文科一轮学案9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

1、学案9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系 相交； 相切； 相离(2)代数法：eq o(,sup7(判别式),sdo5(b24ac)eq blcrc (avs4alco1(0相交；,0相切；,0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2req oal(2,2)(r20).eq o(sup7(方法),sdo5(位置关系)几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离 外切 相交 内切 (r1r2) 内含 (r1r2) 【知识拓展】常用结论(

2、1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；相离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(5)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0 xy0yr2.()(6)过

3、圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0 xy0yr2.()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 直线与圆的位置关系例1(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2y2kx2yk2150相切，则实数k的取值范围是_(3)已知方程x2eq f(x,tan )eq f(1,sin )0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2y21的位置关系是_变式训练：已知直线l：ykx

4、1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长 考点二 圆与圆的位置关系例2(1)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离(2)过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程为_(3)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_ 变式训练：(1)圆C1：x2y22y0，C2：x2y22eq r(3)x60的位置关系为()A相离 B外切C相交 D内切考点三：直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题例3

5、(2015课标全国)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于()A2eq r(6) B8 C4eq r(6) D10命题点2由直线与圆相交求参数问题例4(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()12，其中O为坐标原点，求|MN|.命题点3直线与圆相切的问题例5(1)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_；(2)已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程与直线l

6、1：xy40平行；与直线l2：x2y40垂直；过切点A(4，1)变式训练：(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦长为_(2)过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_ 当堂达标：1(教材改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C相交过圆心 D相离2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)3(2014湖南)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于()A21 B19 C9 D114(2015

7、山东)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()Aeq f(5,3)或eq f(3,5) Beq f(3,2)或eq f(2,3)Ceq f(5,4)或eq f(4,5) Deq f(4,3)或eq f(3,4)5(教材改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_巩固提高案 日积月累 提高自我1(2015广东)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)0C2xy50或2xy50D2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)02已知直线

8、axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A、B两点，且ABC为等边三角形，则实数a的值为()A4eq r(15) B4eq r(5)C4eq r(15) D4eq r(5)3若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210 (bR)内切，则ab的最大值为()A.eq r(2) B2 C4 D2eq r(2)4过点P(3,1)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy305若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()A.eq f(1,2

9、)，4 Beq f(1,2)，4C.eq f(1,2)，4 Deq f(1,2)，46(2015山东)过点P(1，eq r(3)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()_.7已知曲线C：xeq r(4y2)，直线l：x6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得eq o(AP,sup6()eq o(AQ,sup6()0，则m的取值范围为_8在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_9已知以点C(t，eq f(2,t

10、)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程10(2014课标全国)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积学案9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系dr相离(2)代数法：eq o(,su

11、p7(判别式),sdo5(b24ac)eq blcrc (avs4alco1(0相交；,0相切；,0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2req oal(2,2)(r20).eq o(sup7(方法),sdo5(位置关系)几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d1，而圆心O到直线axby1的距离deq f(|a0b01|,r(a2b2)eq f(1,r(a2b2)0，解得eq f(8r(3),3)k0，即(k2)(k3)0，解得k2

12、或k0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|eq r(1k2)|x1x2|2eq r(f(84k11k2,1k2)2 eq r(11f(4k3,1k2)，令teq f(4k3,1k2)，则tk24k(t3)0，当t0时，keq f(3,4)，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故teq f(4k3,1k2)的最大值为4，此时|AB|最小为2eq r(7). 考点二 圆与圆的位置关系例2(1)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C

13、外切 D相离(2)过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程为_(3)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_答案(1)B(2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(6,5)2eq f(4,5)(3)(2eq r(2)，0)(0,2eq r(2)解析(1)两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距deq r(421)eq r(17).32d32，两圆相交(2)由eq blcrc (avs4alco1(x2y24xy1，,x2y

14、22x2y10， )得2xy0，代入得xeq f(1,5)或1，两圆两个交点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(2,5)，(1，2)过两交点的圆中，以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(2,5)，(1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小该圆圆心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(6,5)，半径为eq f(r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)1)2blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)2)2),2)eq f(2r(5),5)，圆的方程为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,5)

15、2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(6,5)2eq f(4,5).(3)C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得：0eq r(a2a2)22，0|a|0，N(x，y)|(x1)2(yeq r(3)2a2，a0，且MN，求a的最大值和最小值解M(x，y)|yeq r(2a2x2)，a0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原点O为圆心，半径等于eq r(2)a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)N(x，y)|(x1)2(yeq r(3)2a2，a0，表示以O(1，eq r(3)为圆心，半径等于a的一个圆再由MN，可得半圆和圆有交点，故半圆和

16、圆相交或相切当半圆和圆相外切时，由|OO|2eq r(2)aa，求得a2eq r(2)2；当半圆和圆相内切时，由|OO|2eq r(2)aa，求得a2eq r(2)2，故a的取值范围是2eq r(2)2,2eq r(2)2，a的最大值为2eq r(2)2，最小值为2eq r(2)2.考点三：直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题例3(2015课标全国)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于()A2eq r(6) B8 C4eq r(6) D10答案C解析由已知，得eq o(AB,sup6()(3，1)，eq o(BC,sup6()(3，9)，则eq

17、o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()3(3)(1)(9)0，所以eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122eq r(6)，y222eq r(6)，所以|MN|y1y2|4eq r(6)，选C.命题点2由直线与圆相交求参数问题例4(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()12，其中O为坐标原点，求|MN|

