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文档简介

1、流体力学（一）清净念1各向同性张量无论坐标系如何转动，若张量的分量总是保持不变(与坐标系无关)，这样的张量称为各向同性张量。标量（零阶张量）都是各向同性张量.矢量（非零）（一阶张量）都是各向异性张量二阶各向同性张量: ij 三阶各向同性张量: ijk 四阶各向同性张量一般形式为: 其中为，为标量。 2四阶各向同性张量若四阶各向同性张量H关于下标i，j对称，则有=，且必然同时关于下标k，l对称。其一般形式为 后面推演本构方程时有用 3其中为，为标量。上式含义，展开，即： 即只要证明四阶各向同性张量Hijkl能满足上述5个关系即可。 4论证依据： 论证这些关系的方法是令坐标系绕三个坐标轴作几种特殊

2、角度的旋转。 一，证明(5).令坐标系ox1x2x3绕x1轴转180o （按右手法则转），得ox1x2x3 ： 5由张量定义 6由各向同性张量定义 所以有 又例 由各向同性张量定义 同样道理，可证：凡下标中有奇数个1的分量均等于零。（5）中一部分 7如果令坐标系ox1x2x3绕x2轴或x3轴转180o（按右手法则转），得新坐标系ox1x2x3 ，则以同样方法，可以证得：凡下标中有奇数个2或3的分量均等于零。从而证明了展开式（5）。 二，论证下标中有偶数个1或2或3的分量，即（1）,（2）,（3）式.令坐标系ox1x2x3绕x1轴转90o（按右手法则转），得ox1x2x3 ： 8由张量定义 9由

3、各向同性张量定义 所以有 - (g) 又有 由各向同性张量定义 所以有 -(a) 同理可得 -(b) 10-(c) -(d) -(e) -(f) (a)(g)7个等式。 类似地，如果令坐标系ox1x2x3绕x2轴或x3轴转90o（按右手法则转），得ox1x2x3，同样方法可得两组相应于(a)(g)的等式，由这21个等式可得： 11从而证明了展开式（1）（2）（3）。三，最后讨论与，之间的关系。 令坐标系ox1x2x3绕x1轴转45o（按右手法则转），得ox1x2x3 ： 12由张量定义 13由各向同性张量定义 14于是证明了（4），全部得证。 四阶各向同性张量一般形式为:其中为，为标量。 15若四阶各向同性张量H关于下标i，j对称，则有=，且必然同时关于下标k，l对称。其一般形式为 证明： 以及 由 以及 即可证得= 不难证明各向同性张量H关于下标i，j对称，必然同时关于下标k，l对称。 16张量的概念复习 张量的概念是矢量和矩阵概念的推广。从物理上讲，研究对象的某种物理性质能够用一个没有方向的数量来表示，表示这种物理性质的这个量就是标量，例如温度、密度等。研究对象的某种物理性质能够用一个包含3个正交分量的物理量来表示，表示这种物理性质的这个量就是矢量，例如速度矢量、作用力、电场强度等。研究对象的某种物理性质需要9个分

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