合同矩阵和相似矩阵

1、合同矩阵和相似矩阵篇一：矩阵的合同，等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别20XX09113李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价，记为ABo2、矩阵等价的充要条件：AB同型，且人r（A尸r（B）存在可逆矩阵P和Q使得PAQ=BO：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表由，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得ABPTAP球立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称

2、矩阵，则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似1、概念：n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为ABO2、矩阵相似的性质：ATBT,AkBk,A1B1(前提，A,B均可逆)|E-A|EB|即A,B有相同的特征值(反之不成立)ABr(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|二|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。充要条件：AB(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关系(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,n),B(1,2,m)1、

3、若向量组(1,2,m)是向量组(1,2,n)的极大线性无关组，则有mn,即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得由AB。2、若m=n,两向量组(1,2,n)(1,2,m)则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)AB,AB,ABr(A)r(B)AB。3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,n)(1,2,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。(二)、矩阵合同。相似，等价的关系。1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。2、

4、合同、相似、等价之间的递推关系相似等价：ABA,B同型且r(A)r(B)AB合同等价：ABA,B同型且r(A)r(B)AB相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以I、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当AB时，|EA|EB|二次型f(x)XTAX与g(x)XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数ABAB即有ABABABII、存在一个正交矩阵P,即PTPE使得PTAPB即AB则有1BPTAPPAPAB即有ABAB田、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P,则AB时有ABABABIV、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B)下面讨

5、论r(A)r(B)时AB,AB,AB成立的条件。由i、n、田的论述可知存在正交矩阵P时，有PTP1,则r(PTAP)r(A)记BPTAPBUr(A)r(B)止匕时ABABAB即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)AB,AB,AB(三)1、矩阵等价：同型矩阵而言一般与初等变换有关秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：针对方阵而言秩相等是必要条件本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵秩相等是必需条件本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负

6、惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推由等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵篇二：矩阵的合同与相似及其等价条件矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用1-10,起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化9,本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了

7、具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念矩阵等价的定义1定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述:定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB则称矢!阵A与B等价，记作AsB.矩阵相似的定义2定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P,使得P1APB,则称矩阵A与矩阵B相

8、似，记作AB.n阶矩阵的相似关系，具有下列性质3:性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似.性质对称性，即如果AB,则BA.性质传递性，如果AB,BC,则AC.性质P1(k1A1k2A2)Pk1P1APk2A2P.(k,k是任意常数)12性质P1(A1A2)P(P1A1P)(P1A2P).性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bmffi似.(m为正整数)证明存在一个可逆矩阵P,使得P1APB那么P1AP可以得到Am与相Bmffi似.性质如果矩阵A、B都是满秩，则AB,那么BA.证明存在一个可逆矩阵P,使得P1APB那么P1AP故可以得到BA.性质如果矩阵AB,那么AB.证明存在一个可逆矩阵P,使得P

9、1APB又因为P1APBP1P1,故可以得到AB.性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设BP1A若矢!阵B可逆，B1P1A网相似.若B不可逆，则P1AP不可逆，即A也不可逆.性质相似矩阵有相同的特征值.证明设BP1AEBP1EPP1AP1111mBmP1Am,P故1B1P1A1R1P1A1P,从而B1和A1P1EAPEA故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.性质相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使得P1APBtrBtrPlAPtrPIPAtrA2030例1A,B0302,求分别求矩阵AB的特征多项式，特征

10、值秩，迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知A20XX6,Rank(A)2,tr(A)5对于A的特征多项式EA故A的特征值为2和3.对于矩阵B,B300223(3)6,Rank(B)2,tr(B)5矩阵B的特征多项式B300(2)(3).2故矩阵B的特征值是2和3.011PAPB从定义矩阵B与矩阵A相似.存在一个可逆矩阵P使得10从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹2-4.124例2设实数域上的3级实对称矩阵A242,对角矩阵421500B050.求矩阵AB的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？如004果相似求生可逆矩

11、阵P.1解由矩阵A的特征多项式为2424211202442422101242204(5)2(4)故矩阵A的特征值为5和一4.容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同。15525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P50415215153231323验证得到P1APB那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式.矩阵合同的定义2定义设A,B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C,使得CTACB则称A与B合同，记作AB.n阶矩阵的合同关系具有下列性质：反身性：即任一n级矩阵与自身合同.对称性:即如A与B合同，则B与A合同.传递性:A与B合同，B与C合同，则A与C合同.合同

