2016年第2届upho邀赛试题-附详解v

1、第二届 UPhO 邀请赛命题人：审题人：说明：1、 本次比赛邀请各重点中学物理竞赛选手参加，旨在加强校际交流，帮助同学进入状态，锻炼做新题的心态。2、时间为 3 小时，线上线下同步进行，线上比赛答题，4 月 2 日 12:00 至 4 月 5 日 12:00 为比赛时间。线下比赛在 4 月 2 日至 4 月 5 日在各中学举行，请在 4 月 5 日 12:00 前将试卷扫描件发送至站公布比赛结果，和排名。4 月 11 日在网请只在答题纸作答，并填写算器独立作答。，所有为三位有效数字的科学计数。可以使用非编程计【题一】疯狂的科学家想制造一条太空锁链。在地球赤道上两处，各立起来一根长柱子，柱子顶端

2、到地球球心的距离是 R ，忽略地球自转，地球半径为 r ，表面重力度为 g 。在两根柱子的顶端之间连接一根质量均匀的链条，链条处于平衡状态。如果链条最低点到地心距离为 r1 ，链条上拉力最大值为 F1 ，拉力最小值为 F2 ，求在端点处链条切线与柱子的夹角 ；接上一问，求链条的质量线密度 。【参数】F 1.84107 N ，F 8.83106 N ，R 1.27 107 m ，r 8.91106 m ，r 6.37 106121g 9.8m/s2【解答】（1）由整体法容易得到拉力最大值位于顶点处，最小值位于最低点处。取链条的一半，相对于地心力矩平衡有：F1R sin F2r1得到sin F2

3、r1F1R （2）还是取链条的一半，给一个沿链条方向朝外的长度为 l 的微小虚位移，由虚功原理得到F l F l GM l GM l 12Rr1得到质量线密度为1 F2gr 2 ( 1 1 ) GM ( 1 1 )r1Rr1R【】（1） arcsin( F2 r1 ) 19.7F1R F1 F2gr 2 ( 1 1 ) 0.719kg/m（2）r1R【题二】如果一个轻质的桌子，桌面是一个半径为 1 的圆，在圆周上的 N 等分点上有 N 个等长的桌腿。桌腿可以被压缩但是不可以被拉伸。被压缩的桌腿可以视为劲度系数为k 的弹簧。在桌面上放一个重力为G 的质点（ G kr ）后，有些桌腿上会有应力，有

4、些桌腿会悬空。（1）N 4 ，质点在某些区域的时候，能使得恰好有一个桌腿悬空，求出这个面积的大小 S1（2） N 5， m N 3，质点在某些区域的时候，能使得恰好有m 个桌腿悬空，求出这个面积大小 S2【参数】N 21， m 15【解答】条腿的压缩量为 zi 。定义桌面转动角矢量 ：如图，设从中心点到第i 条腿的矢经为ri ，第大小为倾斜后与水平面的夹角，方向为水平面内垂直于旋转轴，指向压缩的一方。则各条腿的压缩量为：zi ri h记质点所在位矢为rc ，则平衡条件为：力平衡：zi 0 kzi Gi力矩平衡：zi 0ii kzi rc G 0即zi 0 kzi ri Grci设1 s 桌腿着

5、地，其临界情况只有四种可能（或它们的某些交集）：0, i 1, 2,., sziI: zi 0, i1z 0, i N i0, i 1, 2,., sziII:zi 0, i s 1z 0, i i 0, i 1ziIII:zi 0, i 2, 3,., sz 0, i0, i 1, 2,., s 1 iziIV:zi 0, i sz 0, i i平衡方程是线性方程，且所有可能情况只有四种，因此满足1 s 桌腿着地的区域为四边形。记使得从第i 条腿开始有 s 条腿着地的区域为 Di,s ，I DN ,s1 D1,sII D D1,s11,sIII D D1,s2,s1IV D D1,s1,s1

