概率统计随时增

1、 第八章 参数估计1参数估计问题假设检验问题点 估 计区间估 计统计推断 的基本问题2什么是参数估计？参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，X N ( , 2), 点估计区间估计若, 2未知，通过构造样本的函数, 给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.3参数估计的类型点估计 估计未知参数的值区间估计 估计未知参数的取值范围， 使得这个范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.4一、点估计的思想方法设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数：1,2, ,k设 X1, X2, Xn

2、为总体的一个样本构造 k 个统计量：随机变量第一节 参数的点估计5当测得一组样本值(x1, x2, xn)时，代入上述统计量，即可得到 k 个数：数值称数为未知参数的估计值问题如何构造统计量？对应的统计量为未知参数的估计量61、矩方法；（矩估计）2、极大似然函数法（极大似然估计）.二.点估计的方法 1. 矩方法方法用样本的 k 阶矩作为总体的 k 阶矩的 估计量, 建立含待估计参数的方程，从而可解出待估计参数7一般地，不论总体服从什么分布，总体期望 与方差 2 存在，则根据矩估计法它们的矩估计量分别为注: 矩估计不唯一8事实上，按矩法原理，令9设待估计的参数为设总体的 r 阶矩存在，记为设 X

3、1, X2, Xn为一样本，样本的 r 阶矩为令 含未知参数 1,2, ,k 的方程组10解方程组，得 k 个统计量：未知参数1,2, ,k 的矩估计量未知参数1,2, ,k 的矩估计值代入一组样本值得k个数:11例1 有一批零件，其长度XN(,2)，现从中任取4件，测的长度(单位：mm)为12.6,13.4,12.8,13.2。试估计和2的值。解： 由 得和2的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)212例2 设总体X的概率密度为 X1,X2,Xn为来自于总体X的样本,x1,x2, ,xn为样本值,求参数的矩估计。解： 先求总体矩 13为的矩估计量, 为的矩估计值.令 14例3 设总体

4、X的概率密度为求的矩估计量 解法一 虽然 中仅含有一个参数，但因 不含,不能由此解出,需继续求总体的二阶原点矩15 解法二 即 用替换即得的另一矩估计量为得的矩估计量为用替换即16你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.先看一个简单的例子: 某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过.只听到一声枪响,野兔应声倒下.如果要你推测,是谁打中的呢？你会如何想呢？ 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.2、极大似然函数法17例: 设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为3:1，试判断是白球多还是黑球多。 分析: 从袋中有放

5、回的任取3只球.设每次取到黑球的概率为p (p=1/4或3/4)设取到黑球的数目为X,则X服从B(3,p)分别计算p=1/4,p=3/4时，PX=x的值，列于表结论:X0123p=1/4时27/6427/649/641/64p=3/4时1/649/6427/6427/64 定义1:(1)设随机变量X的概率密度函数为f(x,), 其中为未知参数(f为已知函数). （2）若X是离散型随机变量，似然函数定义为称 为 X关于样本观察值 的似然函数。 20的样本观察值,为样本 定义2 如果似然函数 在 时达到最大值,则称 是参数的极大似然估计。 例1 设总体X 服从参数为的指数分布，即有概率密度 又x1,x2, ,xn为来自于总体的样本值，试求的极大似然估计.21解 ：第一步 似然函数为于是 第二步第三步 经验证，在处达到最大，所以是的极大似然估计。令22例2： 设X服从(01)分布，PX=1=p, 其中p未知， x1,x2, ,xn为来自于总体的样本值求p的极大似然估计。解:X01P1-pp得(01)分布之分布律的另一种表达形式23令例3：设总体X服从参数为的