初等数学几百年重大错误：将两异点集误为同一集 ——获A≌B必要条件就可百多字推翻百多年集论

1、初等数学几百年重大错误：将两异点集误为同一集获AB必要条件就可百多字推翻百多年集论黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 510631）摘要指出初等几何应有最最起码常识：元点不少于两个的图AA，。此常识凸显初等几何2300年“起码常识”:“有无穷多个公共点的直线必重合”使中学几百年解析几何一直将两异数轴误为同一轴。“已成熟到不能再成熟”的初等数学在数与形的结合上一直存在尖锐自相矛盾的原因是初数一直将“更无理”的R外数误为R内数从而将两异直线段（初数中最简单、基本的图形）误为同一线段。“两图是否不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明”的思想方法和图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使人能洞察到：“

2、肉眼”阶段的数学被“实无穷”中的假象迷惑从而使初数一直将长度不同的伪重合伪射线误为重合、射线，将“自然数列”N外正自然数误为N 内数百年病态集论的症结。 关键词N（R）外标准自然数(实数)；长度不同的射线；伪二重直线（段）；将N（R）外数误为N（R）内数从而搞错一次函数的值域；推翻初中的直线公理教（学）而不思是师生的大敌。人类认识自然数已有5000多年。公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。初等数学中关于自然数组成的数列（集）的理论以及关于直线段的理论，是初数中的初数。本文指出初数一直将“自然数集”N外数误为N内数从而将无穷多各

3、异假N误为N且一直将两异直线段误为同一线段，从而使康脱推出百年病态集论。许多中学生喜欢看科普书，有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄引起纷争的金苹果27页，福建教育出版社，1993）。然而本文指出获得AB的必要条件就可百多字推翻百多年集论。世界上凡熟悉非常简单易懂的保距变换概念的中学生都能看懂本文的大部分论据。一、图说变距变换必使一维空间中点集变形或变大小图形的刚体运动是不改变其组成成员的运动有了各点还须有规定各点如何排列、聚集的法则才能确定一点集，正如有了各数n还须有规定各数如何有序排列的规定才能确定一数列一样。将一碗水A（水分子的集合）倒入杯子内变为一杯水B，A与B形状

4、不同（从而AB）但组成成员相同，B由A一切水分子组成。永不在同一位置的两质点形成的点集作保（变）距运动可形成无穷多各异点集均由这两质点组成。所以如1所述，质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：两异点集的组成成员（构造材料）可完全相同，正如两异数列的组成成员可完全相同一样（“自然数列”N中有数与别的数互换位置等等就形成N的数列还由N一切数组成）。数形结合须跃出根本误区。数学图形可是“离散”的点组成的点集，例挖去R轴一切非整数点得到的“整数点集”R轴是离散的点组成的集。框框内的点集（图形）K中若至少有一对点之间的距离变小（大）（但没重合在同一位置的点）则必使K变

5、形为K，点还是这框框内的几个点（集的组成成员没变），但其保序不保距地改变位置后形成的新点集与K 有不同的“长相。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例N各元n变为1组成的集由无穷多个1组成，但其元却只有一个。一杯水B运动到新的位置是B作刚体运动。点集A各组成成员保距进入新的空间位置形成新的点集BA是A作刚体运动（运动的距离可=0），这种运动是不改变组成成员（从而不能使点集减员）、组织结构只改变各成员位置的“变位不变员（不是元）”变换；A与BA是组成成员和组织结构都相同（不是元相同）的点集。A若有两个组成成员重合在同一位置内就使A失去了一个成员（这等价于A失去了一个元）而变为A的真子集VA

6、，这是改变组成成员的变换，VA与A是组成成员不同的点集说明A失去部分组成成员变为VA不能是刚体运动。将R轴各无理数点都挖去使R轴变形为有许多“空隙”的有空隙直线J不R轴，但肉眼不能察觉J与R轴有不同的形状。同样可将K看成是有“洞”闭直线段，观察图K可一眼看出：直线段K保序（且保员）不保距地均匀收缩变短不能成为K的真子集。二、不识“更无理”数使初等数学一直存在尖锐自相矛盾能透视点集内部形状的数学“x光机”让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的伪重合直线段设集A=x表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代

