=6E. 故 评注 题设与A*有关时，一般均可考虑利用AA*=A*A=|A|E及其相关公式，结论先化简、再计算.例4 （

8、2003年数学四）设矩阵可逆，向量是矩阵A*的一个特征向量，是a对应的特征值，其中A*是A的伴随矩阵，试求的值.分析 题设与A*有关，先用A A *= A * A =|A|E化简.解 已知A * =，利用A A *=|A|E，有 | A |=，因为A可逆，知 即 解此方程组得a=2, b=1或2.又，由式可知：当b=1时=1; 当b=2时=4.又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设1，2，n为n阶方阵A的n个特征值，则f(1),f(n)为f(A)的n个特征值，其中f(A)为A的多项式.且(2) 若r(A)=1，则A的特征值为1=2=n-1=0,n=a11+a22+ann.(3)

9、 若A B，则|A|=| B|，r(A)=r(B)，特征多项式相同：|E- A |=|E-B|,，从而特征值相同，进而有a11+a22+ann=b11+b22+bnn.例5 （2000年数学三）若4阶方阵A与B相似，矩阵A的特征值为，则行列式|B-1-E|= .分析 利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可.解 由AB，知B的特征值是，于是B-1的特征值是2,3,4,5,从而B-1-E的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B-1-E|=1234=24.例6 （2001年数学一、三）设则A与B(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同

10、且不相似.分析 本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又r(A)=1，其特征值为显然A、B为实对称矩阵，且AB，于是A与B也合同.故应选（A）.评注 当A、B为实对称矩阵时，若AB，则A、B有相同的特征值xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数A与B合同.但若A、B为非对称矩阵，则A与B不合同（合同矩阵必为对称矩阵）.例7（2007年数学一至四） 设矩阵, ,则A与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 解 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似. 又r(A)=r

11、(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(A) .评注1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值.2)若A、B为实对称矩阵, 则 A与B合同 r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数. 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：行列式|A|=0矩阵A不可逆秩r(A)nA的行（列）向量组线性相关Ax=0有非零解=0是矩阵A的特征值可由1，2,，n惟一线性表示=x1a1

12、+x22+xnnAx=有惟一解x=(x1,x2,xn)T, A=(1, 2, n)r(A)=r(A)=n|A|0Ax=0只有零解=0不是A的特征值AB=0A(b1,b2, bs)=0, B=( b1, b2, bs)Abj=0, j=1,2,sb1,b2,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)n)若bj0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值j=0的特征向量AB=CA(b1, b2, br)=(C1, C2, Cr)Abj=Cj,j=1,2,rbj为Ax=Cj的解.C1, C2, Cr可由A的列向量组1, 2, s线性表示.r(C)=r(AB)r(A)或r(B).例8 （2003年数学一）设向量

13、组I: 1, 2, r可由向量组II：1,2,s线性表示，则(A) 当rs时，向量组II必线性相关.(C) 当rs时，向量组I必线性相关.分析 本题可由定理“若1, 2, s可由1, 2, t线性表出，且st，则1, 2, s线性相关”，直接得正确选项(D).若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论用秩来判定：由题设，存在sr矩阵P，使(1, 2, r)=( 1, 2, s)Psr,则r(1, 2, r)=r( 1, s)Pr(1, s)s.当rs时，有r(1, 2, r)sr，此时1, 2, r必线性相关.例9 （2002年数学一、二）已知4阶方阵A=1, 2, 3

14、, 4), 1, 2, 3, 4均为4维列向量，其中2，3，4线性无关，1=22-3，如果=1+2+3+4,求线性方程组Ax=的通解.分析 本题可将A=(1, 2, 3, 4),=1+2+3+4及x=代入Ax=，找出具体的方程，再按通常方法求解.也可由=1+2+3+4即可由1, 2, 3, 4线性表示，相当于已知为Ax=的特解，及1-22+3+04=0与2, 3, 4线性无关知为Ax=0的基础解系.再根据解的结构理论知Ax=的通解为，k为任意常数.评注 Ax=的解与可由A的列向量组线性表示之间可相互转换.例10 已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x, Ax, A2x线性无关，且满足A3x=