12、的两矩阵有相同的二次型标准型.任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2.合同矩阵与相似矩阵的关系矩阵的相似与合同的相同点5.从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性相似、合同矩阵均有相同的秩.(A)Rank(B),若矩阵A合同于矩阵B,则若矩阵A相似与矩阵B,则RankRank(A)Rank(B).可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A于矩阵B相似，则要求AB都是方阵；若A合同与B,则要求AB都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且

13、都是方阵.矩阵的相似与合同的不同点5.矩阵的相似与合同有一些不同之处，如AB,则AB,A与B有相同的特征值.但若AB,那么A与B的行列式的值不一定相等；A与B也不一定有相同的特征值.2222例1设A254,T2450245445545131002,B010,3001023不难验证：TTATB有AB.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故AB,矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举由合同但是行列式不等的情况.121410例2A,BC2341202.经过验证可以知道A1,B4,然而CTACBAB,可以得到矩阵A合同于B,但是行列式可以不等.我们知

14、道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设AB,则有可逆矩阵P,使得BP1A于是EBEP1APP1(E)PP1AP=P(EA)P篇三：如何判断矩阵的等价，相似，合同？如何矩阵的等价，相似，合同？(1)A与B等价：A可以经一系列初等变换得BPAQBr(A)r(B)(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A与B相似:P1APB,P可逆.相似有四个必要条件：秩相同，特征值相同，特征多项式相同，行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似.(3)A与B合同(仅限于对称矩阵

15、):CTACB(C可逆)A与B的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可.注:A,B合同A,B等价1011A,B相似A,B等价，例A,B等价但不相似0101在A,B实对称的前提下，A,B相似A,B合同.【例1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似，哪些合同111110100000A000,B001,C000,D011.000000000011【解】先看等价：r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1,故A,C,D等价.再看相似：r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,排除B,考虑A,C,D,A,C的特征值为1,0,0,D的特征值

16、为2,0,0,从而排除D仅仅考虑A,C,A的特征值为1,0,0,且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量。100A相似于对角阵C000,从而A,C相似.000最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D,C的特征值为1,0,0,D的特征值为2,0,0,C的正惯性指数为1,负惯性指数为0,D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0,C,D合同.111300【例21判断A111,B000是否等价，相似，合同，111000【解】r(A)r(B)1,二者等价；300A为对称阵一定相似于对角阵B000;从而A一定合同于对角阵B.000篇四：矩阵的等价，合同，相似的联系与区别目录摘要11矩系关系同系关系22价、合

17、同和相系.33矩阵的等价别5阵间的三种关矩阵的等价矩阵的合关矩阵的相似矩阵的等似 之间 的 联合同和相似之间的区结束语献.6摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质.其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化.关键词：矩阵的等价；矩阵的相似；矩阵的合同；等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵

18、的相似和矩阵的合同等关系.本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给生了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致.还有矩阵的相似与合同之等价条件.并对这些结论作了相应的理论证明，最后给由了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系矩阵的等价关系定义1两个sn矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q,使BPAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵a与b等价必须具备的两个条件：(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵).(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.

19、性质1(1)反身性：即AA.(2)对称性：若AB,则BA(3)传递性：即若AB,BC,则AC定理1若A为mn矩阵，且r(A)r,则一定存在可逆矩阵P(m阶)和IrQ(n阶)，使得PAQ00B.其中Ir为r阶单位矩阵.0mn推论1设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B).矩阵的合同关系定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵P使得PTAPB则称矩阵为合同矩阵(若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵)，由矩阵的合同关系，不难得由矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB性质2(1)反

20、身性：任意矩阵A都与自身合同.(2)对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.(3)传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22fy12y2yr定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P1APB,则称矢!阵A与B为相似矩阵(若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵)由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型

21、矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P,使得P1APB性质3反身性AETAE；(2)对称性由BCTACBM等AC1BC1;(3)传递性A1C1TAC1和A2c2TA1C和得A2C1C2AC1C2总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)P(k1A1k2A2)Pk1PA1Pk2PA2P(其中k1,k2是任意常数)；(5)P(A1A2)P(PA1P)(PA2P);(6)若A与B相似，则AmBmffi似(m为正整数)；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果BPAP为满秩矩阵，那么BTT111111(PAP)11PAP.11即满秩矩

22、阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似(8)相似的矩阵有相同的行列式；因为如果BP1A贝U有：BP1APP1APA(9)相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设BP1AP若B可逆，则B1(P1AP)1PA1P1从而A可逆.且B1与A1相似.若B不可逆，则(P1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.2矩阵的等价、合同和相似之间的联系(1)由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5相似矩阵必为等价矩

