数字电路课件：第2章逻辑函数与逻辑门

1、第二章 逻辑函数及逻辑门杭州电子科技大学电子信息学院 教材原著：数字电路 龚之春 编著逻辑函数用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式F = f（A、B、C、.）称为逻辑函数。输入变量输出变量取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑态 第二章 逻辑函数及逻辑门1、基本逻辑运算设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0” 灯亮，L=1 灯不亮，L=0 与逻辑只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。1)与运算与逻辑表达式：AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮不亮不亮亮0101

2、BLA0011输 入0001输出与逻辑真值表一、逻辑运算2）或运算或逻辑表达式： LA+B 或逻辑当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮0101BLA0011输 入0111输出或逻辑真值表3）非运算非逻辑表达式： 非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。A灯L闭合不闭合不亮亮LA0110非逻辑真值表2、其他常用逻辑运算 2）或非 由或运算和非运算组合而成。 1）与非 由与运算 和非运算组合而成。0101BLA0011输 入1110输

3、出“与非”真值表0101BLA0011输 入1000输出“或非”真值表3）异或 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。0101BLA0011输 入0110输出“异或”真值表异或的逻辑表达式为：4）同或（异或非）ABF1 01 10 10 00011逻辑表达式F=A B= AB “”同或逻辑运算符ABF=1逻辑符号二、逻辑函数的运算定律及规则常用公式：1）摩根公式： 推广证明：2)*逻辑规则1）代入规则：指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量，都代之以另一个逻辑函数，则该等式依然成立在摩根律中用BC代替B，得2）对偶规则一个逻辑函数Y，

4、如将其中的与换成或， 或换成与， 0换成1，1换成0，而变量及反变量本身保持不变，经这样置换后的新函数Y*，便是原函数Y的对偶函数。与或互换、0和1互换，变量和反变量不变，非不变3）反演规则将某逻辑函数Y中的“与”与“或”对换， 0和1对换， 原变量和反变量也同时对换，这样对换后的新函数，便是原函数Y的反函数 。与或互换、0和1互换 ，变量和反变量互换。举例三、逻辑函数的表示方法1真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的 函数值排列在一起而组成的表格。2函数表达式由逻辑变量和“与”、“或”、“非”等多种运 算符所构成的表达式。3逻辑图由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。4波形图由输入和输

5、出的波形图可构成函数的对应形式。ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”C开，F灭0000C合，A、B中有一个合，F亮11C合，A、B均断，F灭0逻辑函数式 挑出函数值为1的项1101111101111 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项 这些乘积项作逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABCF= ABC+ABC+ABC解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。 对于变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。 对于函数F设： 事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。例

6、1. 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则 决定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 F三人表决电路真值表由真值表可以转换为函数表达式。由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。例2 列出下列函数的真值表：真值表0 00 11 01 1A B 1001 L0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1

7、1A B C00010111 F三人表决电路真值表例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。由函数表达式可以画出逻辑图。解：可用两个非门、 两个与门 和一个或门组成。由逻辑图也可以写出表达式。解：例3 画出函数 的逻辑图： 等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的公式可推广：例5：证明包含律成立例6：用真值表证明反演律A BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB用真值表证明例7、试用真值表证明0101000111010100011010

8、01010010000100AB+ABAB+ABAB+ABABABABABBA1）、最小项和最大项2、函数表达式：与或式最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）乘积项和项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i-各输入变量取值看成二进制数，对应的十进制数 最大项n个变量有2n个最大项，记作in个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形

9、式出现一次）最大项：M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567最大项二进制数十进制数编号 最小项与最大项的关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即: mi =Mi Mi =mi若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。 例：m1m3m5m7=2）、逻辑函数的标准形式最小项（标准积）之和表达式式中的每一个乘积项均为最小项F(A、B、C、D)例9：求函数F(A、B、C)的标准积之和表达式解：F(A、B、C)利用反演律利用互补律，补上所缺变量C解:A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11

10、 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例10：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从真值表找出F为1的对应最小项解:0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加F(A、B、C)最大项（标准和）之积表达式A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例11：已知函数的真值表，写出该函数的最大项之积表达式 从真值表找出F为0 的对应最大项解: 然后将这些项逻辑

11、乘F(A、B、C)完全描述的逻辑函数：真值表中各行的输出都是明确的， 非0即1非完全描述的逻辑函数：真值表中有些行的输出是明确的， 还有些行的输出是未加规定的 ， 称为无关项或任意项，用d和D表 示。 3）、未完全描述函数的真值表及表达式例、试写出表中所示真值表的逻辑函数ABCY000100100100011-10011011110-1110解：表中有两行是任意项将任意项作1看待，函数的最小项之和表达式为将任意项作0看待，函数的最大项之积表达式为函数的简化依据 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性四、逻辑函