15、3Ax-2A2x.(1) 记P=(x, Ax, A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2) 计算行列式|A+E|.分析 A=PBP-1AP=PBP-1AP=B.本题(1) 有多种方法求解：设法求出A的特征值、特征向量；将B的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论，由已知一组关系式：Ax=Ax,A2x=A2x,及A3x=3Ax-2A2x合并起来有(Ax,A2x,A3x)=( A x,A2x,3 A x-2A2x), 即 A(x, Ax, A2x)=(x, A x,A2x), 也即AP=P，可方便地求得B=.至于行列式的计算可用特征值(A、B有相同特征值)或相似矩阵计算即可(AB

16、A+EB+E). 评注 从本题可见，矩阵运算AB=C与关系式Abj=Cj之间的转换可化为线性方程组的解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题. 例11 设A、B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)33满足aij=

17、Aij (i,j=1,2,3),Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,计算行列式|A*B-A*+B-E|.分析 由 |A*B-A*+B-E|= |A*(B-E)+(B-E)|= |(A*+E)(B-E)|= |A*+E|B-E|， 知，只需计算|A*+E|及|B-E|. 若能求出A或B的所有特征值，则问题即可解决.解 由aij=Aij知，AT=A*，于是 AAT=AA*=|A|E，从而|A|2=|AAT|=|A|E|=|A|3，即 |A|2(1-|A|)=0. 于是|A|=0或|A|=1.又A0，不妨设a110,由 |A|=a11A11+a12A12+a13A1

18、3=, 知 |A|=1.由 |E+2B|=|E+3B|=0, 知 为B的两个特征值.因为AB，所以也为A的两个特征值. 设为A、B的另一特征值，根据1=|A|=，得 .又 |A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|B-E|=|AT+E|B-E|.因为 |AT+E|=|(A+E)T|=|A+E| =(+1)(+1) (+1) =,|B-E|=(-1)(-1) (-1)=,故 |A*B-A*+B-E|=.评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多个知识点.例12 设A、B为mn矩阵，则Ax=0与Bx=0同解的充要条件是(A)

19、 A、B为等价矩阵. (B) ATx=0与BTx=0同解.(C) A、B的行向量组等价. (D) A、B的列向量组等价.分析 可用反例通过排除法得到正确选项. 对于(A)，相当于r(A)=r(B)，显然只是必要而非充分条件；对于(B)，例如A=，B=，显然Ax=0与Bx=0同解，但ATx=0与BTx=0并不同解，排除(B)；对于(C)、(D)，考虑A=，B=，显然A、B的列向量组等价，但Ax=0与Bx=0不同解，排除(D)，故应选(C).评注 本题综合考查了矩阵等价、向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.对于(C)成立，也可这样证明：若Ax=0与Bx=0同解，考虑 (I) Ax=0， (II

20、)， (III)Bx=0.则易知(I)、(II)、(III)同解，从而有r(A)=r=r(B)，由此可推导出A、B的行向量组等价.反过来，若A、B的行向量组等价，令=， B=，即列向量组与等价，于是存在矩阵P、Q，使()= ()P， ()=()Q，即A=PTB, B=QTA.从而由Ax=0有Bx=QTAx=0；反过来，由Bx=0，有Ax=PTBx=0，即Ax=0与Bx=0同解.例13 设A为三阶矩阵，是A的三个不同特征值，对应特征向量为，令.(1)证明线性无关；(2)若，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|.分析 证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩r(A-E)及行列式|A+2E|，由于不

21、知道A的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出A的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同的秩及行列式求解即可.解 (1)设， 由题设，于是，代入整理得.因为是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式，必有，故线性无关.(2)由有=，令P=，则P可逆，且P-1AP=B.即AB，于是A-EB-E，A+2EB+2E.从而有r(A-E)=r(B-E)=r=2, |A+2E|=|B+2E|=6.评注 本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.例14 设随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察6次，用Y表示观察值大于的次数， 又已知A=具有重特征值.(1)求A可对角化的概率；(2)当A可对角化时，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵.分析 Y服从二项分布B(6，p)，其中p=P，而判定A可对角化，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相等：n-r(E-A)=，将可对角化问题转化为特征矩阵E-A的秩：r(E-A)=n-，由此确定Y的取值及其相应概率.解 (1)由于P，于是YB. 若为重根，则22-82+10+Y=0，即Y=2. 此时A=，|E-A|=(-2)2(-6).特征值为.因为r(2E-A)=r=1，属于特征值的线性无关特征向量个数为3-r(2E-A)=2，表明A可对角化.若为非重根，则有重