信号与系统讲义教案第5章连续时间信号与系统的复频域分析

1、第5章 连续时间信号与系统的复频域分析 5.0 引言 通过前两章的学习我们已经看到，在信号与系统的研究中，傅里叶变换是一个强有力的分析工具，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。傅里叶变换的理论基础是将信号分解为正弦指数信号，即和,基于这一原理，也可以将一个信号分解为复指数信号和，从而得到拉普拉斯变换和Z变换。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅

2、里叶分析方法不适用的许多方面,这主要表现在系统函数及其零极点的应用方面。本章将介绍拉氏变换的基本内容，从下面的分析可以看出，拉氏变换分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它的特例。5.1 双边拉普拉斯变换5.1.1 双边拉普拉斯变换的定义复指数信号是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则系统对产生的响应是： 其中 当时，就是傅里叶变换。下面给出拉普拉斯变换的定义： (5.1)称为的双边拉氏变换 ，其中。若，则就是的傅里叶变换。表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在或是在轴上的特例。由于 (5.2)所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要

3、有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这说明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。5.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域 我们首先来看几个常用信号的例子。例5.1分析右边信号的拉普拉斯变换。 由拉普拉斯变换的定义 ，有 (5.3)当时上式收敛，当时，的傅里叶变换存在： (5.4)显然，在时，使拉氏变换收敛的区域（如图所示），包括了即（轴）。比较和，显然有： (5.5) 当时， 可知：， (5.6) 图5.1收敛域（例5.1） 图5.2收敛域（例5.2）例5.2 分析右边信号的拉普拉斯变换。由拉普拉斯变换的定义 ，有

4、 ， (5.7)将例5.1与例5.2进行比较，其拉氏变换的表达式完全相同，但收敛域不同，所以对应的原始信号也不同。可以看出当拉氏变换表达式完全相同时并不能唯一地确定原始信号，必须结合收敛域才能唯一确定一个原始信号。由以上例子，总结如下：1、拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。2、使拉氏变换积分收敛的那些复数 S 的集合，称为拉氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），常用S平面的阴影部分表示。拉氏变换的 ROC 是非常重要的概念。3、不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的

5、收敛域不同。4、只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。5、如果拉氏变换的ROC包含轴，则有 。 (5.8)5.1.3拉氏变换的几何表示：零极点图 若是有理函数： (5.9)我们把分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。将的全部零点（用“”标示）和极点（用“” 标示）表示在 S 平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个，最多与真实的相差一个因子M。因此，用在S平面的零点和极点来表示，它结合收敛域给出了拉氏变换的完整描述。例5.3分析 的拉氏变换及收敛域。 其拉氏变换为图5.3 对应的收敛域 图5.4对应的收敛域可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域

6、的公共部分。求信号的拉氏变换及收敛域。 解： 零点： 极点： 图5.5 例5.4的收敛域5.1.4收敛域的特征通过上面的分析可以归纳出ROC的以下性质：1、ROC是 S 平面上平行于轴的带状区域。2、在ROC内无任何极点。3、时限信号的ROC是整个 S 平面。4、右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于轴的直线的右边。5、左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 轴的直线的左边。6、双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于轴的带形区域。例5.5 分析的拉氏变换。 解： 有极点。考查零点，令，得：显然在也有一阶零点，零极点相抵消，致使整个 S 平面上无极点。所以收敛域为整个S平面。 例5.

7、6 分析双边信号的拉氏变换及收敛域。 解： 当时，上述ROC有公共部分：，。收敛域如图所示。当时，上述ROC无公共部分，表明不存在。图5.6例5.6收敛域当是有理函数时，其ROC总是由的极点分割的。 ROC必然满足下列规律：1、右边信号的ROC一定是最右边极点的右边。2、左边信号的ROC一定是最左边极点的左边。3、双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带状区域。下面通过一个例题来看一下收敛域的分布情况。例5.7 分析对应信号的特征。可以形成三种ROC:(1)ROC：，此时是右边信号。 (2)ROC：，此时是左边信号(3)ROC：，此时是双边信号。5.2双边拉普拉斯变换的性质拉氏变换与傅氏变

8、换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。1、线性：若 ，；，则，ROC至少是：。 (5.10)当与无交集时，表明不存在。例5.8 ， ，；， 而 ,ROC为整个S平面 2、时移性质若 ， 则 ，ROC不变。 (5.11)3、S域平移若 ， 则 ，。 (5.12)表明：的ROC是将的ROC平移了一个。例5.9 已知,，则 ,显然： 图5.7 和对应的收敛域4、时域尺度变换若 ， 则 (5.13)当时，收敛； 当，收敛，所以。例5.10 已知 ， (5.14)则 的拉普拉斯变换为 (5.15)即，若信号在时域尺度变换，拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。特例： ，。 (5.16

