商务统计学第九章课件

1、商务统计学第九章相关分析1. 变量间的关系2. 相关关系描述3. 相关关系测度函数关系1. 是一一对应的确定关系2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。xy相关关系(correlation)1.变量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3.当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个xy相关分析(correlation analysis) 相关分析是用来度量变量之间关

2、系的技术，通常借助的工具有散点图和相关系数等。相关关系描述 （a）不完全正线性相关（b）不完全负线性相关（c）完全正线性相关 （e）曲线相关（d）完全负线性相关（f）不相关相关系数(correlation analysis) 相关系数是度量两个数值型变量之间线性相关程度的统计量。 总体相关系数： 样本相关系数： 相关系数(correlation analysis)相关系数(correlation analysis) （1）相关系数 在-1，1之间取值。 ：两个变量呈完全线性相关，即线性函数关系。 越接近1，表明线性关系程度越强； 越接近于0，表明线性关系越弱。 （4）相关系数 具有对称性。（3

3、）相关系数 是一个无量纲的数值，不受变量计量单位的影响。（2） ：两个变量呈正线性相关； ：两个变量呈负线性相关； ：两个变量之间不存在线性关系，但有可能存在非线性关系。本质上，这里的相关系数是用来测度变量间线性关系的，因此，通常又称线性相关系数。相关分析 【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用、销售价格、其它公司平均销售价格等之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量的相关数据。 依据这些数据分析牙膏销售量与其它变量的相关关系。相关分析表

4、牙膏销售量的相关数据销售周期销售量/百万支广告费用/百万元销售价格/元其他公司平均销售价格/元17.385.5013.8513.80 28.516.7513.7514.0039.527.2513.7014.3047.505.5013.7013.7059.337.0013.6013.85.269.216.8013.6514.25278.276.5013.7013.65287.675.7513.7513.75297.935.8013.8013.85309.266.8013.7014.25相关分析解 绘制散点图如下：（a）销售量与广告费用（b）销售量与销售价格（c）销售量与其他公司平均销售价格正相关

5、负相关正相关密切关系程度：（a）（c）（b）相关分析解 利用收集到的牙膏销售量与广告费用数据，计算：即牙膏销售量与广告费用之间的相关系数为0.8760。同样方法，可计算得到：牙膏销售量与销售价格之间的相关系数为-0.4692，牙膏销售量与其他公司平均销售价格之间的相关系数为0.7409。相关分析解 CORREL函数、PEARSON函数都能实现返回两个变量间相关系数的功能。语法结构相同，为CORREL（array1，array2）PEARSON（array1，array2）其中，array1、array2为两变量观察数据所在区域。相关分析 图 Excel相关系数的运算结果小结1. 变量间的关系相

6、关关系描述 散点图相关关系测度 相关系数思考练习 有人曾测算得到：义务教育阶段学生的阅读能力与其脚尺寸之间的相关系数为0.91，二者的相关关系是怎样的？是否可据此推导出如下结论：脚尺寸越大的人阅读能力越好？为什么？一元线性回归模型描述1. 一元线性回归模型古典线性回归模型假设条件回归方程、回归直线样本回归方程、样本回归模型回归分析(Regression)依据观察数据构建回归方程，即寻找一个适当的数量关系式来描述变量间平均的数量变化关系对回归方程的可信程度进行检验，并从影响一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的利用经过检验的数量关系式，依据一个或几个变量的取值来解释或预

7、测另一个特定变量的取值1.被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)2.用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)回归分析(Regression)回归分析(Regression)回归分析类型一元线性回归分析 当回归分析中仅涉及一个自变量，且自变量与因变量之间为线性关系时称为一元线性回归分析一元线性回归模型描述因变量 如何依赖于一个自变量 和误差项 的线性方程称为一元线性回归模型一元线性回归模型可表示为 表示自变量的各个取值 表示对应的因变量取值误差项 是随机变量0 和 1 称为模型的参数古典线性回归模型假设条件 假