7、表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R所有非负元x0组成R+。RN各元x均有对应标准实数x+1、2x、xn（n2）等等。与xR相异（等）的实数均可表为y=x+（增量可=0也可0），因各实数的绝对值都可是表示长度的数故各实数都可是数轴上点的坐标，于是xR变换为实数y=x+的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点xR(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+还在管道g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”是直线段（开或闭等）相应数轴所有元点的坐标组成的集。定义：若数集A

8、可保距变为B则称AB。显然AA。人的骨头A得了骨质疏松病变为B，肉眼看B=A，但其实两者有根本区别。出现x光机使医学发生革命飞跃。某人将一小包毒品吞进肚不使其外部形状有任何改变而只使其内部形状改变，通过x光机才能看到人体内部形状。由3个点组成的A=中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不A；点还是这3个点A，但其不保距地改变位置后形成的点集B与A有不同的“长相”。B与A是组成成员（构造材料）相同（不是元素相同）但组织结构不同的“同员异构”体。中学生都懂的初等几何最最起码常识e：图BB。x轴的子部射线Ax轴:x0可伸缩成射线B（不A）：x=x+=x20。直线段=0，1

9、Ax轴各元点x沿x轴不保距平移改变位置变为点x+=x=x2形成元为点x的线段（不）=0，1B。这不保距变换使两端点平移的距离均=0，其它各点x向左不保距平移的距离均0。与是组成成员相同（不是元相同）但组织结构不同的“同员异构”体。“=”其实是肉眼直观错觉从而使初等数学存在尖锐自相矛盾：据常识e由不知（显然由知BA），但据中学函数 “起码常识”=。据图概念这等长且等势的与互不说明其大小相同形状（内部形状）不同，因两者是“同员异构”体从而有不同的内部形状。产生矛盾的原因是：初数一直将R外数误为R内数从而将两异区间误为同一区间，见第三节。可见图概念是数学“x光机”能透视到直线段的内部形状。对此，作者

10、另有已在“预印本”上公布的长文专门论述。可见=0，1A与=0，1B是3000年都无人能识的伪二重直线段。没数学x光机时的数学没有透视点集内部形状的能力从而使其是“肉眼”阶段的低层次数学。三、图AB的必要条件让中学生也能一下子认识5000年无人能识的“更无理”自然数推翻百年集论h定理1（AB的必要条件）：点（数）集 A 各元x按同一对应法则有对应y=y（x）B=y，AB 的必要条件：B=y中变量y是定义域为A的函数y=y（x）。证：两图是否不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明。有A=x，求A的集。解：A各元x按同一变换法则保距变为y=y（x）使A变为B=yA。所以定理中的A若B则B各元y必是由A各

11、元x保距变为y=y（x）而变来的，从而使B=y中变量y只能是定义域为A的函数y（x）。证毕。h定理2(实际上是2中的“h几何常识”）：至少有4元的点集W=x的真子集（至少有两元）VW必不W。证：将WV各元x记为y=x，W=y=x。V=y=xW各元y=x有对应x=yW=y=x，据h定理1假设VW成立则W各元y=x的对应(数)x=y的全体Q=V，然而事实上Q=WVW，所以假设不成立即V不W。从运动角度来说图形W失去部分组成成员才能变为其真子集VW，没能使W有任何减员的变换不能使W变为VW；W作刚体运动才能产生出W的图，而这种运动是不改变组成成员、组织结构只改变各成员位置的变换；这种变位不变员（不减

12、员）的变换不能使A减员变为VW。所以A变为VW必不是刚体运动使V不W。证毕。变数n取自然数N，挖去N=n0的0得N+=n1N。工程图有虚线，可将点集N=0，1，2，x=n0，(各n是点的坐标）x轴看成是“虚射线”:.（这不是省略号），N各点x=n沿x轴正向保距平移变为点x=n0的后继点x+=y=x+1=n+11形成元为后继点y的H=1，2，3，y=n+11，N即N沿x轴平移距离1变成虚射线HN。问题是自有无穷数列（集）概念和函数概念几百年来数学一直认定的“射线H=N+=1，2，3，.，n1,.N”其实是将两异数列（集）误为同一数列（集）的肉眼直观错觉，因据h定理2N的H不是N的任何真子集，N不