9、)5、共轭对称若 ，则 ， (5.17)当为实信号时，；如果是实信号且在有极点(或零点)，则一定在也有极点（或零点）。表明实信号的拉氏变换其复数零极点必共轭成对出现。6、卷积性质若 ，；，则 ，包括 (5.18)例5.11 ；则收敛域的交集为 故 ，ROC扩大 。 7、时域微分若 ，则 ,ROC包括R，有可能扩大。(5.19)8、S域微分若 ，则 ，(5.20)例5.12 已知，求。解：因为，所以。可证明： 。 (5.21)9、时域积分若 ， 则 ，包括。 (5.22)10、复频域积分若 ， 则 。 (5.23)11、初值与终值定理 （1）如果是因果信号，且在不包含奇异函数，则初值定理(5.2

10、4)（2）如果是因果信号，且在不包含奇异函数，除了在可以有单阶极点外，其余极点均在S平面的左半边，则终值定理(5.25)下图是极点在S平面的分布与终值的关系:图5.8极点在S平面的分布与终值的关系5.3 常用双边拉普拉斯变换对表5. 1 常用双边拉普拉斯变换对信号变换ROC信号变换ROC1全部S全部S全部S5.4 双边拉普拉斯变换反变换一、拉氏变换反变换的定义由，若在ROC内，则：所以： 从而：由，得当从时,s从，所以： (5.26)拉氏反变换表明：可以被分解成复振幅为的复指数信号的线性组合。二、拉氏反变换的求法对有理函数形式的求反变换一般有两种方法，即部分分式展开法和留数法。我们这里只介绍最

11、常用的部分分式法。具体如下：1、将展开为部分分式；2、根据的ROC，确定每一项的ROC；3、利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质对每一项进行反变换。例5.13 已知 ，求其反变换。解： 所以： 5.5 连续时间LTI系统的复频域分析5.5.1 系统函数以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉氏变换分析方法，即 (5.27)其中是的拉氏变换，称为系统函数或转移函数。如果的ROC包括轴，则和的ROC必定包括轴，以代入，即有 (5.28)这就是LTI系统的傅里叶分析。即是系统的频率响应。这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函数是一LTI系统的特征函数。当以为基底分解信号时，LTI系统对输入信号的响

12、应就是，而以为基底分解信号时，系统的输出响应就是。连同相应的ROC也能完全描述一个LTI系统。系统的许多重要特性在及其ROC中一定有具体的体现。5.5.2 系统函数与线性常系数微分方程相当广泛的可实现的连续时间LTI系统，都可以用零初始条件的线性常系数微分方程来表示，其一般形式为对其等式两边同时进行拉氏变换，可得 (5.29)是一个有理函数。的ROC需要由系统的相关特性来确定。5.5.3系统函数与系统特性在系统分析中，系统函数起着相当重要的作用，借助于系统函数来表征LTI系统，可以简明直观地确定系统的因果性和稳定性。1、因果性 如果时，则系统是因果的；如果时，则系统是反因果的。因此，因果系统的

13、是右边信号，其的ROC必是最右边极点的右边。反因果系统的是左边信号，的ROC必是最左边极点的左边。应该强调指出，由ROC的特征，反过来并不能判定系统是否因果。 ROC是最右边极点的右边并不一定系统因果。只有当是有理函数时，逆命题才成立。2、稳定性如果系统稳定，则必有 因此必存在。意味着的ROC必然包括轴。综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的，其全部极点必须位于S平面的左半边。例5.14 某系统的单位冲激响应,已知该系统是因果的。, 显然ROC是最右边极点的右边。因为ROC包括轴，系统也是稳定的, 的全部极点都在S平面的左半边。例5.15 有某系统的系统函数为的ROC是最右边极点的右边，但是非

14、有理函数,，系统是非因果的。由于ROC包括轴，该系统仍是稳定的。对 仍是非有理函数，ROC是最右边极点的右边，但，系统显然是因果的。结论：1、如果一个LTI系统的系统函数是有理函数，且全部极点位于S平面的左半边，则该系统是因果、稳定的。2、如果LTI系统的系统函数是有理函数，且系统因果，则系统函数的ROC是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最左边极点的左边。3、如果LTI系统是稳定的，则系统函数的ROC必然包括轴。例5.16 求由下列微分方程描述的因果系统的系统函数及收敛域 解：由方程可得因系统为因果系统，故 5.5.4 系统函数零极点图与频率响应的几何求值可以用零极点图表征

