函数单调性和曲线凹凸性判别法

1、关于函数单调性与曲线凹凸性的判别法第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月本节要点 本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法数的单调性及曲线的凹凸性.第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月一、函数单调性的判别法 1.问题的提出 设函数 如果函数负, 即如果函数 在在 上单调增加, 则曲线的图形是一条沿 轴正向逐渐上升的曲线, 因而曲线上各点处的切线斜率非ab同样,第三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 由导数的定义及极限的保号性,上单调减少, 则曲线的图形是一条沿 轴正向逐下降的曲线, 因而曲线上各点处的切线斜率非正,

2、即由此可见, 函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系.我们可证明:ab第四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 若可导函数 在区间 上单调增加（减少）, 反之, 我们有定理 （函数单调性的判别法） 若若 有且 则:若 有则对任意的 有则 在 上单调增加;则 在 上单调减少.第五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证 仅证. 则由拉格朗日中又因: 故由此说明函数是单调增加的.值定理, 得第六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例1 判定函数解 因 我们知道, 函数 是的单调性.所以是单调增加的.单调增加的, 但此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点.作为一般结论,

3、 我们有第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定理 若函数 在区间 上可导, 且在例2 设 则所以, 函数 在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由的任何一个有限区间内 仅有有限个零点, 则是单调增加的.上面的定理知函数是单调增加的.第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月水平切线第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例3 讨论函数解 因 所以当即的单调性.是单调减少的; 当增加的. 即函数是单调 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表第十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 注 此例说明了如何去讨论函数的单调性: 若函数点点可导, 则可根据函数的驻点将函数划分成

4、若干个单调区间. 但若函数在某些点不可导, 则此方法不再适用.第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例4 求函数解 函数 的定义域为 并且在区间当 从而将定义域分成三个区间:当 因而函数单调增加;的单调区间.内连续. 的导数为第十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月当 因而函数单调减少;当 因而函数单调增加.第十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月单调下降单调上升第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 结合上面的两个例子, 我们得到求函数单调区间的一 确定函数的定义

5、域; 求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可 根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 般方法:导点;导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的单调性.第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 应用: 证明不等式.例5 证明当 时, 有证 令所以函数 在区间 中是单调增加的, 因而则第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月当 时, 有 注 从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的即基本方法.第十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 问题 证明当 时有: 方法 构造函数 验证 从而函数 在 由此得到: 当 时, 有 在 中连续, 可导;且函数给定

6、的区间上单调增加;即 第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例6 证明 证 令所以所以 在 上单调增加, 从而且第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月由此即得第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月二、曲线的凹凸性及判别法 考察右图中的曲线, 注意到即设点 与点曲线是向下凸的, 即任取曲线上两点, 那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方. 是曲线上任意两点, 那么介于 之间的中点 的函数值满足第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月由此我们引入曲线凹凸性的定义.第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月定义 设函数 在区间 中连续，如果对任

7、意的则称曲线 在区间 内是下凸的（或称凹弧）.都有第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月如果对任意的都有则称曲线 在区间 内是上凸的（或称凸弧）.第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月上下凸性, 则称点 如果函数 的图形在经过点 时改变了的一个拐点.是曲线第二十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月曲线凹凸性判别法1设 且导函数 在内单调增加（减少）, 那么曲线 在 内是下凸（上凸）的.证 设 单调增加, 任取 ，记 由微分中值定理第二十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 从而证明了曲线是下凸的.第二十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月即有如下

8、的: 更进一步地, 如果函数 在区间 有二阶导数, 则如果 则曲线 在 内是下凸的；我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性. 曲线凹凸性判别法2如果 则曲线 在 内是上凸的.第二十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例7 对函数 因 由判别法知曲线 在定义域内是下凸的; 再对函数 因 知曲线 在定义域内是上凸的.第三十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例8 设函数解 当 时,当 时 而当 时, 二阶导数不存求曲线的凹凸区间.在, 从而将函数 的定义域划分成三个区间:第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:第三十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月当当当从而点 是曲线的拐点, 而 不是曲线曲线如下图所示.曲线是上凸的;的拐点.曲线是下凸的;曲线是下凸的.第三十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月第三十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月图形经过下列点:第三十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月 利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式.