23、阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1,使得P11AP1B此时若记PP11,QP1，则有PAQB因此由定义1得到n阶方阵A,B等价反过来，对于矩阵A10012100,B等价，但是A与B并不相似。00即等价矩阵未必相似.定理6对于n阶方阵A,B,若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQB,（即A与B等价），且PQE（E为n阶单位矩阵），则A与B相似.证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQB即A与B等价.又知PQE若记PP11,那么QP1,也即P11AP1B,则矩阵A,B也相似.定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵.证明

24、：设n阶方阵A,B合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵P1,使得PT1AP1B记PPT1,QP1,则有PAQBS止匕由定义1得到n阶方阵A,B等价若篇五：矩阵的等价，相似合同的关系及应用目录摘要11引、422矩阵间的三种关系2矩阵的等价关系2矩阵 TOC o 1-5 h z 的合同关系3矩阵的相似关系33矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别4矩阵的相似与等价之间的关系与区别矩阵的合同与等价系 与 区矩阵的合同与等价之系与区4之间的关别5间的关别54矩阵的等价、合同和相似的应用6矩阵用7矩阵用9矩阵用9三种关系在）用等价的应相似的应合同的应;率统计中的应105结论12语12参考文献13摘要：本文

25、主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。关键字：矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用.引言高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系.那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用

26、到什么领域吗是如何应用的？.矩阵的三种关系定义：两个sn矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q,使得BPAQ矩阵A与b等价必须具备的两个条件：(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使BPAQ.矩阵等价的性质：(1)反身性：即AA.(2)对称性：若AB,则BA.(3)传递性：若AB,BC,则AC.(4)A等价于B的充要条件是秩(A)=秩(B)Er0(5)设A为mxn矩阵，秩(A)=r，则A等价于ErPAQ0使00.00,即存在m级可逆矩阵P,n级可逆矩阵Qo10(6)(Schur定理)任彳n级复方阵A必相似于上三角形矩阵

27、，即A相似于n其中1,n为矩阵A的特征值.定理：若A为mn矩阵，并且r(A)r,则一定存在可逆矩阵P(m阶)和Q(n阶)。Ir使PAQ00B,其中Ir为r阶单位矩阵.0mn推论：设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B).矩阵的合同关系定义：设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p,使得PTAPB则称矩阵为合同矩阵(若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵)，由矩阵的合同关系，得由矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB矩阵合同的性质：(1)反身性：任意矩阵A都与自身合同.(2)对称性：

28、如果B与A合同，那么A也与B合同.(3)传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.（6）矩阵合同与数域有关.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理：复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：fy1y2yr222矩阵的相似关系定义设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使P1APB则称矢!阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）.由

29、矩似的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件（1）矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵（2）在数域p上n阶可逆矩阵P,使得P1APB相似矩阵的性质（1）反身性:AETAE;（2）对称性:由BCAO彳等ACT1TBCTTT(3)传递性:A1C1AC1和A2c2A1C和得A2C1C2AC1C2P(k1A1k2A2)Pk1PA1Pk2PA2P(其中k1,k2是任意常数)；(5)P(A1A2)P(PA1P)(PA2P);(6)若A与B相似，则Am与Bmffi似(m为正整数)；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果BP1AP为满秩矩阵，那么B1(PAP)11PAP.即满秩矩阵如果相似，那么

30、它们的逆矩阵也相似.(8)相似的矩阵有相同的行列式；即：如果BP1AP,贝U有：BPAPP11APA(9)相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设BP1AP,若B可逆，则B1(PAP)PAP从而A可逆.且B与A相似.若B不可逆，则(PAP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理相似矩阵的特征值相同.推论相似矩阵有相同的迹3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别矩阵的相似与等价之间的关系与区别定理相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵.证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1,使得P1AP1B此时若记PP1,QP1,则有PAQB因此由定义1得到n阶方阵A,B等价1但对于矩阵A100101B,00211等价，A与B并不相似，即等价矩阵未必相似.0但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如定理：对于n阶方阵A,B,若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQB,（A与B等价），且PQE（E为n阶单位矩阵），则A与B相似.证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQB即A与B等价.又知PQE,若记PP1,那么QP1,也即P1AP1B,则矩阵A,B也相似.矩阵的合同与等价之间的关系与区别定理：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未