8、设一：正态性 随机误差项 是一个服从正态分布的随机变量。 假设二：零均值 随机误差项 的数学期望为0。 假设三：同方差 对于所有的 取值，随机误差项 的方差相同。 假设四：独立性 对于一个特定的 ，它所对应的 与其他 所对应的 不相关。回归方程描述因变量 的数学期望、平均值如何依赖于自变量 的线性方程称为回归方程一元线性回归方程绘制的是二维坐标系中的一条直线，称为回归直线 0是直线在 轴上的截距 1是直线的斜率， 称为回归系数，表示自变量每变动一个单位时， 的平均变动值。回归方程利用观察数据计算出 和 的估计量 和 带入到回归方程中， 用 作为回归方程的估计，记为 该方程称为样本回归方程与考虑

9、随机误差项的回归模型相对应，样本回归模型可记为 其中， 称为残差，是观察数据与估计值之间的误差。小结1. 一元线性回归模型古典线性回归模型假设条件回归方程、回归直线样本回归方程、样本回归模型思考练习1.阐述相关分析与回归分析两种方法间的关系。2.使用普通最小二乘法估计一元线性回归模型的参数时， 模模型中的随机误差项需要满足哪些条件？最小二乘法(Method of Least Squares )一元线性回归模型样本回归方程一元线性回归模型构建1.最小二乘法2.正规方程组3.一元线性回归模型构建实例最小二乘法(Method of Least Squares )一元线性回归模型样本回归方程图 最小二

10、乘法的思路最小二乘法(Method of Least Squares )回归直线应满足的条件是：全部观察值与对应的估计值的离差平方和的总和为最小，即残差平方和最小。此准则称为最小二乘准则或最小平方准则，依据此准则估计回归模型参数 、 的方法就是最小二乘法。最小二乘法(Method of Least Squares )正规方程组整理得正规方程组正规方程组最小二乘估计的性质一元线性回归模型构建实例 【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期

11、为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回归方程，解释回归系数的意义。一元线性回归模型构建实例表 牙膏销售量与广告费用的数据销售周期销售量/百万支广告费用/百万元17.385.50 28.516.7539.527.2547.505.5059.337.00269.216.80278.276.50287.675.75297.935.80309.266.80一元线性回归模型构建实例解 表示广告费用， 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到：一元线性回归模型构建实例解 广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为： 回归系数 表示广告费用每增加1百万元，

12、牙膏销售量平均增加1.043百万支；广告费用每减少1百万元，牙膏销售量平均减少1.043百万支。一元线性回归模型构建实例解 INTERCEPT函数的功能是返回依据观察数据构建的线性回归直线截距，SLOPE函数的功能是返回依据观察数据构建的线性回归直线斜率。二者的语法结构相同，为INTERCEPT（known_ys，known_xs）SLOPE（known_ys，known_xs）其中：known_ys为因变量观察数据所在区域；known_xs为自变量观察数据所在区域。小结1.最小二乘法2.正规方程组3.一元线性回归模型构建实例思考练习 利用Excel软件中的LINEST函数求解以广告费用为自变

13、量、销售量为因变量的一元线性回归模型中的参数估计值。一元线性回归方程检验：拟合优度1. 判定系数 回归估计标准误差 一元线性回归方程检验实例一元线性回归方程检验：拟合优度 拟合优度是指样本回归方程对观察数据拟合的优劣程度。判定系数回归估计标准误差 判定系数图 因变量 的离差分解判定系数两侧分别取平方求和由于判定系数总离差平方和回归平方和残差平方和判定系数(三个平方和的意义)1. 总平方和(SST )反映因变量 的总体波动3. 残差平方和(SSE )反映因变量 的总体波动中回归直线无法解释的部分，是自变量 无法解释的部分。2. 回归平方和(SSR )反映因变量 的总体波动中可由回归直线做出解释的

14、部分，即由自变量 可以解释的部分。判定系数(三个平方和的意义)总平方和(SST )反映因变量 的总体波动回归平方和(SSR )反映因变量 的总体波动中可由回归直线做出解释的部分，即由自变量 可以解释的部分残差平方和(SSE )反映因变量 的总体波动中回归直线无法解释的部分，是自变量 无法解释的部分。判定系数1. 回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在 0 , 1 之间 R 2 1，说明回归方程拟合的越好；R 20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R 2r 2回归估计标准差均方误差回归估计标准差一元线性回归模型检验实例 【例】一大型牙膏制造公司为了更好

