01年数学真题及解析三真题

1、2001 年入学数学三试题一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分把填在题中横线上）设生产函数为 QALK，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A，均为大于零的参数，则当 Q1 时 K 关于 L 的弹性为某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以 Wt 表示第 t 年的工资总额（k1：百万元），则 Wt 满足的差分方程是111k1111（3）设矩阵 A ，且秩（A）3，则 k1k11k 1（4）设随则根据切量 X 和 Y 的数学期望分别为2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为0.5，不等式 PXY6（5）设总体

2、X 服从正态分布 N（0，22），而 X1，X2，X15 是来自总体 X 的简单随机样本，X 2 X 2量Y 110 则随服从分布，参数为(2X 2 X 2 )1115二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中，只有一题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）f (x) 1，则（ ）设 f（x）的导数在 xa 处连续，又limxaxa 是 f（x）的极小值点xa 是 f（x）的极大值点（C）（a，f（a）是曲线 yf（x）的拐点x a（D）xa 不是 f（x）的极值点，（a，f（a）也不是曲线 yf（x）的拐点1 (x2 1),0 x 1,x（2）设

3、g(x) f (u)du ，其中 f (x) 2 1则 g（x）在区间（0，2）0 3(x 1),1 x 2,内（ ）（A）（B）递减（C）不连续（D）连续aaaaaaaa0010000101 1114 11 1213141312a21a22 a3242a23 a3343a24 a24a23 a3343a22 a3242a21001000（3）设 A , B ,P ,1a31a34 a34a31 a aaaaaaa44 414144100000100100 , 其中 A 可逆，则 B1 等于（P）20010（A）A1P1P2 （B）P1A1P2 （C）P1P2A1 （D）P2A1P1 A（4）

4、设 A 是 n 阶矩阵，是 n 维列向量若秩（A）AX必有无穷多解（B）AX必有唯一解 秩（A），则线性方程组（ ）T0 X A（C） 0 仅有零解0Ty X A（D） 0 必有非零解0yT（5）将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和相关系数等于（ ）向上的次数，则 X 和 Y 的1（A）1（B）0（C） （D）12三、（本题满分 5 分）设 uf（x，y，z）有连续的一阶偏导数，又函数 yy（x）及 zz（x）分别由下列两式确定：sin ttx zexyxy2和ex dt ，0du求dx四、（本题满分 6 分）已知 f（x）在（，）内可导，且lim f (x) e， l

5、im( x c )x lim f (x) f (x 1)，x cxxx求 c 的值五、（本题满分 6 分）1 ( x2 y 2 )求二重积分 y1 xe 2Ddxdy 的值，其中 D 是由直线 yx，y1 及 x1 围成的平面区域六、（本题满分 7 分）已知抛物线 ypx2qx（其中 p0，q0）在第一象限内与直线 xy5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S（1）问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值？（2）求出此最大值七、（本题满分 6 分）设 f（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，且满足11 xf (1) kxef (x)dx(k 1)k0证明至少存在一点（0，

6、1），使得 f ( ) (1 1) f ( ) 八、（本题满分 7 分）已知 fn（x）满足f n (x) n1 xfn (x) xe （n 为正整数），e n且 f (1) ，求函数项级数f (x) 之和nnn1九、（本题满分 9 分）1a11设矩阵 A 1a1 ， 1 已知线性方程组 AX有解但不唯一，试求：a（1）a 的值；（11 22）正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵十、（本题满分 8 分）设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩（A）n，Aij 是 A（aij）nn 中元素 aij 的代数2，n），二次型（i，j1，Aijn nn ) |A| xi x j f (i1 j 1记 X（x1，x2，xn）T，把 f（x1，x2，xn）写成矩阵形式，并证明二次型 f（X）的矩阵为 A1：二次型 g（X）XTAX 与 f（X）的规范形是否相同？说明理由十一、（本题满分 8 分）一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设每箱平均重 50 千克，标准差为5 千克若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于