18、.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为直线l与圆C交于两点，所以eq f(|2k31|,r(1k2)1.解得eq f(4r(7),3)keq f(4r(7),3).所以k的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(7),3)，f(4r(7),3).(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2eq f(41k,1k2)，x1x2eq f(7,1k2).eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1eq f(4k1k,

19、1k2)8.由题设可得eq f(4k1k,1k2)812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.命题点3直线与圆相切的问题例5(1)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_；答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即deq f(|k142k|,r(k212)eq f(|3k|,r(k21)1，解得keq f(4,3)，所求切线方程为eq f(4,3)xy

20、42eq f(4,3)0，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.(2)已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程与直线l1：xy40平行；与直线l2：x2y40垂直；过切点A(4，1)解设切线方程为xyb0，则eq f(|12b|,r(2)eq r(10)，b12eq r(5)，切线方程为xy12eq r(5)0；设切线方程为2xym0，则eq f(|22m|,r(5)eq r(10)，m5eq r(2)，切线方程为2xy5eq r(2)0；kACeq f(21,14)eq f(1,3)，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13

21、(x4)，即3xy110.变式训练：(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦长为_(2)过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_答案(1)2eq r(2)(2)4解析(1)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|eq r(2)，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2eq r(22r(2)2)2eq r(2).(2)将圆的方程化为标准方程为(x3)2(y4)25，则圆心为(3,4)，半径长为eq r(5).由题意可设切线的方程为ykx，则圆心(3,4)到直线ykx的距离等于半径长eq r(5)，即eq f

22、(|3k4|,r(k21)eq r(5)，解得keq f(1,2)或keq f(11,2)，则切线的方程为yeq f(1,2)x或yeq f(11,2)x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(22,5)，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|4. 当堂达标：1(教材改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C相交过圆心 D相离答案B解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离deq f(|2125|,r(221)eq r(5)eq r(6)且21(2)5

23、0，所以直线与圆相交但不过圆心2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为eq r(2)，eq f(|a01|,r(1212)eq r(2)，即|a1|2，解得3a1.3(2014湖南)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m等于()A21 B19 C9 D11答案C解析圆C1的圆心C1(0,0)，半径r11，圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆心C2(3,4)，半径r2eq r(25m)，从而|C1C2|eq r(3242)5.由两圆外切得

24、|C1C2|r1r2，即1eq r(25m)5，解得m9，故选C.4(2015山东)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()Aeq f(5,3)或eq f(3,5) Beq f(3,2)或eq f(2,3)Ceq f(5,4)或eq f(4,5) Deq f(4,3)或eq f(3,4)答案D解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有deq f(|3

25、k22k3|,r(k21)1，解得keq f(4,3)或keq f(3,4)，故选D.5(教材改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_答案2eq r(2)解析由eq blcrc (avs4alco1(x2y240，,x2y24x4y120，)得xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为eq f(2,r(2)eq r(2).由勾股定理得弦长的一半为eq r(42)eq r(2)，所以，所求弦长为2eq r(2).巩固提高案 日积月累 提高自我1(2015广东)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xyeq r(5)0或

26、2xyeq r(5)0C2xy50或2xy50D2xyeq r(5)0或2xyeq r(5)0答案A解析设所求直线方程为2xyc0，依题有eq f(|00c|,r(2212)eq r(5)，解得c5，所以所求直线方程为2xy50或2xy50，故选A.2已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A、B两点，且ABC为等边三角形，则实数a的值为()A4eq r(15) B4eq r(5)C4eq r(15) D4eq r(5)答案C解析易知ABC是边长为2的等边三角形故圆心C(1，a)到直线AB的距离为eq r(3).即eq f(|aa2|,r(a21)eq r(3)，解得a4e

27、q r(15).3若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210 (bR)内切，则ab的最大值为()A.eq r(2) B2 C4 D2eq r(2)答案B解析圆C1：x2y22axa290 (aR)化为：(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2y22byb210 (bR)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1，圆C1：x2y22axa290 (aR)与圆C2：x2y22byb210 (bR)内切，eq r(a2b2)31，即a2b24，abeq f(1,2)(a2b2)2.ab的最大值为2.4过点P(3,1)作圆C：(x1)2y

28、21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30答案A解析如图所示：由题意知：ABPC，kPCeq f(1,2)，kAB2，直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.5若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()A.eq f(1,2)，4 Beq f(1,2)，4C.eq f(1,2)，4 Deq f(1,2)，4答案A解析因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则ykx与直线2xyb0垂直，且2xyb0过圆心，所以解得keq f(1,2)，b4.6(2015

29、山东)过点P(1，eq r(3)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()_.答案eq f(3,2)解析由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，P(1，eq r(3)，PAx轴，PAPBeq r(3).POA为直角三角形，其中OA1，APeq r(3)，则OP2，OPA30，APB60.eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()|eq o(PA,sup6()|eq o(PB,sup6()|cosAPBeq r(3)eq r(3)cos 60eq f(3,2).7已知曲线C：xeq r(4y2)，直线l：x6，若对

30、于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得eq o(AP,sup6()eq o(AQ,sup6()0，则m的取值范围为_答案2,3解析曲线C：xeq r(4y2)，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP2,0，对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得eq o(AP,sup6()eq o(AQ,sup6()0，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x6，meq f(6xP,2)2,38在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_答案eq f(4,3)解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即eq f(|4k2|,r(k21)2.整理，得3k24k0.解得0ke