人口发展模型

1、八十年代以来我国人口发展的数学模型和展望摘要以LESLIE矩阵构建人口的动力学方程，建立了 80年以来中国人口的数学模 型，并用人口普查的数据验证了该模型的有效性及所含假设的合理性。利用该模型 可推算82年至98年的逐年的以岁为单位的年龄构成。通过调整模型中有关参数 及输入的条件，定量地分析了“夫妻双方均为独生子女可生两胎”这一政策将在 未来15年内对我国人口的影响。所建模型有很好的移植性，理论上来讲可推测很长一段时期内任一年的年龄 结构，并可通过调整参量定量分析一部分人口政策及社会因素对人口发展的影响， 可供有关研究及政策制定部门参考。社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。而人

2、口普查只能 为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时 间点的人口总数及其构成。于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信 息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。同时我们知道，人口与政策密 切相关，这一点对于自80年起实施“一对夫妇只生一个孩子”的中国更是如此。 为了定量分析政策对它的影响，也需要建立一个现实的，可靠的模型。这两方面 的原因促使作者从人口发展的动力学机制出发，建立一个含多方面参量包括政策 参量的数学模型。本文由五部分构成：第一部分介绍人口学中部分专业词汇的定义；第二部分 模型的建立和检验。第三.四部分为该模型的两个应用，针对缺乏相关参量的直

3、接 统计数据是两种不同的处理方法。第五部分为总结和讨论。0.数据定义这部分介绍本文中出现的人口学名词并加以简单分析。年龄别生育率：某年的某年龄妇女生的孩子数与该年龄妇女总数之比。总和生育率：某年各年龄组妇女生育率的合计数。即总和生育率=各年龄组妇女生育率之和我们可以把年龄别生育率看作一个妇女在该年龄时平均生的孩子，于是各个 不同年龄段的生育率分布可以看成一个妇女处在不同年龄段生育孩子数的分布。 我们把这一分布称为生育模式。而总和生育率等于每个妇女一生中一共生育的孩 子数。出生率：某年的出生人数与该年总人数之比。年龄别死亡率：某年的某年龄死亡的人数与该年龄总人数之比。模型的建立(一).LESLI

4、E 矩阵(一).LESLIE 矩阵首先，我们要找到描述人口变化的方程。目前我国的移民现象很少见，我们 可以认为中国人口是一个封闭的系统。定义气(i)为第n年i岁的人数，d (i)为第 n年年龄为i的人的死亡率，b (i)为第n年年龄为i的妇女生的孩子数与该年龄妇女数的比例，即i岁的妇女的生育率。则当i 1时，A 1(/) = A (/ - 1) * 1 - d (1)。我国人口男女比大约1.05，我们在这里忽略这种 差别，近似为1，则A (0) = Z 1/2 * A (i) * b (i)。用矩阵来表示上述关系，得nb (0)/2b (1) / 2.,.b (i)/21 - d (0)0.0

5、01 - d (1) .0 0.0. 1 - d (i).A (1).A (i).T，An +1其中，A =Ia (0)到由于80岁以上的老人所占比重很小且对于人口的增长已经没有影响(他们 不可能再生育)，在本文的模型中，常常只考虑80岁以下的人的情况。其实，的维度只要大于一定值就可以了，在问题处理过程中是可以变化的。(二).参量的确定LESLIE矩阵本身是普适的人口动力学方程，而不同历史，社会条件下的人口 发展模式特点是由其中的参量来描述的，也就是b (i)和dn (i)。它们都是随时间 变化的量，是诸多因素共同作用的结果。我们不可能找到这些参量每年的精确数 值，因此作一些假设和近似是必要的

6、。1.生育率b (i)如第一部分数据分析中分析的那样，我们把某个时点的妇女的生育年龄分布 同时看作一个妇女一生中生育孩子数的分布.于是某个时点的综合生育率等于一 个妇女一生中生育的孩子数。考察城市和人口的生育的年龄结构，我们发现两者 有很大的不同。250市村城农50 -图一 98年中国城乡妇女生育率年龄分布从图中, F们发现农村妇女的总和生育率明显高于城市妇否，伺时她们的 生育高峰也比城市妇女早一些，且计划生育政策及其执行情况也有很大的不同， 所以本文中将把这两种情况分开讨论。即A (0) =Ar u(0) Au r0) = Z bru (i)Al-ru (i)乎 Z buri)Anur EM

7、 2n +1n +1n +1nnnnii知道了 A ( i )，我们可以用城乡人口比来得到A ( i )和A心(i )。受到生理条件的限制，生育率关于年龄的相对分布应该是一个变化缓慢的量。 我们假定在没有政策性变化时(如限制生育年龄，或允许多育)，它是恒定的。于 是如果知道某年的总和生育率，结合图一给出的98年的分布，便可得到当年的具 体分布：b98(i)/Z b98(i)* z bn (i)i如果我们把总和生育率Z b (i)表示为B，则ib (i)=b (i)/B *Bn98而总和生育率B是比较容易获得的。2.年龄别死亡率dn( i)年龄别死亡率分布数据很少，事实上， 假定死亡率不变。而通

8、过后面的计算发现， 合的很好。即使在未来的很长一段时间内，98 n作者只找到了 89年一例，于是只能先 这个假设和我国80年至今的情况符只要没有医学上大的革命，这个量的变化将很小。因此，本文中把它当成常量处理。所用数据为89年的统计（中国统 计局数据服务DUS2-42），如图所示（三）.82年一90年的人口变化及假设的验证对于80年代的人口，我们掌握的材料比较充分，如逐年的城乡总和生育率， 82年和89年的人口年龄结构，历年城乡人口比例等。我们用82年的数值作为初 始条件，用上述模型推算至90年的分布，再和普查数据比较，以此检验我们的 模型及相关假设。结果如以下图所示。图三：90年中国人口年龄

