函数单调性和凸性判别法

1、关于函数单调性与凸性的判别法第一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月2. 带Lagrange余项的Taylor公式：第二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月带Lagrange余项的Maclaurin公式：第三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月 4 函数单调性与凸性的判别法函数单调性判别法函数的凸性及其判别法第四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月一. 函数单调性的判别法定义第五张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理1证明：第六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存

2、在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,第八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理2证明：第九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第十三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第十四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：注意: 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性第十五张，PPT共八十五页，创作于2

3、022年6月Nove. 17 Mon. Review函数单调性判别法第十六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月例4. 证明时, 成立不等式证: 令从而因此且证第十七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月* 证明令则从而即第十八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月二. 函数的凸性及其判别法问题:如何研究曲线的弯曲方向?第十九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月图形上任意弧段位于弦的上方图形上任意弧段位于弦的下方第二十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定义1若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。第二十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月凹函

4、数凸函数第二十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定义1凹函数凸函数定义2第二十三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理证明：第二十四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第二十五张，PPT共八十五页，创作于2022年6月几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。第二十六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月求拐点的步骤：第二十七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：第二十八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：二阶导数不存在的点也可能是拐点.第二十九张，PPT共八十五页，创

5、作于2022年6月Nove. 23 Mon. Review函数单调性判别法第三十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月函数凸性及其判别法第三十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月若函数可微：凹函数凸函数函数凸性判别法：第三十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月求拐点的步骤：3.考察在这些点的左、右的凹凸性。拐点：第三十三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：导数不存在，二阶导数也不存在。第三十四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月凸凹凹第三十五张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第三十六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第三十七张，P

6、PT共八十五页，创作于2022年6月hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9). p188 1(3,5),2(1),3,5,6.更进一步有不等式：第三十八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月例. 求曲线的凹凸区间及拐点.解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸第三十九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点第四十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月有位于一直

7、线的三个拐点.1.求证曲线 证明：第四十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.第四十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明:当时，有证明:xxxFp2-=sin)(令, 则是凸函数即 2 .(自证)第四十三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月函数的极值：极大值与极小值第四十四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月5 函数极值、函数作图函数的极值与求法；渐近线；函数作图。第四十五张，PPT共八十五页，创作于2022年6月一. 函数的极值与求法定义：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第四十六张，PPT共八

8、十五页，创作于2022年6月第四十七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理1(必要条件)注意:例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).第四十八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理2(第一充分条件)(是极值点情形)第四十九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第五十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月求极值的步骤:(不是极值点情形)第五十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月例1.解列表讨论极大值极小值第五十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月图形如下第五十三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：第五十四张，PPT共八十五页

9、，创作于2022年6月第五十五张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理3（第二充分条件）第五十六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第五十七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月极小值极大值第五十八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月定理3(第二充分条件)第五十九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月例 1. 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；解：第六十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第六十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月证明：第六十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共八十五

10、页，创作于2022年6月解：第六十四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第六十五张，PPT共八十五页，创作于2022年6月小 结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)Hw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.第六十六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月二. 渐近线定义:1.垂直渐近线第六十七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月例如有垂直渐近线两条:第六十八张，PPT共八十五页，创作于2022

11、年6月2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:第六十九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月3.斜渐近线斜渐近线求法:第七十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月注意:第七十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：第七十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：第七十三张，PPT共八十五页，创作于2022年6月三. 函数作图1.函数基本性质：1). 定义域，值域，连续范围；2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶 函数关于y轴对称；3). 周期性。第七十四张，PPT共八十五页，创作于2022年6月2. 利用导数研究函数性质：第七十五张，PPT共八十五页，创作于2022年6

12、月3. 渐近线1). 垂直渐近线；2). 水平与斜渐近线。4. 描点作图 第七十六张，PPT共八十五页，创作于2022年6月解：第七十七张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第七十八张，PPT共八十五页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共八十五页，创作于2022年6月p188 7(1,3,5),8,11(2).p229 4,6,8,9,10(1,4,6,7,9), 12(1),13(1,3),15,20,21,30第八十张，PPT共八十五页，创作于2022年6月列表xyy . 对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线 x =00(拐点)+因00+3极小值+例1.0.间断点第八十一张，PPT共八十五页，创作于2022年6月0 xy3.第八十二张，PPT共八十五页，创作于2022年6月列表x