高中数学必修五-知识点和习题

1、目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc4484 编写说明 PAGEREF _Toc4484 1 HYPERLINK l _Toc3682 第一章 解三角形 PAGEREF _Toc3682 2 HYPERLINK l _Toc1220 1.1 正弦定理和余弦定理 PAGEREF _Toc1220 2 HYPERLINK l _Toc7712 1.2 应用举例 PAGEREF _Toc7712 9 HYPERLINK l _Toc21047 第二章 数列 PAGEREF _Toc21047 13 HYPERLINK l _Toc5215 2.1 数列的概念与简单表示方法

2、 PAGEREF _Toc5215 13 HYPERLINK l _Toc21963 2.2 等差数列 PAGEREF _Toc21963 16 HYPERLINK l _Toc20558 2.3 等差数列的前n项和 PAGEREF _Toc20558 18 HYPERLINK l _Toc24864 2.4 等比数列 PAGEREF _Toc24864 20 HYPERLINK l _Toc14220 2.5 等比数列的前n项和 PAGEREF _Toc14220 23 HYPERLINK l _Toc15312 第三章 不等式 PAGEREF _Toc15312 27 HYPERLINK

3、l _Toc29148 3.1 不等关系与不等式 PAGEREF _Toc29148 27 HYPERLINK l _Toc15071 3.2 一元二次不等式及其解法 PAGEREF _Toc15071 29 HYPERLINK l _Toc17240 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 PAGEREF _Toc17240 32 HYPERLINK l _Toc20628 3.4 基本不等式 PAGEREF _Toc20628 35 编写说明本书是高中数学必修课程5个模块中的一个，包括解三角形、数列与不等式三章内容。“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理，及其简单应用，

4、旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。“数列”的主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。要求学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。“不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系，帮助学生理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值，进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不

5、等式的基本方法，用二元一次不等式组表示平面区域，以及解决一些简单的二元线性规划问题的方法，最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有正弦定理的变形公式： = 1 * GB3 ，； = 2 * GB3 ，； = 3 * GB3 ； = 4 * GB3 正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。【典型例题】1、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,，求c。2、在ABC中，“A = B”是“sin A = sin B”的( )A. 充分不

6、必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件【练习】1、求B、C、b.2、在中,已知, , B=450.求A、C和c.3、已知ABC中，求。4、在中,已知下列条件解三角形；（1）； （2）； （3）（4） （5）（6） 5、在中，.求角，和边.6、已知在中,，求，和。7、在中，,，求角。8、在中，已知，求角。9、在中,若，求角B。 10、在中,若求AB。11、在中，若，,，求和。12、在ABC中，若a = 2b sin A，求角B。13、在中,已知内角,边。设内角，周长为.（1）求函数的解析式和定义域； （2） 求的最大值。余弦定理在中，有，余弦定理的变形公式：，余

7、弦定理的应用范围：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。【典型例题】在ABC中，已知，求b及A。2、如图，在中，（1）求的值；（2）求的值.【练习】1、在ABC中，若，则角A=_。2、ABC中，a3，b，c2，则角B=_。3、在ABC中，若，则最大角的余弦值为_。4、已知在中，则角=_、角=_、=_。5、已知在中，则角=_、角=_、边=_。6、,则 .7、,则B= .8、在中,已知,则=_.9、在中,边长是方程的两实根,则边=_.10、在中，则A=_，B=_，C=_。已知在中，则边上的高为_12、已知是的三边，那么的值_A. 大于0 B. 小于0

8、 C. 等于0 D. 不确定13、在中，若为钝角，下列结论成立的是 _A. B. C. D. 14、在中，且，则_15、在中，已知，则角=_16、在中,角的对边分别为,若,且,则=_.17、在中，,边上的中线长, 则= ，= .18、在中,则边上的高为_.19、在中,角的对边分别为,若,且,则=_20、在中，若，则最大角的余弦值是_21、已知三角形的三边长分别是且，这个三角形的最大角为_。22、 在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，第三边的长_。23、在中，已知，给出以下四个论断： 其中正确的是_ 24、在中，角的对边分别为。若，则角B的值为_ 25、的内角的对边分别为。若成等差数列，且