9、分布比较两条曲线，发现它们吻合的相当不错，尤其是10岁以后的曲线，差别非 常小。由于这部分人口的发展只受死亡率的影响，说明我们把（/）作为常量处理 是合理的。（这也说明我国二十年来医疗技术的进步还没有对人口产生大的影响） 而10岁以前的曲线也基本吻合，最大误差在5%以内。由此，关于生育率的年龄 的相对分布的假设也是合理的。至此，模型的有效性得到了证明。9098年的人口发展和上一阶段不同，这一时期的人口统计数据不够充分，尤其是总和生育率的 数据的缺乏，使这一阶段的处理方法和90年以前不同。a（,）对, 1的情况仍可 按刚才的方法处理，但对于A （0），在没有总和生育率时，就不能得到8 （），也

10、就不能用LESLIE矩阵法了。作者用第n年的出生率x人口总数二第n+1年的0岁 的人数得到a 1（0）。而人口总数和总出生率都是比较容易获得的数据。用上述方 法可以得到90-98年逐年的年龄构成，98年的分布见下图这种处理方法只能用来求过去的时点的年龄结构，而不能用与人口的预测， 因为将来的时点的人口总数和出生率也是未知的。而LESLIE矩阵则从人口发展的 动力学机制出发，因而可以用来预测未来的情况。第四部分就是一个例子。2015年人口分布的预测这一部分主要采用本文第一部分阐述的方法分析“夫妇双方均为独生子女可 生育两个孩子”这一政策将给我国人口造成的影响。我国农村妇女的总和生育率 在计划生育

11、实行后一直维持在1.5以上，而在80年代初有2.0左右，也就是说， 即使在2000年后，农村独生子女的比重很小，而夫妻均为独生子女的概率更小， 于是可以认为该政策对农村的影响可以忽略，农村生育模式不变。而城市的总和生 育率自80年代起非常接近1，我们认为所有的80年以后的城市出生的都是独生 子女，于是前述政策对城市的影响很大。下面是定量分析。考察98年我国农村分 胎次的生育率年龄分布：180(丑氽什)51520253035404550年龄农村每个妇女平均有0.457个二胎，而城市平均只有0.146个，但是它 们的相对分布确实非常相近的。事实上，从图中可以看出，把城市妇女的第二胎 的生育年龄结构

12、按比例（0.457/0.146）放大后和农村妇女的相应的分布形状基本 相同。这是容易理解的，由于受到生理条件的限制，在没有其他政策性引导的情况 下（如规定生第二胎的最早年龄），妇女生两胎的年龄相对分布应基本稳定。另外, 我们还发现，在35岁后生育的概率很小，于是从最早的独生子女开始生育到他们 35岁这一时期（即大约20002015），我国城市妇女的生育模式逐渐向两胎过渡。 而她们的孩子这时还未到生育年龄，于是可以认为生育年龄分布向两胎变化，到 2015年完全达到。也就是说，到2015年，城市妇女的生育年龄结构可看成第一 胎和第二胎的叠加。我们假定第一胎的生育模式不变（其实观察上图可知，图形 应

13、该变尖锐一些，且峰将提前，但鉴于变化过于复杂，本文不讨论）。对于第二胎， 我们把98年农村妇女的二胎的年龄分布按比例放大到总和生育率为1。这样我们就得到了二胎完全普及的2015年中国城市的生育模式。从1998年到2015年，我们考虑最简单的情况，即假定变化是线性的，可得各年的生育率，即(i)。同 n时，我们假定dn(i)和城乡比不变。事实上，从80年到98年的数据来看，城乡比 变化缓慢。而且，在1998-2015年这段时间内，城市和农村的总和生育率比较接 近，平均都在1.5左右，所以城乡比有几个百分点的差别并不会太影响结果。用上述方法得到的2015年的人口分布如图。2.521.51_ 0 10

14、,20 _ 3040, 50_ 印八，70, 第0.5图六：观察上图，我们发现，从82年到2015年我国人口的年龄分布变化是非常剧 烈的。但总的来说，曲线趋于平坦，也就是说，人口结构慢慢由均匀化的趋势。 虽然“实行二胎政策”将使我国2015年时0-10岁的人口增加10%左右，但从年 龄结构均匀的角度来，这种增加却是有益的。它有利于我国人口的发展趋向平衡。总结本文以LESLIE矩阵为动力学方程，建立了我国八十年代以来人口发展的模 型。在用统计数据验证了模型有效性的基础上，介绍了两个应用，即90年至98 年我国人口的年龄结构和实行“夫妇双方均为独生子女课生育两个孩子”的影响 的定量分析。这两个例子分别针对缺乏相关参量的直接统计数据的两种不同的处 理方法：第一个例子用相同时点的其它人口量的数据来弥补这种缺失；第二个用 已知时点的参量数据推测所需时点的该参量的值。用该模型可以得到详尽的逐年的人口年龄分布，为社会其它领域，如教育，商 业等的发展规划提供必要的人口信息。用它做短期的人口预测是十分理想的。同 时，这一模型的应用十分灵活的，通过调整模型的参量，可以定量的分析许多 因素对人口的影响，也可以通过观察人口结构的变化分析其它社会因素的影响的