13、可包含H=y=n+1说明H必至少有一元y0=n0+1n0N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0=显然是N的最大元，因其后继y0在N外。初数的“N+=HN”使康脱推出病态的：NN+N。据图概念起点相同且有无穷多公共元点的射线N+与HN互不说明两者形状相同但大小即长度不同，包含N+的N有元点在N+外说明NH（H与 N大小即长度相同）比N+长；用坐标法来研究点集知N+各元点的坐标有最大元，H各元点的坐标有最大元+1。可见“两图是否不能.而须用坐标法严格证明”的思想方法和图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使人能洞察到有长度不同的伪二重射线，从而不再被“实无穷”中的假象“凡射线必”迷惑。上述

14、表明获得AB的必要条件就可让5000年都无人能识的标准无穷大自然数一下子浮出水面推翻百年集论。设集B=x、y=xy=UV表B各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V）。其余类推。设F=（x，y=x）表F是元为有序数对的数对集,但F同时也可是以数为元的数集F=x、y=x=x；I=（x，y），（，y）表I是由有序数对元和“单身”数元y组成的混合集。相应有数对序列和混合序列，其余类推。由一对对数组成的数集才可成为数对集，一无穷数集能否成为数对集？不能想当然而须严格证明才能下结论。将N各偶数记为n=2d，N=n、n+1各偶数n=2d=0，2，.与奇数n+1可一一配对。N一切数n、n+1组成数

15、对集F=（0，1），（2，3），（n，n+1），挖去F中的0得I=（，1），（2，3），（4，5）,. 是既有数对元又有“单身”数元1的混合集。设I中奇数只能与I中偶数配对就使I中单身的奇数1变为非单身的同时必拆散一数对而生一新单身奇数，例（2，3）中2改与1配对，3就成新单身奇数。一单身变为非单身的同时必生一新单身的重新配对不能使I中单身有任何减少说明I中各奇、偶数之间任意重新配对后都必保持有一单身奇数使I不能成为数对集。所以I中各奇数不动但各偶数2,4,.都移到其左邻括号内改与括号内奇数配对成新的数对得I=（2，1），（4，3）,.，（，）必还是混合集而必有一单身奇数在一切新数对的后面（否

16、则就违反逻辑学起码常识了）。显然是F中最大数，因F由N一切数组成故是N的最大元。显然和1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识（与1N相隔无穷多自然数N）使初数一直将N外数误为N内数从而将无穷多各异假N误为N，继而一直搞错了定义域均为N的无穷多一次函数y=n+1、y=2n+1、y=2n（或=2n+2）、.、.的值域，进而使康脱推出康健离脱的病态理论：N可其真子集。发现说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见13。A=R+各元x0保距变为y=x+11使A变为B=yA即x轴的射线R+:x0沿x轴平移变为射线B=y=x+11R+。据h定

17、理2R+的B不是A=R+的任何真子集，R+不可包含B=y=x+1说明B必有元y=x+11在R+外而 R+一切元x（R+外y1必R+一切元x），这R+外y显然是R一切元x的“更无理”标准无穷大正数。所以中学函数“常识”：“ R各元x的对应数x+1均R”使初数将R外数误为R内数，进而误以为：射线通过平移可变为其一部分。初数的“R+的B是R+的真子集”使康脱推出错上加错的更重大错误：R+可其真子集。 在未识0与负数时人们通过“对一切正数x都有对应x-1x”就知道有数x-1x(即都有数比x大)”明确表示有数x+1R（N）一切元x而在R（N）外。“真理都是很朴实的。”关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含