6、可以定性作出上述四种临界情况（即四个直线边界）：其中的 x 指向r1 rs 的方向。系统相对于 x 轴有镜面对称，因此可到I, II 、 III,IV 分别相对于 x 轴镜像对称。记 Di,s 的外边界点为 Pi ,s ，即 I,II 边界交点为 PN ,s 1 ，III,IV 边界交点为 P1,s .可以得到 D1,s 即P ,s2 PN ,s1,2 s N 1P1,四个点围成的四边形区域。对 s 2 的情况，总区域为桌腿围成的正 N 边形以外区域。对 s N 1的情况， D1,s 为P1, N 1P1, N PN , N而对 s N 的情况，使得每条腿都着地的总区域为P1,P ,s所围成的

7、正 N 边形。下面计算 P1,s 。记 2 ，则有：N s 1 s 1 r cos i , sin i i22 xs , 0 ，旋转角度为 s , 0记质点此时所在位置为rcs于是有 s 1 hz r h s cos iii2由 z1 0 或 zs 0 得到：s 1 s cos 1 h 02即s 1h s cos 1 2由力平衡得到：s 1 s1 k s cos i h G2i2由力矩平衡得到：s 1 s 1 s1cos i k s cos i h Gxs22i2解得：s1s 1 s 1 s 1 cos i cos i cos 1 222 i2x ss1 s 1 s 1 cos i cos 1

8、 i2 22Mathematica好： 1 ssin sin s xs s 1cos1 s 2 cossin 22 s sin222于是得到总面积为n N带入题目参数 N 21, s N m 6 得到：s2 0.90437于是有总面积SN ,s 0.145（1）如图，设四条腿分别位于 A1 A2 A3 A4 处。此时对应 s N 1的情况。则易得 P1,3 为 A2 ， P1,4 为 B2 ， P4,4 为 B1 。于是得到使 A1 A2 A3 着地的区域为 B1 A2 B2 ，因此使得三条腿着地的区域为 B1B2 B3 B4 以外、A1 A2 A3 A4 以内。易得面积为 1【】（1） 1n

9、 0.145 ，其中（2）N 1 ssin sin s xs s 1cos1 s 2 cossin 22 s sin222【题三】LIGO 在 2016 年 2 月 11 日终于正式宣布发现高频引力波。这次探测引力波的仪器可以视为仪。波长为 10.6m 激光在两条相互垂直的长度为l 4km 通一个巨大的迈道中运动 N 200 个来回后发生，通过测量图形可以判定光在两条路线中的时间差。当有引力波通过的时候，时空结构会发生弯曲，相当于导致空间的长度发生变化，相对变化比为 ，即原长为l 的通道变为l(1 ) ，从而引起为引力波的“振幅”图像的变化。把 称（1） 假设通过两束光图像能分辨的相位差为 1

10、08 ，则这个仪的分辨精度 0的数量级为多少？填入和 log10 最接近的整数（2） 月球质量为 m ，地月距离为r ，万有引力常数为G ，光速为c ，月球的引力场在距离r 带来的空间弯曲可以近似认为是 Gm ，计算这一效应带来的相位改变 的数量mmrc2级。填入和 log10 m 最接近的整数（3）由于黑洞合并产生的引力波的频率极高，所以低频的扰动实际上对结果影响不大。已知引力波的能流密度为 j A 2G c f ，其中 A 为无量纲常数， f纲分析计算得到（4）计算（3）中的 （5）计算（3）中的（6）这次探测的事件发生在距离13 亿光年星系。两个质量分为 29M S 和36MS 的黑洞为