9、。则= 26、在中，若，则的值为_27、在中，已知，求。解三角形的进一步讨论利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解三角形面积公式

10、：【典型例题】1、在ABC中，已知，讨论三角形解的情况。分析：先由可进一步求出B；则，从而1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。2、根据所给条件,判断的形状.1）在ABC中，已知，。2） 3）3、在中，若，求的面积。4、在ABC中，证明：5、设的内角所对的边长分别为，且，。（1） 当时，求的值；(2)当的面积为时，求的值6、在中，已知。（

11、）若，求的值；（）求角的取值范围【练习】1、在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。2、在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个。3、在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。4、在ABC中，已知，判断ABC的类型。5、在ABC中，判断ABC的形状。6、中，判断该三角形的形状。7、中, ，判断该三角形的形状。8、在中，若，判断的形状。9、在中，若，判断的形状。10、在中，已知，判断该三角形的形状。 11、在中，已知，且，试确定的形状。12、中，如果，并且为锐角，试判断此三角形的形状。13、中，（分别为角所对的边），判断此三角形的形状。14、根据所给条件，判断的形状.（）；

12、（）15、在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.16、在ABC中，,A30，求ABC面积。17、在ABC中，面积为，求的值18、在ABC中，若，且此三角形的面积，求角C19、在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C20、已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积21、在中，O为坐标原点，则当的面积达最大值时，ABCD22、已知为的三个内角，其所对的边分别为，且。(1)求角的值；(2)若，求的面积23、内接于半径为的圆，且，求的面积的最大值。24、三角形的某两边长分别为,其夹角的余弦值是方程的根，求此三角形的面积。在ABC中，求证：（1

13、）（2）.25、已知在中，则边上的高为（ ）A. B. C. D. 26、在中，已知比长2，比长2，且最大角的正弦值为，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 27、在中，已知，且，则的值为 ( )A. 4 B. 8 C. 4或8D. 无解28、在中，且的面积，则边的长为（ ）A. B. 3C. D. 729、在中,若,则 = ( )A B C 或 D 或 30、中，则等于（ ） A. 135B. 120C. 45D. 6031、在中，角所对的边分别为。若，则= _已知在中，则三个内角的度数依次是_33、在中，已知，给出下列结论： 由已知条件，这个三角形被唯一确定； ABC一定是钝角三角形；

14、 ； 若，则的面积是。其中正确结论的序号是_34、中，已知，且，则的面积等于_。35、在锐角中，,则的值等于 ，的取值范围是 ABDC36、如图，在中，已知，是边上的一点，_37、在中，内角所对边的边分别为。已知。若的面积等于，求； （2）若，求的面积。38、在中，内角对边的边长分别是，已知.(1)若的面积等于，求；(2)若，求的面积39、的内角的对边分别为.己知 ()求；（）若40、在中，的对边分别是，已知，求的值。41、在中，为角所对的三边，已知，求角42、在中，分别是角的对边，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面积43、在中，内角,的对边分别是，设为的面积，满足（1）求角C的大小；（2

15、）求的最大值。44、已知，满足。（1）将表示为的函数，并求的最小正周期。（2）已知内角,的对边分别是，若，且，求的取值范围1.2 应用举例解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3

16、)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数距离测量问题【典型例题】1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)【练习】1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？如图所示，为了测量河对岸两点间的距离，在这岸定一基线，现已测出和，试求的长如图，都在同一个与水平面垂直的平面内为两岛上的两座灯塔的塔顶，测

17、量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，.试探究图中、间距离与另外哪两点间距离相等，然后求，的距离高度测量问题【典型例题】1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。【练习】1、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)2、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远

18、处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.如图，山脚下有一小塔，在塔底测得山顶的仰角为，在山顶测得塔顶的俯角为，已知塔高，求山高.如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.角度测量问题【典型例题】如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.