15、的特征。当ROC包括轴时,以代入即可得到。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。单零点情况： 零点要求出时的，可以作两个矢量，如图所示，则。矢量称为零点矢量，它的长度表示，其幅角即为。 图5.9 单零点情况 图5.10单极点情况2、单极点情况： 极点 同理，如图所示，直接由极点向点作矢量（称为极点矢量），其长度的倒量为，幅角的负值即为。3、一般情况：对有理函数形式的： (5.30)因此 (5.31) (5.32) (5.33)即：从所有零点向点作零点矢量，从所有极点向点作极点矢量。所有零点矢量长度之积除以所有极点矢量长度之积即为。所有零点矢量

16、幅角之和减去所有极点矢量幅角之和即为。当取为轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。考查在轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化，即可得出。例5.17 一阶系统： 。，随着,单调下降，时，下降到最大值的，最大值在 时取得。相位特性，当时，随着，逐步趋向。该系统表现为低通特性。例5.18 一阶全通系统：考查零极点对称分布的系统 ，零点矢量和极点矢量如图所示。 （1）、该系统的在任何时候都等于1，所以称为全通系统。 （2）、其相位特性： 图5.11零极点对称分布的系统5.6 系统的方框图表示5.6.1 系统的互联一、系统互联的系统函数级联：，ROC：包括。 (5.34)并联：，ROC：包括。

17、(5.35) 3、反馈联结： (5.36) (5.37)，ROC：包括。 (5.38)(a)级联 (b)并联 (c)反馈联结图5.12 系统互联5.6.2 由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示LTI系统可以由一个线性常系数微分方程来描述： (5.39)对其进行拉氏变换有： (5.40)整理可得 (5.41)它是一个有理函数: (5.42)1、级联结构：将的分子和分母多项式因式分解： (5.43) 一个N阶的LTI系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。在N为偶数时，可以全部组合成二阶系统的级联形式。 (5.44) 其中 (5.45)如果N为奇数，则有一个一阶系统出现。

18、 图5.13 级联结构2、并联结构：将的分子和分母多项式因式分解，展开为部分分式 (假定的分子阶数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的)，则有 (5.46)将共轭成对的复数极点对应的两项合并： (5.47)N为偶数时又可将任两个一阶项合并为二阶项，由此可得出系统的并联结构:图5.14 并联结构例5.19 试写出图5.15所示系统的系统函数。图 5.15例5.19图解：本例系统由两个积分器、两个相加器和若干倍乘器组成。为求得系统函数，可设一中间变量 ，并写出与激励信号之间的变换式关系:于是由图5.15可知将代入此式中，可求得系统函数为： （5.48） 式（5.48）是一个二阶系统函数的标准形式，它

19、有两个极点和两个零点，只需用两个积分器就可实现。而且，在图5.15中，极点是以反馈环路的方式出现，有几个极点，就有几个反馈环路。将式（5.48）和图5.15进行比较可以看到，系统函数中的各项系数都是很有规律地直接出现在图中，具体而言，分子中的系数按 s 的阶次依次出现在前向通路中，而分母中的系数则依次出现在反馈环路中，因此，图5.15这种系统的实现分式称为直接实现形式。这种直接形式的方便之处在于，根据式（5.48）这种标准形式的结构，可以直接从系统函数画出系统框图，或者直接从系统框图写出系统函数。从原理上讲，虽然系统的实现可以用微分器，也可以用积分器，然而，由于积分器的抗干扰能力优于微分器，可

20、实现的精度也高于微分器，因此，实际系统往往采用积分器来实现。一般而言，对于一个高阶系统，往往将其化成低阶系统(如一阶系统或二阶系统)后再通过级联或并联的方式来实现，这样做的好处是可以降低对系数精度的要求。5.7 单边拉普拉斯变换单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。就是因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析由线性常系数微分方程描述的增量线性系统具有重要的意义。5.7.1单边拉普拉斯变换举例 我们先给出单边拉普拉斯变换的定义： (5.49)如果是因果信号，对其作双边拉氏变换和作单边拉氏变换是完全相同的。 单边拉氏变换也同样存在ROC 。其ROC必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：一定位于最

21、右边极点的右边。单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的反变换相同。正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其ROC。 例5.20 分析的双边和单边拉氏变换。图5.16 作双边拉氏变换： ， (5.50) 作单边拉氏变换有： ，(5.51)与不同，是因为在的部分对有作用，而对没有任何作用所致。例5.18 已知，由于其ROC：,求其反变换。解 5.7.2 单边拉普拉斯变换性质单边拉氏变换具有与双边拉氏变换相同的大部分性质，也有几个不同的性质。1、时域微分若 则 (5.52) (5.53)2、时域积分 (5.54)3、时延性质当是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性与双边变换时一致。即：若 ，则 ， (5.55)当不是因果信号时， (5.56)5.7.3 利用单边拉普拉斯变换分析增量线性