34总体分布的假设检验

1、3.4母体分布的假设检验分布的假设检验：对母体的分布作某项假 设，再从母体上抽取子样，用以检验该假设应 予接受还是拒绝。八处(检验母体的分布为某个 完全已知的i检验母体的分布为某已 知类型，但有k个检验方法有多种，这里只介绍常用的 检 验法。(1)假设母体的分布已知，且是只有有限多项 的离散分布在母体上作假设 Ho：P(A)=P-i = 1,2, ,l .其中A,，A是一个完备事件组，Pi是已知数。从母体抽取容量为n 50的大子样，得Al发生的频数为mi , i = 1, 2, ,l 5其中工mi = n .=1计算理论频数：由于P(A)= Pi ,则在n次独立重复试验中,A发生的次数丫 B(

2、n, p ),从 而理论频数E(Y)=np, i = 1,2，1,即有事件AAAA实际频数mim1mi理论频数npinp1np?npi检验统计量：构造mi对np的偏差的加权平方和2 l 12(3.5.1)(m-npi)i=i npi由 K.Pearson定理知：(3.5.1)式中的n一,二2H02Q-D,于是取大子样时，检验统计量近似2Ho2(1 1)拒绝域：由/的意义知，在，2的值较小 时应接受H。，故给定显著水平。，构造小概率 事件P 2 - 2(1 -1)取拒绝域为W = （XX2； ,Xn）Z% -（IT）决策：当抽样结果是（Xi,X2，Xn）w W时， 拒绝Ho ,认为母体分布与Ho

3、中的分布有显著差 异；否则接受Ho,认为无显著差异.例U.4牧检验一颗骰子的六个面是否匀称（0.05）.解：记事件A为“掷骰子一次，结果出现点数 i，i= 1,21，6.1对一个均匀的骰子应有：P（A） = 6, i=1,2，6.，、1作假设 Ho：P（A尸 Pi = 6, i = 1, ,6 .从母体抽取容量为n= 120的子样后，得大子样列表：事件AA1A2A3A4A5A实际频数mi212819241612理论频数nPi202020202020检验统计量2（单 - np ）2i=inR近似 2（l - 1）H0拒绝域为W = (%X2，毛20产24(11)这时,26 （mnPi）2 = 8

4、.1i=inpi，z2(1-1)= z 鼠(5) =11.07,从而工2 50的大子样，求 出，1,与，晨的最大似然估计值 %,4，.，则 F(x)= F0(x;e；,。,dk)成为已知函数.分组求理论频数，构造大子样列表选分点a0 a1 a250;要求理论频数np产5, i=1,21，1,否 则进行组的合并；取组数l = 7 14 ,但为了保证 叩i z 5 , 可使| 0, 1 未知，i = Q1,2，泊松分布中参数九的最大似然估计为八一11*人= x=z mi xi = 0.664 n i=i.0.664i -0.664 ccc LC0.664i . c 4 ccnpi = 440e=

5、226.597, i = 0,1,2, 8i!i!,于是有Xi01234567npi226.597150.37049.89311.0361.8310.2430.0270.00合并226.597150.37049.89313.140mi26311238193110合并2631123827,、2(mi - nR )nPi5.8489.7912.89514.619并组后 l = 4, k= 1,l - k- 1= 2 ,检验统计量2(2)24 (mi - npi)2 Ho TOC o 1-5 h z =nrt. 近似i =1npi拒绝域为 W = ( Xi , X2，X440 ) x 2(2) 这

6、里 , z 2 = 33.094,2(l k-1)= ；.05(2)= 5.991 ,2 - 2(l - k-1).故应拒绝H 0,即认为各锭的断纱数X不服 从泊松分布(认为各锭的断纱数 X的分布与泊 松分布有显著差异)。区Q 3.4.3从某批零件中随机抽取250个，测 得直径(单位：cm)如下表，试检验零件直径X 是否服从正态分布(0.05直 径Xi13.2513.7514.2514.7515.2515.7516.2516.75频 数 mi76131415132415直 径Xi17.2517.7518.2518.7519.2519.7520.2520.75频 数 mi192322121276

7、8直 径Xi21.2521.7522.2522.7523.2523.7524.2525.25频 数 mi64220301= x= 17.000.解：作假设H:XN（2）,（其中任,。2未 知）最大似然估计为A仃2 = S； = 7.127= 2.6702 n即假设 Ho：X N(17.000,2.6702),亦即： 将n= 250的子样分组（如下表），其中事X 17.0002.670N(0,1)件A = （a-1,a的概率r = P(A)= P(ai_1 Xi-ai)= F(ai)- F ),目 - 17.000、，目.1 - 17.000、()一 (), i = 1, 2, 62.6702.

8、670(al(-8 ,12(12, 14(14, 17(17, 20(20, 22(22mi722949524Pi0.0310.1000.3690.3690.1000nPi7.7525.0092.2592.2525.00i/ 一2(mi -蛆)nPi0.0730.3600.0330.0820.0400检验统计量与拒绝域I = 6，k=2，l k1=3, TOC o 1-5 h z 2 - nR)2H。2二 (3)i=inR 近似)W=(Xi，X2，X25。)卜2* 4(3)给定 =。.。5 ,2(3)=7.815,2=。.596,从而z 2 4(4),故应拒绝Ho,认为注：在上述列联表的检验中，如果 c= r = 2 ,则2分布的自由度为1,其临界值 较小，2统计量往往高估变量间的关系。这时 最好对其进行修正，得到一个较小的，2,即令72 12 (卜-0 卜 0.5)2= L