15、地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回归方程，计算牙膏销售量对广告费用回归的判定系数和回归估计标准误差，解释其意义。一元线性回归模型检验实例表 牙膏销售量的相关数据销售周期销售量/百万支广告费用/百万元17.385.50 28.516.7539.527.2547.505.5059.337.00269.216.80278.276.50287.675.75297.935

16、.80309.266.80一元线性回归模型检验实例解 表示广告费用， 表示牙膏销售量。 利用观察数据计算得到广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为 计算得到 一元线性回归模型检验实例解 判定系数的实际意义是：在牙膏销售量的波动中，有76.73%可以由牙膏销售量与广告费用之间的线性关系来解释，或者说，在牙膏销售量的波动中，有76.73%是由广告费用所决定的。 回归估计标准误差0.3344亿元说明的是依据广告费用来预测牙膏销售量时，平均的估计误差为0.3344亿元。一元线性回归模型构建实例解 RSQ函数的功能是返回依据观察数据构建的线性回归方程的判定系数。STEYX函数的功能是返回通过最小二乘法预测

17、每个自变量 所对应的因变量 的取值时所产生的标准误差。二者的语法结构相同，为RSQ（known_ys，known_xs）STEYX（known_ys，known_xs）其中：known_ys为因变量观察数据所在区域；known_xs为自变量观察数据所在区域。小结1. 判定系数 回归估计标准误差 一元线性回归方程检验实例思考练习 一元线性回归分析中，判定系数 和相关系数 之间 存在怎样的数量关系？试证明下。一元线性回归方程检验：可靠程度1.回归方程的检验2. 回归系数的检验3.一元线性回归方程检验实例 一元线性回归方程检验：可靠程度 可靠程度是检验自变量 对因变量 的线性影响是否显著。 回归方程

18、检验：F 检验 回归系数检验：t 检验回归方程检验判断自变量 作为一个整体和因变量 之间的线性关系是否显著的。一元线性回归分析中，原假设与备择假设：回归方程检验构建统计量采用的是方差分析思路，即将因变量观察值的离差分解为回归离差和残差，检验由自变量 的线性影响而引起的离差是否显著。回归方程检验回归方程检验原假设 成立时，有相互独立构建统计量回归方程检验利用观察数据计算出检验统计量 的值，结合给定的显著性水平 ， 利用临界值 或 值进行比较。如果 或 ，则拒绝原假设 ，说明自变量 和因变量 的线性关系是显著的。反之，如果 或 ，则不能拒绝原假设 ，说明自变量 和因变量 的线性关系是不明显的。回归

19、系数检验判断每一个自变量 和因变量 之间的线性关系是否显著的，也就是检验每一个自变量 的回归系数是否与0有显著区别一元线性回归分析中，原假设与备择假设：回归系数检验构建统计量依据的是其点估计量 的抽样分布回归系数检验原假设 成立时，有回归系数检验如果 值落在 之外，即落在拒绝域 ，或 ，则拒绝原假设 ，说明该自变量 的回归系数是显著不同于0的，也就是说，该自变量 与因变量 之间存在显著的线性关系。反之，如果 值落在 之内，即落在拒绝域之外，或 ，则不能拒绝原假设 ，说明该自变量 的回归系数与0的区别是不显著的，该自变量 与因变量 之间不存在显著的线性关系。一元线性回归模型检验实例 【例】一大型

20、牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回归方程，在显著性水平0.05下，检验牙膏销售量与广告费用之间线性关系的显著性；检验广告费用的回归系数是否显著性。一元线性回归模型检验实例表 牙膏销售量的相关数据销售周期销售量/百万支广告费用/百万元17.385.50 28.516.7539.527.2547.505.5059.337.00269.216.80

21、278.276.50287.675.75297.935.80309.266.80XY一元线性回归模型检验实例解 表示广告费用， 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为 依题意，原假设和备择假设为一元线性回归模型检验实例解 计算检验统计量 拒绝域临界值为 检验统计量的取值大于临界值 因此，拒绝原假设，认为牙膏销售量与广告费用之间的线性关系是显著的。 值利用在Excel中录入：FDIST（92.32，1，28）得到， ，拒绝原假设。一元线性回归模型检验实例解 计算检验统计量 拒绝域临界值为 检验统计量的取值落在两个临界值之外 因此，拒绝原假设，认为广告费用的回归系

