机械工程控制基础讲义

1、机械工程控制基础2012.10主讲人：张燕 机械类专业必修课机械与动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪 论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析3.1 时间响应及其组成、典型输入信号3.2 一阶系统的时间响应3.3 二阶系统的时间响应3.4 二阶系统的性能指标3.5 高阶系统地时间响应3.6 系统的误差分析及计算3.7 单位脉冲函数在时间响应中的作用第三章 系统的时间响应分析教学内容3.1 时间响应及其组成、典型输入信号 建立系统数学模型后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之

2、一。 时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，时间响应不仅取决于系统本身特性，而且与外加的输入信号有较大的关系。 时域分析的目的 ：在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。时域法的特点：时域法是最基本的分析方法，是学习复域法、频域法的基础。（1）直接在时间域中分析系统，直观，准确；（2）可以提供系统时间响应的全部信息；（3）基于求解系统输出的解析解，比较烦琐一、时间响应及其组成概念说明： 系统的响应及其组成：就是指描述系统的微分方程的解及其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。实例分析 1无阻尼单自由度系统

3、系统微分方程：系统的时间响应响应组成及一阶系统微分方程解的组成：特解齐次微分方程通解系统的时间响应响应组成及一阶系统由理论力学与微分方程解的理论可知：特解与输入有关通解与输入无关的值。对应特解是的值；时对应通解是)()()()(0)(tytftkymtytkyy(2)(t)m=+=+y(2)(t)sincos()(2)()(2)(20212121221xCxCetyjaxCCetyeCeCtyqprry(2)(t)+py(1)(t)+qy(t)=0axrxxrxrbbb+=+=+=+，则通解为：个共轭虚根若方程有解为：个相等的实数根，则通若方程有通解为：个不相等的实数根，则若方程有化为的通解：

4、求微分方程解的表现形式：将 y2(t) 代入系统的微分方程中，可得：为系统的无阻尼固有频率。于是，式 的完全解可写成如下形式：为求常数A和B，将上式对 t 求导可得：联立以上二式可解得：特解，与输入有关通解，与输入无关y (t)=y0求得方程的解：由微分方程初始条件引起的响应由作用力引起的响应自由响应强迫响应还不是完全意义上的自由响应，其振幅还是受F的影响自由响应的振动频率与自身特性有关强迫响应的振动频率与外加作用力的振动频率相关由作用力引起的自由振动自由响应（频率为n）强迫响应（频率为）零输入响应零状态响应零输入响应：无输入时系统初态引起的自由响应。零状态响应：在零初始条件下（输入为零的时刻

5、、系统的初态也为零），由输入引起的响应。系统的时间响应响应组成及一阶系统牢记！控制工程的研究内容主要是零状态响应！2、系统时间响应的一般组成对系统微分方程x(t)各阶导数取 0，则：方程解的一般形式：若方程中齐次方程特征根si ( i=1,2,n )互异，则：y1(t)又可表示为：系统初态引起的自由响应输入x (t)引起的自由响应系统的时间响应响应组成及一阶系统自 由 响 应强 迫 响 应零 状 态 响 应零 输 入 响 应系统响应的一般表达为：n与si同系统的初态和输入无关，而取决于系统的结构和参数的固有特性。系统的时间响应响应组成及一阶系统注意：在定义系统的传递函数时已规定零初始条件，故由

6、初态引起的零输入响应为零，从而对Y(s)=G(s)X(s)进行拉氏反变换得到的y(t)就是零状态响应。在定义传递函数时，其前提条件之一便是：系统初始状态为0拉氏反变换看看利用传递函数求解响应的过程？此处所求 是在系统零状态下的解，即前面讲的零状态解注意：本书所讲时间响应内容没有特别标明之外，均为零状态响应输入存在导数项的响应求取：对系统动力学微分方程的一般形式求导： 若x(t) 为新输入则新输出为y(t) ，所以以x(t)的n阶导数为输入则以y(t)的n阶导数为输出。存在导数的输入的响应是各阶导数输出的叠加。 系统的时间响应响应组成及一阶系统讨论：系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统