12、数的简化最简式的标准 首先是式中乘积项最少 乘积项中含的变量少 与或表达式的简化1、代数法化简函数与门的输入端个数少 实现电路的与门少方法： 并项： 利用将两项并为一项，且消去一个变量B 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB 配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC 消元：利用消去多余变量A代数法化简函数例8：试简化函数解：利用反演律配项加AB消因律消项AB2.卡诺图化简函数 卡诺图（K图）图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，又称真值图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAABABAB1010 m0 m1 m2 m3 miA

13、BC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD二变量K图三变量K图四变量K图四变量卡诺图：K图的特点图形法化简函数 k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项； k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同 相邻情况：上下，左右，上下底，左右边，四角相邻。（相对）0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m

14、4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四变量K图相对相邻图形法化简函数 k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量ABD ADA1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量十六个相邻格圈在一起，结果mi=1卡诺图化简函数规则：图形法化简函数 与或表达式的简化步骤 先将函数填入相应的卡诺图中，

15、存在的最小项对应的方格填1，其它填0。合并：按作圈原则将图上相邻填1的 个方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。 每个圈写出一个与项。按取同去异原则 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式 根据函数填写卡诺图1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格 填1，其余格均填0。2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的 那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式， 再用直接法填写。 作圈的步骤1、孤立的单格单独画圈2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必 须有新的最小项3、含1的格都应被圈入，以防止

16、遗漏积项图形法化简函数F(A,B,C)=BC+AC+AB圈1法 含有无关项的函数的化简 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号“-”、“”、“d或“”。处理方法：无关项对于变量的某些取值组合，所对应的函数值是不定的。通常约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项 化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最简。图形法化简函数例1 画出函数Y=f(A,B,C,D)=m(2,5,8,10,12,14,15) 的卡诺图例2 画出函数Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)的卡诺图化简：函数Y=f(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,11,

17、13,14,15)+d(7,10)化简：函数Y=f(A,B,C,D)=m(2,5,8,10,12,14,15)圈0法：可得到最简或与式5）多输出函数的化简用卡诺图对变量相同的多个输出函数进行化简时，应圈出尽量多的公共项例：试用卡诺图化简多输出函数：解：先画出相应的卡诺图按尽量圈公共项的原则，可得：6）禁止逻辑设有函数 ，其卡诺图如图所示： 用圈1法，可得：若将图中原为0的3号小格打上阴影线，它应为禁止项现在先将该禁止项圈进，得新函数 ，再乘上禁止项之非 ，便得：例：试用阻塞法化简函数解：将函数画成卡诺图发现如按圈1法，已是最简的积之和表达式若令 为禁止项，则可写出：该表达式具有较少的门电路和连

18、线与: 相应格的值相与或: 相应格的值相或反函数: 每个格的值取反对偶函数: 每个格填上对偶项值的非 m0-M15 m1-M14 m2-M13 五、卡诺图运算六、降维卡诺图（不要求掌握降维卡诺图的合并化简）一个五变量函数，可以填入四变量的卡诺图中，小格中除常量0、1及任意项“”外，还会出现另一个变量，后者就称为图记变量，而这种卡诺图就成为降维卡诺图。将A选作图记变量，合并卡诺图选B为图记变量，降成三变量式的卡诺图A=0 A=1较难:不要求掌握五、逻辑门、符号和变换1、逻辑符号 （GB4728.12-85）1逻辑单元符号：2输入输出记号：状态记号电平记号非门逻辑符号： （GB4728.12-85

19、）1图形符号的三种形式2、门电路符号：3、表达式电路图：1用与非门实现（Y=AB）与：Y=AB=AB非：Y=A=AA或：Y=A+B=A+B=A B或：一端为A，一端接12用或非门实现（Y=A+B）或：Y=A+B=A+B非：Y=A=A+A与：Y=AB=AB=A+B或：一端为A，一端接0例1：分别用与非门和或非门表示异或Y=AB=AB+AB=AB AB Y=AB=AB+AB=A+B +A+B 函数表达式的常用形式（重点掌握） 五种常用表达式F(A，B，C)“与或”式“或与”式“与非与非”式 “或非或非”式“与或非”式基本形式 表达式形式转换利用反演律 特定的逻辑问题，对应的真值表是唯一的，实现的逻辑函数有多种形式