尖子生培优平方根与立方根讲义及答案

1、平方根与立方根培优知识导引平方根和立方根的概念的建立在数学中起了十分重要的作用，此概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同的情况.因而要理解这些概念刚开始时应借助于平方、立方的概念.在此之外还应学会用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题.有关平方根：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.（2）算术平方根 Ja的双重非负性：a0；，a 0.（3）的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是

2、零.所以任何数都有立方根.实数的几种非负形式：a 0 （a为实数）；（2） a2n 0 （a为实数，n为正整数）；（3） 石 0 （a为非负实数).算术平方根的主要性质：(Va)2 a ；(2) Va2a; (3) abb Ja?Jb(a 0,b 0);(4)a - aJ=(a 0,b 0).b 、b 典例精析填空题:(1)2（3）的算术平方根是平方根等于它本身的数是 和数轴上的点对应的数是 例1 1：下列说法正确的有： （填入相应的序号）.8是64的平方根；4的算术平方根是2;任何数都有立方根； V64的立方根是2;82的平方根是土 8;灰 3 .例1 2：已知x 2 83 (z 1)20,

3、求x y z的平方根.例2：比较大小：(1) 2J3与32 .12 . 一, Jx , x, x (0bcB 、 acbC 、 cbaD 、 bca例3:观察下列等式：3。2 3 23 a 3Q3： 33/4 /屋47 7 26126 V 63 忸，可得出一般规律是 .例4：如图是实数a、b在数轴上的位置，化简 J02 后，(a b)2 . TOC o 1-5 h z dbd I 4-11101例5：已知X, y是实数，且 J3x 4 y 3 0,则xy的值是.例51:若实数x, y满足Vx 2 (y J3)2 0 ,则xy的值是.例6:我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客

4、阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根.华罗庚脱口而出： 39.众人十分惊讶，忙问计算的奥妙.你 知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面的问题试一试.(1)由 103 1000, 1003 1000000,你能确定 3/59319 是几位数吗?(2)由59319的个位数字9,你能确定 59319的个位数是几吗?(3)如果划去59319后面三位数319得到数59,而33 27, 43 64,由此你能确定3/59319的十位数是几吗？(4)现在换一个数185193,你能按这种方法说出它的立方根吗？例7：已知9 V13与9 J13的小数部分分别为 a、b,求4a+4b+8的值.探究活动

5、例：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题:(v1)2 1 2, S1 J； 2(021 3, S2淀;2於2 1 4 , S3 ;(1)请用含有n (n是正整数)的等式表示上述变化规律.(2)推算出OAio的长.求出S12S2 s2 S120.学力训练A组务实基础1、若a0,则下列结论不成立的是()a2/2r3,3-22rA a (a) B 、a (a) C 、a a D2、实数： J5, 的对应点，既在点2 2 , 2 v, 2 , , 33 , 9 在数轴上A, C之间，又在点 B, D之间的有()A 3个 B 、4个3、下列各式中正确的是()A ( 1)21B42 4 P 一 1：-3

6、 -21 I 34D 、2个2C 14 .94 222D 、，1327213 7 6,16444、已知x满足2008 x Jx 2009 x,那么x 20082的值为.3ab a2 495、已知实数 a、b满足；_L_! 0 ,求实数a、b的值为.a 76、满足 J3 x J5的整数x是.7、已知V2x 3与33 5 y互为相反数，则 -的值为.y8、填空：已知J40 =6.325,则J4105_；设 J2a,J3b,用含a、b的式子表示/54为.9、已知 mM 足 m vm2 v m3 0,求 |m 1 m 1 的值.10、如果一个正数的平方根是a+3与2a15,那么这个正数是多少?B组瞄准

7、中考1、（江西中考）已知 J20n是整数，则满足条件的最小正整数门为（）A、2B 、3 C 、4 D 、52、（南京中考）如图，数轴上点A表示的可能是（）4I i 1 .1 - l13 -2 -1 0 1 2 3A 4的算术平方根BC 8的算术平方根D、4的立方根、8的立方根3、（天津中考）比较2, J5, V7的大小，正确的是（A 2VA/5 v V7B、诟 20,则a+b的值为（）A 8 B 、2 C 、8 或8 D 、2 或25、（茂名中考）已知：一个正数的两个平方根分别是2a2和a-4,则a的值是6、（凉山中考）已知a、b为有理数，m n分别表示5 币 的整数部分和小数部分，且,2am

8、n bn 1,贝U 2a+b=.7、(衢州中考)计算：3 27 (-)0 2328、（上海中考）计算:(3)0百 1 近9、若 a 满足 2014 a Va 2015 a,求 a 20142 的值.10、（荷泽中考）观察下列分母有理化的运算:1.20012002. 2001J2002 ，1.2002. 200372002 J2003 .利用上面的规律计算:111( 1223.3412001, 2002)(1 ,2003),20022003C组 冲击金牌x 11、已知x是实数，则弋x x x 的值是（）111A、1 - B 、1 c 、一 1 D、无法确定2、如图，数轴上 A, B两点表示的数分

9、别为一点C所表示的数为（）A 2 33B 、 1 V3C1和J3，点B关于点A的对称点为点 C,则IlIII.C A O B、2 33 D 、 1 1）的代数式表示出来:5、设a、b、c均为不小于3的实数，则求 da 21第四讲平方根与立方根参考答案典例精析1、(1) 3; (2) 0; (3)实数1 1、1 2、0 2、(1) 2J3 3&(2) 1Jxxx2 2 1、A 3 、3n3n n# 3n (n2,且 n 为整数)xI n 1, n 14、原式=a|baba b a b 2b 5、451、2/36、(1) 3；59319是两位数;(2) 59319的个位数是9; (3) 3/59319的十位数是3; (4)185193的立方根是 57a= 9 j13 12=$13、9 /3与9 J13的整数部分分别是 12与5,则:b= 9 尺 5=4 A ,故 4a+4b+8=12.解：(1)(. n)21,Sn OA20 (T9)2 1 10,所以 OA0VW;_ 2S1S2S32S1201 2(T),22. 3 2)(T)10)2=124 4学力训练A组104105541、B 22160, 1, 28、632.5