7、的初态无关；由y(t)=L-1G(s)X(s)所求得的输出是系统的零状态响应对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x(t)引起的输出为y(t)。系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡性不同的特征根对应的自由响应：(a): Resi0 系统发散虚部为零，实部相等，不振荡若所有的特征根都具有负实部，系统的自由响应项收敛于0（系统稳定）此时，自由响应称为瞬态响应若存在特征根的实部为正，其余为负，则系统的自由响应项发散（系统不稳定）若存在特征根的实部为零，其余为负，则系统的自由响应项等幅振荡（系统临界稳定） 在此还要强调： Res i是大于还是小于零，决定系统稳定还是不稳定； Res

8、 i绝对值大小，决定系统的快速性；而I ms i则在决定系统的振荡情况，影响系统响应的准确性。总结：振动性质振动来源自由响应强迫响应零输入响应零状态响应稳定性质瞬态响应稳态响应信号分类：确定性信号：能够用明确的数学关系式描述的信号。非确定性信号：不能用数学关系式描述的信号。特点：可分为周期、非周期信号与准周期信号。特点：幅值、相位变化不可预知，只服从统计规律。系统的时间响应响应组成及一阶系统 在分析和设计系统时，为了能够方便地评价其性能的优劣，需要规定一些典型输入信号。从而通过比较系统对典型输入信号的时间响应来判定系统的动态性能。二、典型输入信号t0典型输入信号：正弦信号(e)随机函数(f)系

9、统性能评价原理：系统试验方法：系统正常工作输入信号特点：不影响系统正常工作，但不能保证全面了解系统动态特性。经验典型信号特点：能综合测试系统的动态特性。系统的时间响应响应组成及一阶系统典型输入信号的选择原则： 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。教学内容3.2 一阶系统的时间响应定 义：可用一阶微分方程描述的系统。微分方程：()()()=+txtxdttdxTioo11)()()(+=TSsXsXsGio

10、传递函数：特征参数：一阶系统时间常数T 。T表达了一阶系统本身与外界作用无关的固有特性。特点：输入瞬态；响应有瞬态无稳态，且按指数规律衰减。主要原因是引起此响应的输入是瞬态作用1/T2-0.368 1/T2-0.135 1/T2-0.018 1/T201/T0.368 1/T0.135 1/T0.018 1/T00T2T4Tw(t)w (t)t1/T0.368 1/T1/T2斜率T2Tt特性分析：过渡过程：响应衰减到初值2之前的过程。调整时间：过渡过程历经的时间ts=4T。T越大，ts越长，系统惯性越大； 一阶系统可称为一阶惯性系统。系统的时间响应响应组成及一阶系统斜率1/T10.632ATt

11、x ou(t)0特性分析：1/T0.368 1/T0.135 1/T0.018 1/T000.6320.8650.98210T2T4Txou(t)xou(t)t响应说明：单调上升的指数曲线；重要特征点：A点t=T, xou(t)=0.632；0点t=0,斜率为1/T。包含了一阶系统固有特性的有关信息不同时间常数下的时间响应一阶系统的性能指标：调整时间ts一阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系？结论：如果一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；如果一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是如果积分是不定积分，

12、则还需要确定积分常数。单位脉冲单位阶跃w(t)xou (t)而(t)0u(t)0时，当t由上面公式可以看出，=如何用实验法求一阶系统的传递函数G(s) ？如稳态值B(t)为k, 0.632B(t)时的时间t=T, 则传递函数为：对系统输入一单位阶跃信号测出响应曲线稳态值0.632倍的稳定值或t=0时的斜率求得时间常数即能求得传递函数可求得w(t)可求得xou(t)w(t) =xou (t)L-1Xou(s)=L-1G(s)*1/s= xou(t)斜率1/T10.632ATtx ou(t)0系统的时间响应响应组成及一阶系统例1：已知系统的单位脉冲响应函数为：求：(1) 求系统的传递函数; (2)

13、 确定系统的单位阶跃响应达到稳态值的95%所需要的时间解：（1）因为系统的单位脉冲响应是系统传递函数拉氏反变换，故（2）由于单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，因此单位阶跃响应就是单位脉冲响应的积分；则稳态值：设，单位阶跃响应达到稳态值95%时的时间t=ts，则有：解得： ts=14.1s例2：p113, 3.5解：令 t=1，则：解得： T=0.256min所以：当t=1min， e(t)=2.53oC例3：p113, 3.9解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以闭环传递函数为：因此，该系统为一阶系统，其中：时间常数为：系统增益为：因此，其单位阶跃响应为：从上面可知，

