数字信号处理第一章离散时间信号与系统课件

1、第一章 离散时间信号与系统1.1 离散时间信号序列1.2 线性移不变系统1.3 线性常系数差分方程1.4 连续时间信号的抽样1.1 离散时间信号序列 信号是传递信息的函数。针对信号的自变量（时间）和幅值的取值情况，可分为：（1）连续时间信号时间取连续值，幅值可连续可离散。 模拟信号：时间取连续值，幅值连续 量化信号：时间取连续值，幅值离散（2）离散时间信号时间取离散值，幅值可连续可离散。数字信号时间和幅值均取离散值。 抽样信号时间取离散值，幅值连续(3)模拟信号，抽样信号，数字信号的关系数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。抽样信号：时间离散的，幅值 连续

2、的信号。量化抽样信号 连续离散模拟量化抽样数字:幅值、时间连续:幅值离散、时间连续:时间离散、幅值连续:幅值、时间离散1.1 离散时间信号序列离散时间信号一般是对模拟信号 xa(t) 进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到：一、离散时间信号序列的概念0txa(t)0 xa(nT)tT2T1.1 离散时间信号序列对于不同的 n 值，xa(nT) 是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义。离散时间信号的表示方法：公式法、图形法、集合法。1.1 离散时间信号序列二、常用序列1. 单位抽样序列(n)01/tp(t)0(1)t(t)1n0(n)1.1 离散

3、时间信号序列2. 单位阶跃序列u(n)t0u(t)10nu(n)1.1 离散时间信号序列(n)与u(n)之间的关系令n-k=m，有1.1 离散时间信号序列3. 矩形序列RN(n)N为矩形序列的长度0nR4(n)1231.1 离散时间信号序列4. 实指数序列，a为实数0n0a1a-1或-1a0,序列的幅值摆动0n-1a00na0 时，序列右移延迟当 n00 时，序列左移超前x(n)n0n0 x(n-2)1.1 离散时间信号序列4. 序列的翻转n0 x(-n) x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。x(n)n01.1 离散时间信号序列5. 尺度

4、变换x(n)n0n0 x(2n)是序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。抽取序列是序列相邻抽样点间补（m1)个零值点，表示零值插值。插值序列1.1 离散时间信号序列6. 累加（等效积分）7. 差分运算 前向差分 后向差分8. 卷积和等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。1.1 离散时间信号序列1.2 线性移不变系统离散时间系统Tx(n)y(n)系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T表示，即1.2.1 线性系统若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。其中a、b为任意常数。设例是线性系统。证：所以，此系统是线性系统。例所代表的系统

5、不是线性系统。证：但是所以，此系统是非线性系统。1.2.2 时不变系统（移不变系统）时不变系统Tx(n)y(n)若则n0为任意整数。输入时移n0位，其输出也时移n0位，而幅值却保持不变。例判断系统证：所以，此系统是时不变系统。的时不变性。证：所以，此系统不是时不变系统。同理，可证明 所代表的系统不是时不变系统。例判断系统的时不变性。1.2.3 单位冲激响应与卷积和T(n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统(linear shift invariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位冲激响应来表征。 单位冲激响应，也称单位抽样响应，是指输入为单位冲激序

6、列时系统的输出，一般用h(n)来表示：根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质设系统的输入用x(n)表示，而因此，系统输出为通常把上式称为离散卷积或线性卷积或卷积和。这一关系常用符号“*”表示：1.2.3单位冲激响应与卷积和线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：用单位抽样响应h(n)来描述系统h(n)x(n)y(n)1.2.3单位冲激响应与卷积和线性卷积的计算计算步骤如下： (1)翻褶：先在坐标轴m上画出x(m)和h(m)，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。 (2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。

7、 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应点值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 例已知x(n)和h(n)分别为：和a为常数，且1a，试求x(n)和h(n)的线性卷积。 计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。 解参看图，分段考虑如下：(1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n图解说明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1) n0n-6mh(n-m)n0(3) 4n6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04