22、数显著不同于0 。 值利用在Excel中录入： TDIST（9.608，28，2）得到， ，拒绝原假设。小结1.回归方程的检验 F 检验2.回归系数的检验 t 检验3.一元线性回归方程检验实例思考练习 线性回归分析中 检验和 检验之间有何不同？一元线性回归方程预测1. 因变量均值的预测因变量个别值的预测一元线性回归方程预测实例一元线性回归方程预测根据自变量 X 的观察值来估计因变量 Y 的取值估计或预测的类型点估计Y 的平均值的点估计Y 的个别值的点估计区间估计Y 的平均值的置信区间估计Y 的个别值的预测区间估计因变量均值的预测样本回归方程和总归回归方程分别为：由于因变量均值的预测因变量均值的

23、预测标准化处理在置信水平 下， 的置信区间为因变量个别值的预测总体回归模型和样本回归方程分别为：因变量个别值的预测因变量个别值的预测标准化处理在置信水平 下， 的置信区间为一元线性回归模型预测实例 【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回归方程，计算广告费用投入为6.75百万元时，牙膏销售量均值和个别值的点预测，以及在它们分别在置信水平

24、0.95下的置信区间和预测区间。一元线性回归模型预测实例表 牙膏销售量的相关数据销售周期销售量/百万支广告费用/百万元17.385.50 28.516.7539.527.2547.505.5059.337.00269.216.80278.276.50287.675.75297.935.80309.266.80一元线性回归模型预测实例解 表示广告费用， 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到广告 费用对牙膏销售量的样本回归方程为 牙膏销售量均值和个别值的点预测相同，为（百万支）一元线性回归模型预测实例解 FORECAST函数、TREND函数的功能相同，都是通过最小二乘法在给定自变量 的取值情况下，

25、返回因变量 的点预测值。语法结构为FORECAST（x，known_ys，known_xs）TREND（known_ys，known_xs，new_xs，const）其中，const为trend函数的逻辑值，如果const为1（或true），则预测线性回归方程截距正常计算，如果为0（或false），则将预测线性回归方程截距设置为0。一元线性回归模型预测实例解 已知 ， ， 牙膏销售量均值的置信区间为牙膏销售量均值在置信水平0.95下的置信区间为：（8.55百万支，8.83百万支）一元线性回归模型预测实例解 已知 ， ， 牙膏销售量个别值的预测区间为牙膏销售量个别值在置信水平0.95下的预测区间

26、为：（7.99百万支，9.39百万支）小结1. 因变量均值的预测因变量个别值的预测一元线性回归方程预测实例思考练习 在牙膏广告费用和销售量的实例分析中，利用什么软件工具可以帮助人们计算得出广告费用投入为6.75百万元时，牙膏销售量均值和个别值的置信区间和预测区间。一元线性回归分析实例应用1. 一元线性回归分析实例2. 一元线性回归分析应用一元线性回归分析实例 【例9.1】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售

27、量与广告费用的数据。 （1）以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回归方程，解释回归系数的意义； （2）计算判定系数，解释其意义。 （3）当广告费用投入为6.75百万元时，根据建立的一元线性归回方程预测该公司牙膏的销售量。一元线性回归分析实例表 牙膏销售量的相关数据销售周期销售量/百万支广告费用/百万元17.385.50 28.516.7539.527.2547.505.5059.337.00269.216.80278.276.50287.675.75297.935.80309.266.80XY一元线性回归分析应用解 表示广告费用， 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到：一元线性回归

28、分析应用解 广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为： 回归系数 表示广告费用每增加1百万元，牙膏销售量平均增加1.043百万支；广告费用每减少1百万元，牙膏销售量平均减少1.043百万支。一元线性回归分析应用解 判定系数 判定系数的实际意义是：在牙膏销售量的波动中，有76.73%可以由牙膏销售量与广告费用之间的线性关系来解释，或者说，在牙膏销售量的波动中，有76.73%是由广告费用所决定的。一元线性回归分析应用解 牙膏销售量的点预测为 当广告费用投入为6.75百万元时，根据建立的一元线性归回方程预测该公司牙膏的销售量为8.69百万支。（百万支）一元线性回归分析应用 图 “回归”工具输出结果小结1

