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文档简介

1、重点薛定谔方程和定态薛定谔方程一维定态：一维无限深方势阱和一维线性谐振子16.8 薛定谔方程 薛定谔（Erwin Schrodinger，18871961）奥地利理论物理学家。在德布罗意物质波思想的基础上，引入波函数来描述微观客体，提出以薛定谔方程为基础的波动力学，并建立了微扰的量子理论量子力学的近似方法。他是量子力学的创始人之一。薛定谔方程的引入 （1）含有对时间的一阶偏导数，且要求波函数是复数； （2）由态叠加原理，该方程为线性方程； （3）这个方程的系数不应该包含状态参量。（一）描述自由粒子的波函数是单色平面波运动方程的解为求一阶偏导数得E 用非状态参量代替，由非相对论情况得则说明：即可

2、以看出：作如下变换即作用到波函数上（二）处于势场中的非自由粒子它的总能量为作如下变换则得令得哈密顿算符势场中粒子的波动方程薛定谔方程（三）多粒子多粒子体系薛定谔方程定态，不含时间的薛定谔方程令方程解的形式为代入薛定谔方程式得所以若要等式成立，两边应为同一常数 E，即积分得所以方程右边即 当 V 不显含时间 t 时，能量具有确定值，能量不随时间变化的状态称为定态。波函数为定态波函数。上述方程即为定态薛定谔方程： 定态波函数描述的粒子： （1）空间各处的几率密度不会随时间变化； （2）一切力学量（不显含 t ）的平均值也不会改变。16.9 薛定谔方程的应用一维无限深方势阱势能分布为由定态薛定谔方程

3、令则通解为 即在 xa， x0 的区域内，粒子出现的几率为零。令则通解为根据函数的连续性，有代入得即（一）能量量子化（能级）（1）基态和激发态（2）例：所以，当 n 1，则当 n 时，量子经典。 （3）“静止的波”无意义粒子的波动性（二）正交归一化波函数即所以得（三）几率密度能量为 E 的粒子在势阱中的几率密度为（1）一维无限深势阱的粒子波函数（2）一维无限深势阱的粒子位置几率密度分布 例 射在一维无限深势阱中，运动粒子的状态用描述，求粒子能量的可能值及相应的几率。 解：一维无限深势阱的本征波函数为相应的本征能量值为将状态波函数用本征波函数展开得 所以粒子处于状态 n =1，3 本征态上的几率均为能量的可能值为一维线性谐振子，宇称 线性谐振子（如分子振动、晶格振动、原子表面振动等）： 取平衡位置为势能零点，线性谐振子的势能为定态薛定谔方程为为简单起见，引入无量纲参量代替 x：则分析：当 x 即 时，方程近似表达为在 时，波函数的渐近行为是 无限深势阱本征态为束缚态，+号不合理，应舍去。令方程的一般解为代入方程得 此方程用级数法求解，为使是束缚态，必须为奇数，即（一）能量量子化由得（1）能量量子化（2）基态能（二）本征波函数当可求出相应方程的解归一化本征波函数为偶函

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