11、应力波频率，通过量（其中 MS 为质量）在 0.2 秒内合并成为一个质量为62M S 的黑洞。合并的时候引力波假设亏损的质量全部转成能量，以引力波的形式放出，取上一问 A 1，频率达到100Hz估算引力波到达地球的时候的振幅B 的数量级。填写和 log10 B 最接近的整数。【参数】G 6.671011 Nm2kg-2 ， m 7.351022 kg ， r 3.84 108 m ， c 3.00 108 ms-1，MS 1.9910 kg30【解答】（1）两束光的相位差是 2 2Nl令 为题目中的最小值，则 log10 为 20log10 2 2Nl（2）对 Gm 式中l 展开到一阶小量mr

12、c2Gm lr2c2因为只要求求出数量级，这里忽略系数，于是2Nl Gm l 22Nl 2mr2c2算出 log10 m 约为 6（3）（4）（5）四个亮的量纲为别为 j M T 3G M 1 L3 T 2c LT 1 f T 1设出方程求解即可，解得 ， ， 分别为-1，3，2（6）距13 亿光年的黑洞产生的能流密度为mc24 r2 tj 代入质量变化为m 29MS 36MS 62MS 3MS ， r 是 13 亿光年，于是产生的B 为jAG1c3 f 2 B最终结果为mG4 r2tf 2c log log 2110 B10【】 20（1） log10 2 2Nl4 Nl 2Gmr2c2（2

13、） log10（3） 1（4） 3 6（5） 23MSG4 L2tf 2c（6） log 2110【题四】决定一下彩虹有几种。考虑一个球形的小液滴飘在空中，折射率为n 。一束光线以入射角 入射后，经过 N 次反射后出射，如图定义偏转角为n 。假设平行光照射到一大片小水滴上，如果n ( ) 在某处出现极值，则在这个方向上有一片入射光都以相同的方向出射，于是在这些方向就就会显著比其他地方亮，被称为第 N 级虹。在中文中， N 1被称为虹， N 2 被称为霓， N 3 没有被命名。（1） 对于给定的n0 1.33 和 0 ，计算1 (0 )（2） 接（1）问，计算2 (0 )（3） 对于任意的n 和

14、 N ，计算 N ( ) 取极值时对应的Nm 接上一问，计算N ( ) 的极值Nm（4）（5） 接上一问，为了让这个现象出现， n 能取到的最大值nNm（6） 对于一种偏振光，从空气入射液体的时候，光振幅的反射率为r 1cos n cos ，1cos n cos投射率为t ，从液体入射空气的时候反射率为 r r ，投射率为t ，并满足tt 1 rr ，对于n n0 ，计算第 2 级和第 1 级虹光振幅平方的比值 I2 / I1（7） 接上一问，计算和第 3 级虹和第 1 级虹光振幅平方的比值 I3 / I1【参数】0 20.4 ， N 4 ， n 2.03【解答】（1）每折射一次，偏转角为：

15、每在水滴内反射一次，偏转角为： 2由折射定律nsin =sin 1 = +2 22 =1 + 2 +2 2 6 arcsin(sin(0 ) / n) 20（2）经 N 次反射和两次折射后=N 2N +2arcsin sin 2Nnd令N 0 ，解得：d(N 1)2 n2 arcsinNm (N 1)2 1（3）代入0 至偏转角的表达式中，得：(N 1)2 / n2 1 (N 1)2 n2 N (2N 2) arcsin2 arcsinNm (N 1)2 1(N 1)2 1为使0 存在n N 1（4）由定义知：r 3t 2Ir 2t2I 3( 3 3 ) , 2 ( 2 2 )22r1t 2r

16、1t 2II11 111 1则只需计算不同情况下的折射率和反射率代入对应极值角度计算得：1- N 1|=|， t 1 r2|r1 N 1NNN代入 N 计算，得I3 = 2125764 =0.218 I6561， =2=0.400I19765625I116384【】（1） 1 4arcsin(sin(0 ) / n0 ) 20 160（2） 2 2 6arcsin(sin(0 ) / n0 ) 20 309.6(N 1)2 n2 arcsin 68.9（3）Nm (N 1)2 1(N 1)2 / n2 1 (N 1)2 n2 N (2N 2) arcsin 584.22 arcsin（4）Nm

