第三章线性方程组第二、三节维向量_第1页
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1、1第二节向量及其线性运算2一、向量的概念定义行向量列向量或3 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、分量全部为零的向量称为零向量，记为 。数乘等概念完全与矩阵相同.则4向量的线性运算满足以下八条运算律： (1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g(3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb(7) (kl)a=k(la)(8) 1a=a其中a, b, g 都是n维向量, k, l 为实数.5除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：例1解其中移项规则6练习：P141 习题三7第三节向量间的线性关系8一

2、、向量组的线性组合定义如果两个向量组可以互相表出,则称等价。9例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 因为 b = 2a1-a2+a3 , 或者说 b 可由a1,a2,a3 线性表示.即b 是 a1,a2,a3 的线性组合, 10称为n维基本单位向量组。 11对线性方程组将系数矩阵A分裂成列向量则方程组改写为12例1解13例2解14但表示法不唯一。 15二、向量组的线性相关性定义16包含零向量的向量组一定线性相关:单个向量线性相关当且仅当它为零向量:例3设有17定理证使则18定理(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组有(无)

3、非零解,19例4解判断下列向量组的线性相关性:线性相关.20解线性无关.注意(1) 写为列向量, 拼成矩阵；(2) 只作行变换。21推论线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式n维基本单位向量组线性无关,22例5证23例6证必线性相关。用矩阵形式，24有非零解，比如25定理证26定理证再证表法唯一。设有两种表示法，即表法唯一。27线性相关性的性质(1) 如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。等价命题:如果一个向量组线性无关, 则其任一部分组线性无关.部分相关整体相关整体无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.28可以推广到添多个分量的情形.等价命题:线性相关的向量组各去掉一个(或几个)分量所得向量组仍线性相关。证29(3) 向量组的个数如果多于维数, 则必线性相关。齐次线性方程组未知量个数多于方程个数，必有非零解，线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式30由上述推论知，证略

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