19、01n mile)【练习】1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？在某海岸处，发现北偏东方向，距离处n mile的处有一艘走私船在处北偏西的方向，距离处n mile的处的缉私船奉命以n mile/h的速度追截走私船. 此时，走私船正以5 n m

20、ile/h的速度从处按照北偏东方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向. ACB注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示方法数列的概念与简单表示方法定义：按一定次序排列的一列数叫数列，其中数列中的每一个数都是函数值，将数列中的每个数称为数列的项，和它在数列中的次序对应起来，称为第1项，第2项，第n项，。数列的一般形式：，简记为数列的分类：（1）按项数来分：有穷数列：项数有限的数列；无穷数列：项数无限的数列叫。（2）按项的

21、大小来分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列： 各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。【典型例题】1、已知数列满足，则这个数列是（） A 递增数列 B 递减数列 C 摆动数列 D 不确定2、数列的一个通项公式是（） A B C D 3、数列的一个通项公式是_【练习】1、下列数列是递增、递减、摆动还是常数列？（1）（2）（3）（4）2、已知数列满足：，则数列是（）A. 递增数列B. 递减数列C

22、.摆动数列D.不确定3、已知数列满足：，则数列是（）A. 递增数列B. 递减数列C.摆动数列D.不确定4、数列中，第10项是_5、已知数列，其中0.9是它的第_项。6、1,1,2,3,5.，这个数列的第八项是_7、观察下列的图形中小正方形的个数，则第7个图中有_个小正方形。8、上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）A BC D9、设数列，则是这个数列的（ ）A第项B第项C第项D第项10、数列，的通项公式为_11、已知数列，那么（ ）A是数列中的一项 B是数列中的一项C是数列中的一项 D以上答案都不对12、若，则与的大小关系是（ ）A B C D不能确定13、根据下列数列的

23、前几项写出数列的一个通项公式(1) （2）（3）（4）14、写出下列数列的一个通项公式：（1）（2）（3）（4）15、一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象可能是 ( )16、已知数列中的首项，则此数列的第三项是_17、已知数列满足，则_18、练习：已知数列满足：,_;_19、设，则_AB. C. D. 20、已知数列满足，且则的值是_21、数列中，且，则_.22、已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出，（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列的前5项。2.2 等差数列 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项

24、起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么我们把叫做和的等差中项等差数列的通项公式：【变式：】性质：若是等差数列，且（、），则【典型例题】1、已知数列1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.2、将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论 【练习】1、（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.（2）求等差数列10

25、，8，6，的第20项.（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（4）20是不是等差数列0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2、在等差数列中，（1）已知=10,=19,求与d;（2）已知=9, =3,求.3、在等差数列中，已知，求,4、 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度5、 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 6、已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.77、已知为等差数列，且21,

26、 0,则公差dA.2 B. C. D.28、等差数列中，且，则公差=9、各项不为零的等差数列中，则的值为（） AB4CD10、已知等差数列中，的值是（ ）A15B30C31D6411、等差数列中，则的值为A15 B23 C25 D3712、设是公差为正数的等差数列，若，则（） A B C D 13、若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.14、在等差数列an中,，则，的值为（） A B C D 015、已知在等差数列中，求16、在等差数列中，若是方程的两根，则_17、若，两个等差数列与的公差分别为，则_18、等差数列的前10项的和前100项的和,求

27、前110项的和19、莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，请解答书中的一道题目，把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且是较多的三分之和的是较少的两份之和，求最少一份的量。20、已知数列的前n项和为，点在曲线，且，求证：数列是等差数列，并求。21、如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则( )A B C+ D=22、已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值.23、已知数列成等差数列，且，求的值。2.3 等差数列的前n项和等差数列的前项和的公式： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 等差数列的前项和的性质： = 1 * GB3 若项数为，则，且， = 2 *

28、 GB3 若项数为，则，且，（其中，）。【典型例题】1、已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。2、已知一个等差数列的通项公式an=255n，求数列的前n项和；【练习】等差数列-10，-6，-2，2，前_项的和是54？（1）求正整数列前n个偶数的和；（2）求正整数列前n个奇数的和。如果等差数列的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项和的公式。4、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数：（1）求n 及； （2）5、等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；6、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求前n项和。7、设