8、(2) 0n4n-6mh(n-m)n04图解说明(1) n0n-6mh(n-m)n00mx(m)4(2)在0n4区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在4n6区间上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4(4)在6n10区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4综合以上结果，y(n)可归纳如下：卷积结果y(n)如图所示 6ny(n)1004例设有一线性时不变系统，其单位 冲激响应为解：分段考虑如下：(1)对于n0；(2)对于0n N1；(3)对于nN。试求x(n)和h(n)的线性卷积。(2)在0nN 区间上(3)在nN 区间上(1)(2)(3)y(n)例设有一线性时不变

9、系统，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234对有限长序列相卷，可用竖乘法注：1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 卷积结果的起始序号等于两序列的起始序号之和。由上面几个例子的讨论可见，对于h(n)x(n)y(n)设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N 和M ，线性卷积后的序列长度为(N + M -1)。线性卷积的性质：1.交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)2.结合律h1

10、(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)线性卷积的性质：3.分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)线性卷积的性质：4.序列与单位冲激序列的线性卷积线性卷积的性质：例h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系统的输出y(n)。m(n)解：设级联的第一个系统输出 m(n)1.2.4 系统的因果性和稳定性在系统中，若输出y(n)只取决于n时刻，以及n时刻以前的输入，即称该系统是因果系统。对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：如因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。1.因果系统2.稳定系统对

11、一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|M(M为正常数)，有|y(n)|+，则该系统被称为稳定系统。 1.2.4 系统的因果性和稳定性例设某线性时不变系统，其单位冲激响应为式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：由于n0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。所以 时，此系统是稳定系统。例设某线性时不变系统，其单位冲激响应为式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：(1)讨论因果性由于n0时，h(n)0，故此系统是非因果系统。 (2)讨论稳定性所以 时，此系统是稳定系统

12、。1.3 线性常系数差分方程一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：连续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程离散时间线性时不变系统 线性常系数差分方程求解差分方程的基本方法有三种：经典法求齐次解、特解、全解递推法求解时需用初始条件启动计算变换域法将差分方程变换到Z域进行求解例设差分方程为求输出序列 ？ 假设输入为，初始条件为解：1.3 线性常系数差分方程依次类推综合初始条件1.3 线性常系数差分方程延时延时a0 x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0 x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法是可直接得到系统的结构1.3 线性常系数差分方程1.4 连续时间信号的抽样连续时间

13、信号离散时间信号抽样内插信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丢失；如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。 ？抽样是什么？S0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高频率为fc 理想抽样1.4.1 理想抽样概念xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定义单位冲激函数t0 (t)(1)单位冲激函数的抽样性：若f(t)为连续函数，则有将上式推广，可得t0 (t-t0)1.4.1 理想抽样概念即即-11.4.1 理想抽样抽样信号的频谱由于 是周期函数可用傅立叶级数表示，即采样角频率系数1.

14、4.1 理想抽样抽样信号的频谱1.4.1 理想抽样抽样信号的频谱对称性移频特性根据1.4.1 理想抽样抽样信号的频谱0(S)S2S-S-2SS1.4.1 理想抽样抽样信号的频谱1.4.1 理想抽样抽样信号的频谱即抽样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为s 。1.4.1 理想抽样抽样信号的频谱讨论： S/2CS2S3S0-S(c)-CCS/20(a)最高截止频率S/20-S2SS(b)1.4.1 理想抽样抽样定理Nyquist频率折叠频率CS/2S0-S抽样定理 ：要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（s2C）。由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：1.采样频率低2.连续信号的频谱没有被限带1.4.1 理想抽样抽样定理0C 2C 3C 4C 可选s =(34)C 低通采样1.4.1 理想抽样抽样定理对于频带非带限信号1.频域分析且在 时，0TS/2-S/2 G(j)g(t)1.4.2 抽样的恢复（信号重建）时，0001.4.2 抽样的恢复（信号重建）2.时域分析g(t)时，0T1.4.2 抽样的恢复（信号重建）或称为内插函数1.4.2 抽样的恢复（信号重建）抽样内插公式抽样内插公式表明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用