29、. 一元线性回归分析实例2. 一元线性回归分析应用思考练习 为研究一地区住宅建筑面积与建造单位成本间的变化关系，一房地产商收集了相关数据。 （1）构建建造单位成本与住宅建筑面积的线性回归方程； （2）解释回归系数的经济意义； （3）当住宅建筑面积为5.0万平方米时，建造单位成本可能为多少？在置信水平95%下，计算建造单位成本平均数的置信区间。思考练习表 一地区住宅建筑面积与建造单位成本的数据住宅建筑地住宅建筑面积/万平方米建造单位成本/（元/平方米）10.60186020.95175031.35171042.10169052.56168863.89162075.16159885.6615369

30、6.111518106.231500多元线性回归分析1. 多元线性回归模型描述多元线性回归方程构建多元线性回归方程检验多元线性回归分析 当回归分析中涉及两个或两个以上的自变量，且自变量与因变量之间为线性关系时称为多元线性回归分析。多元线性回归模型（simple linear regression model）描述因变量 如何依赖于两个或两个以上的自变量 和误差项 的线性方程称为多元线性回归模型多元线性回归模型可表示为 、 、 表示自变量的各个取值 表示自变量的个数 表示对应的因变量取值 、 、 为模型的参数误差项 是随机变量古典线性回归模型假设条件 假设一：正态性 随机误差项 是一个服从正态分

31、布的随机变量。 假设二：零均值 随机误差项 的数学期望为0。 假设三：同方差 对于所有的 取值，随机误差项 的方差相同。 假设四：独立性 对于一个特定的 ，它所对应的 与其他 所对应的 不相关。多元线性回归方程利用观察数据计算出 、 、 、 的估计量 、 、 ， 得到样本多元线性回归方程为样本多元线性回归模型记为 其中， 称为残差，是观察数据与估计值之间的误差。最小二乘法(Method of Least Squares )回归直线应满足的条件是：全部观察值与对应的估计值的离差平方和的总和为最小，即残差平方和最小。此准则称为最小二乘准则或最小平方准则，依据此准则估计回归模型参数 、 、 、 的方

32、法就是最小二乘法。多重判定系数1. 多重判定系数：回归平方和占总离差平方和的比例2. 修正的多重判定系数：用自由度对多重判定系数进行修正。回归估计标准差其中： 为观察数据数目； 为自变量数目当 时，该式即为一元线性回归分析中的回归估计标准误差。回归方程检验判断自变量 作为一个整体和因变量 之间的线性关系是否显著的。多元线性回归分析中，原假设与备择假设：如果原假设成立，构造检验统计量回归方程检验利用观察数据计算出检验统计量 的值，结合给定的显著性水平 ， 利用临界值 或 值进行比较。如果 或 ，则拒绝原假设 ，说明至少有一个自变量的回归系数不为0，自变量与因变量的线性关系总体上是显著的。反之，如

33、果 或 ，则不能拒绝原假设 ，说明所有自变量与因变量的线性关系都不显著。回归系数检验判断每一个自变量 和因变量 之间的线性关系是否显著的， 也就是检验每一个自变量 的回归系数是否与0有显著区别。多元线性回归分析中，原假设与备择假设：如果原假设成立，构造检验统计量回归系数检验利用观察数据计算出检验统计量 的值，结合给定的显著性水平 ，利用临界值 ，或 值进行比较。如果 值落在 之外即落在拒绝域，或 ，则拒绝原假设 ， 说明该自变量 的回归系数是显著不同于0的，也就是说，该自变量 与因 变量 之间存在显著的线性关系。反之，如果 值落在 之内即落在拒绝域之外，或 ，则不能 拒绝原假设 ，说明该自变量

34、 的回归系数与0的区别是不显著的，该自变量 与 与 因变量 之间不存在显著的线性关系。小结1. 多元线性回归模型描述多元线性回归方程构建多元线性回归方程检验思考练习 在多元线性回归分析中，拟合优度的判断为何常用修正的多重判定系数 而不是直接使用多重判定系数 呢？多元线性回归分析实例应用1. 多元线性回归分析实例多元线性回归分析应用多元线性回归分析实例 【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用、销售价格、其它公司平均销售价格等之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量的相关数据。 （1）建立销售额的多元线性回归方程； （2）判断建立的多元线性回归方程拟合优劣程度；在显著性水平0.05下，检验自变量对因变量的线性