29、是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 8、等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（）A1 B C.- 2 D 39、等差数列的前n项和为，已知，,则（）A.38 B.20 C.10 D.9 10、若等差数列的前5项和，且，则( )A.12 B.13 C.14 D.1511、已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ ）A64 B100 C110 D12012、记等差数列的前项和为，若，则（ ）A16 B24 C36 D4813、等差数列的前项和为若（）A12 B10 C8 D614、设等差数列的前项和为，若，则（）A63 B45 C36 D271

30、5、已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A2 B3 C4 D516、等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A9 B10 C11 D1217、设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_18、设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .19、已知等差数列的前项和为，若，则20、若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项21、各项均不为零的等差数列中，若，则等于 （ ） A0 B2 C2009 D4018 22、已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则的值为（ ）A2B4C7

31、D823、在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ） A18 B 27 C 36 D 924、在等差数列中，则数列的前9项之和等于（）A.66 B99 C144 D.29725、设等差数列的前n项和为（ ）A18B17C16D1526、已知等差数列共有100项，前三项的和为7，最后三项和为3，那么前100项和为_27、等差数列前m项的和为30，前2m项和为100，那么它的前3m项和为_28、设等差数列的前项和为，若,则= 11、设等差数列的前项和为，若则 29、等差数列的前项和为，且则 30、设为数列的前项和，其中是常数，求及；31、设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是

32、使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.32、已知等差数列中，求前n项和. 33、已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：2.4 等比数列概念：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比若等比数列的首项是，公比是，则通项公式为通项公式的变形： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 ； = 4 * GB3 等比中项：在与中间

33、插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若，则称为与的等比中项若是等比数列，且（、），则；若是等比数列，且（、），则【典型例题】1、在等比数列中，（1），求；（2），求（3），求（4），求2、求下列各组数的等比中项 （1）（2）3、在等比数列中中，公比，若，则m=4、设是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则与的大小关系为（ ）A B C D与公比的值有关5、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则_。6、若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ） = 1 * GB3 ，是等比数列 = 2 * GB3 成等差数列 = 3 * GB3 ，成等比数列 = 4 * GB3 ，成等比数列。

34、A 5 B4 C3 D2【练习】1、在等比数列中，求。2、在等比数列中，公比，若，则m=_3、已知为等比数列，求的值。4、在公比为整数的等比数列中，且，求公比q=_5、已知等比数列的公比为，且，则_6、在等比数列中，则_7、已知是等比数列，且，那么8、在等比数列中，公比，且，那么_9、三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ）A2，4，8 B8，4，2 C2，4，8，或8，4，2 D10、设是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则与的大小关系为（ ）A B C D与公比的值有关11、已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= A. B. C. D.2 12、设是公差不

35、为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A B CD13、已知是等比数列，则=（ ）A.16（） B.6（） C.（） D.（）14、在等比数列an中，a28，a564，则公比q为（）A2 B3 C4 D815、若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且，则A4 B2 C2 D416、在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )A .33 B. 72 C. 84 D .18917、若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列18、已

36、知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为 19、等比数列，则20、等比数列中，则21、等比数列中，则22、有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_。2.5 等比数列的前n项和等比数列的前项和的公式：等比数列的前项和的性质： = 1 * GB3 若项数为，则 = 2 * GB3 = 3 * GB3 ，成等比数列【典型例题】1、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 2、设等比数列的公比，前项和为，则 3、设等比数列的前n项和为。若，则= 4、设有数列，若以为系数的二次方程都有根，且满足。（1）求证：数列是等比数列。（2）求数列的通项以及前n项和。5、设是由正数组成的等比数列，是其前n项和，证明。6、在等比数列中，使的最小自然数n=_。7、若首项为，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项公比q的一组取值可以是_。【练习】1、已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()A. B.C. D.2、设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前7项的和为( )A.63B.64C.1