18、义，问题是非学术、非智力因素对学术研究的影响是非常重大的。同样“对第二节中的数集=0，1AR的子部=（0，0.9一个不漏的每一（一切）元x0都有对应x=x20都有正数x比x小”明确表示有“更无理”正数x=t（是射线B：x=x20的元点的坐标）一切数x，这正数t显然R一切正数x。这表明R中有“更无理”的太小正数x小到使其对应数xkx（常数k2）“更无理”地突出在R外。不识此类R外正数且将其误为R内数就使初数一直将伪重合直线段误为重合线段。另外据下述h定理4=0，1A（R）的=0，1B不是的任何真子集，不可包含说明=0，1B必至少有一元x=x2在外，这外x显然是x中必至少有一y在R外。注：若给数列

19、A增项则必使A变为BA，所以不断增项（元）的数列（集）是不断由一数列（集）变为另一数列（集）的非固定数列（集），而N是固定的数集；某些不断运动的动点画出的图形是变点集。人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑。应去伪存真地读书。四、图AA凸显直线公理使初数一直将两异直线误为同一线“无界”的曲、直线y=x3、 y=x互不从而更不相等。“无界”的虚射线N=0，1，2，x=n0，x轴各点x=n沿x轴正向不保距平移变为点x+=y=2x=2n形成元为点y的0，,2，4，2n，不N从而更N。中学的“图AA”说明A变为B=AA不一定是恒等变换但一定是保距变换。h定理3：数（点）集A=BB的必要条件是

20、AB（初等几何应有最最起码常识：元点不少于两个的图BB）。证：若A=B则A必可恒等变换（一种保距变换）地变为B=AA。证毕。R轴即x轴各元点x沿x轴方向不保距平移变为点x+= y=x/2得元为点y=x/2的 y=x/2轴即x轴（空间直线）均匀收缩变换成y=x/2轴不x轴，据h定理3x轴y轴；直线公理使中学几百年解析几何一直将这两异线误为同一线很自然地就会将两异直线段误为同一线段相应直线（见下节）。五、不知直线段A收缩变短不能成为A的真子集使中学有几百年重大错误：将两异直线段误为同一线段百年病态集论的症结下述h定理4推翻了集论。第一节已指出：直线段K均匀收缩变短不能成为K的真子集。这是因直线（段

21、）A不减员地保序收缩（拉伸）变换必改变点集的“点密度”使A内部形状发生改变。x轴可收缩成y=x/2轴不x轴。中学有几百年函数“常识”：“定义域为0，2R的y=0.5x的值域=0，1R”。直线段L=x=0，2x轴有子部D=x=0，1L，L各元x不保距变为x+=y=0.5x得元为点y的直线段D=y=0.5x（L）=0，1y=0.5x轴即L均匀收缩变短成D。“L的D=DD”其实是几百年肉眼直观错觉。理由：L不减员地收缩变短成D是改变组织结构的变换从而使D与L是组织结构不同的点集，而DL与L是组织结构相同只是大小即长度不同的点集。L各元x的对应y=0.5x的全体是D说明D=xL各元x有对应y=0.5x

22、D=y=0.5x，据h定理1假设DD成立则D各元y=0.5x的对应x的全体Q=D，然而事实上Q=LDL，所以假设不成立即D不D。据h定理3 DD。据图概念D与DL互不说明其大小相同形状（内部形状）不同，从而是3000年都无人能识的貌似重合的伪二重、伪点集。将长为1的直线段形橡皮筋A拉长为长为2的橡皮筋B（可二等分），去掉拉力使B缩短成原来的A，这A不可是B的一半；同理，L收缩变短为DL不能成为L的真子集DL。骨头的内部形状随骨密度的改变而改变；同样等长的D与D有不同的内部形状，“两图是否不能.而须用坐标法严格证明”的思想方法和图概念是数学“x光机”能透视到 D与D有不同的内部形状。出现医学（数学）x光机使医学（数学）发生革命飞跃。据下述h定理3DL与DL等长却不等势从而不、不相等。据下述h定理4L的D=y=0.5x 不是L=x=0，2x轴的任何真子集，L不可包含D说明Dy=0.5x轴必至少有一元点y=0.5xy=0.5x轴在L外，这L外点的坐标y=0.5x显然是0都有对应正数y=0.5xx”明确表示有“更无理”正数y=0.5x=t（是y=x