福建省厦门市高中毕业班2021-2022学年高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )ABCD2一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（ ）ABCD3设

2、，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4中，点在边上，平分，若，则（ ）ABCD5已知平面向量，则实数x的值等于（ ）A6B1CD6已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）A1BC2D37已知锐角满足则（ ）ABCD8函数在上的最大值和最小值分别为（ ）A，-2B，-9C-2，-9D2，-29已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ）A10B32C40D8010在原点附近的部分图象大概是（ ）ABCD11如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两

3、条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）ABCD12设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则与的夹角为 .14已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是_.15已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_.16已知数列为正项等比数列，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.(1)求的值；(2)令在上最小值为，证明：.18（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的

4、等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、试判断是否为定值,并说明理由19（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点（1）求椭圆的方程；（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，（）证明：平分线段（其中为坐标原点）；（）当取最小值时，求点的坐标20（12分）如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的体积.21（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）2的解集是R，求m的取值范围2

5、2（10分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.2D【解析】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点

6、坐标为，将其代入双曲线可解得【详解】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，将其代入双曲线方程得：，即，由得故选：【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平3B【解析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式可得，解绝对值不等式可得，由于为的子集，据此可知“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.4B【解析】由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.【详解】平分，根据三角形内角平分线定理可

7、得，又，.故选：.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.5A【解析】根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】，即，故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.6C【解析】试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，渐近线方程为，求出交点，则；选C考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；7C【解析】利用代入计算即可.【详解】由已知，因为锐角，所以，即.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.8B【解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【

8、详解】依题意，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.9D【解析】根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果.【详解】由题可知：当时，常数项为又展开式的二项式系数和为由所以当时，所以项系数为故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.10A【解析】分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，则函数为奇函数，排除C、D选项；当时，

9、则，排除B选项.故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11A【解析】易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.12B【解析】设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；【详解】解：设，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.二、填空题：

10、本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据已知条件，去括号得：，14【解析】首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于，所以，由于区间上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15【解析】由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数

11、图象，即可得到所求范围.【详解】已知定义在上的函数若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x0)的图象有两个交点，联立可得有两个解，即可设，则，进而且不恒为零，可得在单调递增.由可得时，单调递减；时，单调递增，即在处取得极小值且为作出的图象，可得时，有两个解.故答案为：【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.1627【解析】利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【详解】由等比数列的性质可知，则，.当且仅当时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及

12、均值不等式求和的最小值，属综合基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (1)；(2)见解析【解析】(1)将转化为对任意恒成立，令，故只需，即可求出的值； (2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出【详解】函数的定义域为，因为对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，当时，故在上单调递增，又，所以当时，不符合题意；当时，令得，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以要使在时恒成立，则只需，即，令，所以，当时，；当时，所以在 单调递减，在上单调递增，所以，即，又，所以，故满足条件的的值只有(2

13、)由(1)知，所以，令，则，当，时，即在上单调递增；又，所以，使得，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，且所以， 即，所以，即【点睛】本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同时考查转化与化归的思想，属于中档题18（1）（2）为定值【解析】（1）根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程（2）根据题意设直线方程：,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得把和代入,得和 ,的表达式,比即可得出为定值【详解】解：（1）依题意,所以椭圆的标准方程为（2）为定值.因为直线分别与直线和直线相交,所以,直线一定存在

14、斜率设直线：,由得,由,得 把代入,得,把代入,得,又因为,所以,由式,得, 把式代入式,得,即为定值【点睛】本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.19（1）（2）（）见解析（）点的坐标为【解析】（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程；（2）（i）设，的中点为，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；（ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标.【详解】解：（

15、1）由题意得， ，所以，所以椭圆方程为（2）设， 的中点为，（）证明：由，可设直线的方程为，代入椭圆方程，得，所以，所以，则直线的斜率为，因为，所以，所以三点共线，所以平分线段；（ii）由两点间的距离公式得由弦长公式得 所以，令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4，所以当取最小值时，点的坐标为【点睛】此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.20（1）见解析；（2）.【解析】（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面

16、平面；（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.【详解】（1）设中点为，连接、， 因为，所以.又，所以，又由已知，则，所以，.又为正三角形，且，所以，因为，所以，平面，又平面，平面平面；（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.在中，的垂直平分线与的交点即为球心，记的中点为点，则.由与相似可得，所以.所以三棱锥外接球的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21（1），（2

17、） 【解析】试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，只需m+43，得出的范围.试题解析：（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（，3）（4，+）（2）不等式f（x）2即|x+1|+|x2|m+4，xR时，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，m+43，m的取值范围是（，122（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时