17、 (N 1)2 1(N 1)2 1（5） nNm N 1 5（6） I2 / I1 0.400（7） I3 / I1 0.218【题五】请注意这是一道水题。一个质量为m 的均匀圆柱，放在一个质量为 M 的角度为 的斜面上。度a1（1）地面和斜面之间固定，斜面上表面光滑，求圆柱地面和斜面之间光滑，斜面上表面光滑，求圆柱相对斜面度a2地面和斜面之间固定，斜面上表面摩擦系数为 ，发现圆柱在斜面上纯滚动，求摩擦系数的最小值 1m求（3）中圆柱的度a3地面和斜面之间光滑，斜面上表面摩擦系数为 ，发现圆柱在斜面上纯滚动，求摩擦系数的最小值 2m（6）求（5）中圆柱的度a4【参数】g 9.8m/s2 ， m

18、 3.18kg ， M 6.4kg ， 40.7【解答】相当于一个质点在固定斜面上运动a1 g sin由水平动量守恒，设斜面移动速度是v0 ，圆柱相对斜面斜向下的速度是v1 ，水平动量守恒，有 M m v0 mv1 cosE121Mvm v v 2v v cos222动能是，代入得k0010 1 21 mv 2M m sin Ek 212 M m势能 Ep 对时间求导是dEp mgv sin1dt由机械能守恒定律dEpdE dEk 0dtdtdt有 a dv1 ，解得dt g sin (M m)a2M m sin2 （3）（4）动能 Ek 包括平动项和转动项21 mR2 v13E mv 2 m

19、v 2 1 R k112224势能 Ep 对时间求导是dEp mgv sin1dt由机械能守恒定律dEpdE dEk 0dtdtdt有 a dv1 ，解得dta 2 g sin33由角动量定理fR 1 mR2 a32R垂直斜面方向受力平衡N mg cos求出 1m 的最小值是 1 tanf1mN3（5）（6）由水平动量守恒，设斜面移动速度是v0 ，圆柱相对斜面斜向下的速度是v1 ，水平动量守恒，有 M m v0 mv1 cos得到斜面度a0 和圆柱相对斜面的度a4 之间的关系 m cos aa0m M421211 1 vE2v v cos mR2Mv 2 m vv22 1动能k 是，代入得 R

20、 0010 1 22 2 2 1 mv12M mEk1 M msin 22 M m 势能 Ep 对时间求导是dEp mgv sin1dt由机械能守恒定律dEpdE dEk 0dtdtdt由 a dv1 ，解得相对dt度为a g sinM msin2 14M m2由余弦定理得到度为：a a a 2a a cos224400 12g sin m M 2 m cos2 m 2M 2 m sin2 M m M a4 由角动量定理fR 1 mR2 a42R斜块受合力向左为 N sin f cos ，于是支持力是 Mm cos a fNans求出 2m 的最小值是M mf tan 2m3M mN【】（1）

21、 a g sin 6.39m/s21 g sin (M m) 7.90m/s2（2） a2M m sin2 1 tan 0.287（3） 1m3 2 g sin 4.26m/s2（4） a33M m（5） tan 0.3682m3M mm M 2 m cos2 m 2M 2g sina 4.03m/s2（6）2 m sin2 M m M 4【题六】K 介子可以在这个反应中生成： p K 0参照系中，要求反应能够发生，求光子 能量最小值E（1）在质子（2）被撞击的质子可能在一个的原子核中，而原子核中的质子可能随机运动，最多可能具有 pf 200MeV/c 的动量（运动），则光子的能量最小值为 E