14、当K值增大时，系统的响应快速性变好；当T值减小时，系统的响应快速性变好。教学内容3.3 二阶系统的时间响应系统的时间响应二阶系统说 明：一般控制系统。微分方程：传递函数：特征参数：无阻尼固有频率n ，阻尼比 。n 称为无阻尼固有频率,称为阻尼比,它们是二阶系统本身固有的与外界无关的的特征参数 。一、二阶系统分析系统的时间响应二阶系统其特征方程为：特征根为： 二阶系统的特征根因 的不同而不同。可分四种情况进行说明。欠阻尼系统j0s1s2二阶系统方程特征根的讨论：a) 0 1 过阻尼系统j0s1s2二、二阶系统的单位脉冲响应根据传递函数的定义，可知：()()()()=sXsGsXsWio其响应由阻

15、尼比来划分输入：(t) Xi(s)=1；输出：w(t) W(s)二阶系统的单位脉冲响应：a) 0 1 过阻尼系统因此，w(t)可视为两个并联的一阶系统的单位脉冲响应函数的叠加；思考：这两个一阶系统的时间常数是什么？和一阶系统中的T有什么特点？二阶系统的单位阶跃响应输入：u(t) Xi(s)=1/s；输出：x0(t) X0(s)根据传递函数的定义，可知：二阶系统的单位阶跃响应：a) 0 1 过阻尼系统L-1当1.5，两个衰减的指数项中，es1t 的衰减要比es2t 快得多，因此过渡过程的变化以es2t 项起主要作用。系统的时间响应二阶系统系统的时间响应二阶系统二阶系统单位阶跃响应分析： 1时，过

16、渡过程为单调上升, 且在= 1时过渡过程最短。= 0.40.8时，振荡适度、过渡过程较短且比= 1 时更短。控制系统设计所需的理想参数决定过渡过程特性的是响应的瞬态响应部分；合适的参数n和决定了合适的过渡过程。教学内容3.4 二阶系统的性能指标系统的时间响应二阶系统四、二阶系统响应的性能指标1) 相关约定：阶跃输入产生容易，基于其响应系统可求得对任何输入的响应。实际输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入是实际中最不利的输入情况。2) 由于完全无振荡的单调过程的过渡时间太长，所以，除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，其目的是为了获得较短的过渡时间。 系统性能指标根据系统对单位阶

17、跃输入的响应来界定，原因如下：系统的时间响应二阶系统3) 欠阻尼二阶系统响应性能指标：上升时间tr；峰值时间tp；最大超调量Mp；调整时间ts；振荡次数N； 因此，在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取= 0.40.8）状态下工作。 所以，下面有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的，更确切地说，是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的。a) 上升时间tr 响应曲线第一次达到稳态值所需的时间定义为上升时间。 由图可知，当tt r时，xo(t r)1，由单位阶跃响应的表达式得：t0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 系统的

18、时间响应二阶系统即：可得：令： 上升时间是输出第一次达到稳态值的时间，故取：b) 峰值时间 tp响应曲线达到第一个峰值所需要的时间定义为峰值时间。 令：则：依定义，取：则：t0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 c) 最大超调量 Mpt0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 定义如下：依据定义：代入时间响应，得：即： 超调量只与阻尼比有关。 当=0.40.8 时，相应的超调量Mp=25% 1.5% 。t0 xout rt pt sM p1 0.9 0.1 d) 调整时间 ts过渡过程中，输出满足下列不等式所需的时间定义为调整时间即：所以：系统的时间响应二阶系统若取0.02，得 ：或若取0.05，得 ：或系统的时间响应二阶系统二阶系统的特征参数n和 决定系统的调整时间，和最大超调量；反过来，根据 t s 和Mp要求，也能确定n和 。e) 振荡次数N 定义：过渡过程中，输出xo(t)穿越其稳态值的次数的一半。基于欠阻尼单位阶跃响应函数 ：系统的振荡周期为：系统的时间响应二阶系统当00.7时，代入ts 近似表达式，有：二阶系统性能讨论：增大n，可以提高二阶系统的响应速度，减少上升时间tr、峰值时间tp和调整时间ts； 增大，可以减弱系统的振荡，降低超调量Mp，减少振荡次