最新3年高考2年模拟：第六章-数列-第一节-等差数列、等比数列的概念和求和

1、第一节 等差数列、等比数列的概念及求和基础训练1.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B3.(2009安徽卷文）已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】即同理可得公差.选B。【答案】B4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,

2、则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C5.有限数列A=a1,a2,an，Sn为其前n项和，定义 为A的“凯森和”，如有500项的数列a1,a2,a500的“凯森和”为2 004，则有501项的数列2，a1,a2,a500的 “凯森和”为 . 解析 由题意知 =2 004，S1+S2+S500=5002 004=5005014. 501项的数列2，a1，a2，a500的“凯森和”为20026.（2010山东理）（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】

3、（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。例题讲解例1：（2009江西卷文）数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 例2.（2009北京文）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本

4、题是数列与不等式综合的较难层次题.解（）由题意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整数为7，即.（）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.（）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.变式2：（2011江苏）23设整数n4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b1，2，3，n，aB(1)记An为满足ab3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足是整数的点P的个数，求Bn.解：(1)点

5、P的坐标满足条件：1ba3n3，所以Ann3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足题设条件以及ab3k的点P的个数只要讨论fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k.设n13mr，其中mN*，r0，1，2，则km.所以将代入上式，化简得.所以例3.（2010江西理）22. （本小题满分14分）证明以下命题：对任一正整a,都存在整数b,c(bcSk都成立。求证：c的最大值为 eq f(9,2)例4.（2010四川理）（21）（本小题满分12分）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n

6、1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由

7、已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2综上所述，Sn12分变式4：（2011江苏）20设M为部分正整数组成的集合，数列an的首项a11，前n项的和为S n，已知对任意的整数kM，当整数nk时，SnkSnk2(SnSk)都成立(1)设M1，a22，求a5的值；(2)设M3，4，求数列an的通项公式20解：(1)由题设知，当n2时，Sn

8、1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1.从而an1an2a12.又a22.故当n2时，ana22(n2)2n2.所以a5的值为8.(2)由题设知，当kM3，4且nk时，SnkSnk2Sn2Sk且Sn1kSn1k2Sn12Sk，两式相减得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k.所以当n8时，an6，an3，an，an3，an6成等差数列，且an6，an2，an2，an6也成等差数列从而当n8时，2anan3an3an6an6，(*)且an6an6an2an2，所以当n8时，2anan2an2，即an2ananan2，于是当n9时，an3，an1，an1，a

9、n3成等差数列，从而an3an3an1an1，故由(*)式知2anan1an1，即an1ananan1，当n9时，设danan1.当2m8时，m68，从而由(*)式知2am6amam12，故2am7am1am13.从而2(am7am6)am1am(am13am12)，于是am1am2ddD因此，an1and对任意n2都成立又由SnkSnk2Sn2Sk(k3，4)可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk，故9d2S3且16d2S4.解得，从而，.因此，数列an为等差数列由a11知d2.所以数列an的通项公式为an2n1.课堂巩固1.（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）

10、5 （C） （D）解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.（2010辽宁文）（3）设为等比数列的前项和，已知，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】 B解析：选B. 两式相减得， ，.3.（2010辽宁理）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选

11、B。4.（2010广东理）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=A35 B.33 C.31 D.29【答案】C解析：设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即5.（2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C【解析】因为是等差数列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即（2m1）238，解得m10，故选.C。二、填空题6.（2009全国卷理） 设等差数列的前项和为，若,则= 答案 24解析 是等差数列,由,得. 7.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2

12、个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n1时，a114；当n2时，anSnSn15an5an11，所以，又a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn1Sn，得，最小正整数n158.（2010浙江文）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。9.（2009浙江文）设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）

13、若对于任意的，成等比数列，求的值解（）当，（） 经验，（）式成立， （）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 10.(2009山东卷文)等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得所以【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.11. （2009天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设（）若 ,求数列的通项公式；（）若成等比数列，求q的值。（）若（1）解：由题设，代入解得，所以 （2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得（3）证明：由题设，可得，则 -得，+得， 式两边同乘以 q，得所以12.（2009湖北卷文）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.(