22、 （3）接第一问，假设0 的飞行速度为 c ，飞行中衰变成为一个质子和 ，则 可能具有的动量最大值 p m 为多少（MeV/c ） 。（4）接上一问， 和0 方向的最大夹角 为多少m【参数】 938MeV/c2 ， M 494MeV/c2 ， M 1116MeV/c2 ， MK 0 140MeV/c2Mp 0.773【解答】（1）、（2）:换到质心系中，产物都相对（即相对质心动能为零），所需能量最小E2 P2c2 EE, P P P ppppccc令 P Pp 0 则质心速度为：E +Ppc =E + E2 P2c2pp在质心系中，能量守恒，则：E 2 +-Pc+P c=E EK 2p0解得质

23、心系中光子动量：E0 2E E2P =pK2E E0 cK由逆变换得，原系中光子能量为：E E 0 E22E pK2 E2 P2c2 p cppf令 pf =0 ，则E E 0 E22pE K 913MeV/c22Ep第（2）问中光子和质子迎头相碰，令pf 200MeV/c算得：E 739MeV（3）两个产物粒子运动共线且反向时，产物之一有最大速度。质心系中能量守恒：E = E 2 p2c2 E2 p2c20 p则各产物动量为：2 2 E 2 E 2 E0 ppc E2 2E0质心系中 能量为： E 2 E 2 E2 E0 p= -2E0由逆变换，原系中最大动量为：2 2 2 E 2 E2 E

24、E 2 E 2 E1/ cp0 p E 0 p22 1 2E2E m00（4）在质心系中二者速度不共线时，设 沿 动量为 pcos原系中，其速度与 方向夹角为 则 + E dtan d=0 ，求得极值点函数值令1 2 arctan mp2 M2c21 2 p2其中：2 M 2 M 2 M 2 P p cM 2P2M【】(E E )2 E2K 0p（1） E 913MeV2EpE E 0 E22（2） E pK 739MeV2 E2 P2c2 p cppf（3）E 2 E 2 EE 2 E 2 E221/ c20 p)2 E 0 pp2( () 1 2E2E m200=3.69 102 MeV/

25、c1 2 arctan( ) 36.3（4）mp2 M2c2 2 1p2M 2 M 2 M2p c （P ）2 M2P2M【题七】鉴于热力学第二定律已经进入考纲，还是考一考吧。如图一坨流体发生气液相变的时候形成的等温图，液态体积为V1 ，气态体积为V2 ，由于气液共存，所以流体体积可以从V1 连续变为V2 。在温度为T 时，饱和蒸气压为 p 。在温度为T 到T dT 之间构造一个可逆热机，在图中沿 ABCD 循环，AB, CD 为等温过程，BC, DA 为绝热过程，这个循环是循环。dW热力学第二定律告诉，这个循环的效率为 dT， Q 为相变吸热， dW 为循环对QT Q TS S外做功 。按定

26、 义液 态和气 态的熵 变。带入表 达式后 发现 21dp(V2 V1 ) dT (S2 S1 ) 。由此可以计算饱和蒸气压随温度的变化关系在超导态-正常态相变中也有类似的现象。正常态中，物体的磁矩 M 0 ， 超导态中M 0 B ， B 为外磁场。外场对磁矩的做功可以表示为 dW BdM 。在温度为T 时，T 2 B BC (T ) 为正常态， B BC (T ) 为超导态，其中 BC T B0 12 ，而取等号的时候T0则为混合态。Sn (T ) 和 Ss (T ) 分别为正常态和超导态的熵。类比上面的做法，求出Sn (T ) 。【参数】B 0.144T ， 1.25 10 N/A ， T 1.95K ， T 4.48K62000【解答】dW dT QT由热力学第二定律，一个小循环的过程中，过程的熵变是S (T ) Q dWnTdT负号代表是磁介质对外做工，与题目中定义差一负号。代入条件得dWBdM BdB2 B2TT 2S (T ) 0 0 0 (1)nT 2T 2dTdTdT00如果计算的是从正常态到超导态，那么只需要相应的给个负号即可。【】2 B2TT 20 0 (1)=4.0810 J/K9T 2T 200【题八】如图有三个半径为r1 r2 r3 的同心金属球壳，外球壳