(江苏专版)高三数学备考冲刺140分问题02函数中存在性与恒成立问题(含解析)-人教版高三全册

1、，word问题 02 函数中存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心 , 也是历年高考的一个热点 . 在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察 , 恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径 , 它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识 , 渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法 , 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用者的青睐 , 成为高考能力型试题的首选 .二、经验分享(1) 设 , （ 1 ） 上 恒 成 立上恒成立 .(2) 对于一次函数 有：, 故备受高考命题； （

2、 2 ）(3) 根据方程有解求参数 X 围 , 若参数能够分离出来 , 可把求参数 X 围转化为求函数值域(4) 利用分离参数法来确定不等式 f x, 0 , （ x D , 为实参数）恒成立中参数 步骤 :将参数与变量分离 , 即化为 （或 ）恒成立的形式；求 f x 在 x D 上的最大（或最小）值；【牛刀小试】 【某某省某某市淮海中学 2019 届高三上学期测试】函数恒成立，则实数 的取值 X 围是 _.【解析】 的定义域为 ，且 ，为奇函数，且 在 上单调递增，由 得， ， 时， ，1 / 7的取值 X 围的基本，当 时，word 时， ，的最小值为 1， ，实数 的取值 X 围是 ，

3、故答案为 .( 二 )分离参数法【例 2】已知函数 的图象在点 x(1) 某某数 a 的值；(2) 若 f ( x) kx2 对任意 x 0成立 , 某某数 k 的取值【分析】 （1） 由 结合条件函数可知 f (e) 3 , 可建立关于 a 的方程：成立 , 只需 即可 , 而由（ 1）可知e （ e为自然对数的底数）处的切线的斜率为 3X 围 .的图象在点 x e 处的切线的斜率为 3 , 从而解得 a 1；（2）要使 f ( x) kx2 对任意 x 0 恒, 问题即等价于求函数 的最大值 , 可以通过导数研究函数 g(x) 的单调性 , 从而求得其最值： , 令g ( x) 0 , 解

4、得 x 1 , 当 0 x 1时 , g ( x) 0 , g(x) 在 (0,1) 上是增函数；当 x 1 时 , g ( x) 0 , g( x) 在 (1, )上是减函数 , 因此 g (x) 在 x 1处取得最大值 g(1) 1 , k 1即为所求 .2 / 7word【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数 X 围过程中 , 当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并 , 且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或 X 围可求时 , 常用分离参数法 . 此类问题可把要求的参变量分离出来 , 单独放在不等式的一侧 , 将另一侧看成新函数 , 于是将问题转化成

5、新函数的最值问题 .【牛刀小试】 【 2017 某某省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R上的奇函数 f x 满足 : 当 x 0时 , f x x3 , 若不等式 对任意实数 t 恒成立 , 则实数 m 的取值 X 围是 .【答案】 , 2( 五) 存在性之常用模型及方法【例 5】设函数为 0 .（ 1）求 b的值；（2）若存在 x 1, , 使得 【分析】 （1）根据条件曲线 y进而求得 b 的值：, a R 且 a 1. 曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线的斜率, 求 a 的取值 X 围 .f x 在点 1,f 1 处的切线的斜率为 0 , 可以将其转化为关于 a , b

6、 的方程 , ； （2）根据题意分析可得若存在 x 1, ) , 使得不等式 成立 , 只需 即可 , 因此可通过探求 f (x) 的单调性进而求得 f ( x) 的最小值 , 进而得到关于 a 的不等式即可 , 而由 （1） 可知 ,则 , 因此需对 a 的取值 X 围进行分类讨论并判断 f ( x) 的单调性 , 从而可以解得 a 的取值 X 围是 .【解析】 （1） ,3 / 711 ,1, a 1word由曲线 y f x 在点 1,f 1 处的切线的斜率为 0 , 得 f 1 0 ,当 a 1时 , 2xf xf xa1 aa1 a1 aa0极小值a1 a不合题意 , 无解 ,10

7、分当 a 1时 , 显然有 f (x) 0 a 0 , 不等式综上 , a 的取值 X 围是 .,恒成立 , 符合题意 ,6 【某某市第三中学 2017 2018 学年度高三第一学期月考】 已知函数 , 若存在唯一的整数 x , 使得 成立 , 则实数 a 的取值 X 围为_【答案】 0,2 3,84 / 7x R,使得 a3x 4word7 【某某中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】若存在则实数 a 的取值 X 围是_【答案】 a 2或 0 a 9 2 且 a 1. .【解析】（ 3x 4）当 3x 4=0 即 x故舍去,4时 ,33434当 3x 4 0 即 x 时 ,当 3x 4

8、0 即 x 时 , 令 t=3x 综上,a 2 或 0 a 9 2 且 a191, 令 t=3x 40,4 0, log 2 a ，所以 a 9 214【 2016 届某某师大附中高三上学期二模 】已知函数 2x2 x （a 0 且 a1）成立 , 所以 log 2a 1所以 a 2（ a 为常数 ,e=2718） ,且函数 处的切线和 处的切线互相平行（ 1）求常数 a 的值；（2）若存在 x 使不等式 成立 , 某某数 m的取值 X 围 【答案】 （1） a 1； （2） ( ,0) 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求5 /

9、 7,1aword函数的极值和最值等基础知识 , 考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问用导数求出函数 y f (x) 在 x 0 处的切线的斜率 k1 e0 1 , 再求出函数函数 y g (x) 在 x的斜率 k2 根据题意列出等式 , 解出 a 的值； 第二问 , 先将 转化为, 先利a处的切线, 构造函数 , 利用导数判断函数的单调性 , 求出函数的最值 , 从而得到 m的取值 X 围（2） 可化为 ,令 , 则 ,因为 x 0 , 所以 , 故 h ( x) 0 ,所以 h(x) 在 (0, ) 上是减函数 , 因此 ,所以 , 实数 m 的取值 X围是 ( ,0)；16. 【某某省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中】 已知函数 ， 直线 是曲线的一条切线（ 1）某某数 a 的值；（2）若对任意的 x (0， ) ，都有 ，求整数 k 的最大值【解析】6 / 7（2） 令 F( x) f ( x) k( x 1)，则根据题意，等价于 F( x) 0 对任意的正数F (x) ln x 2 k，wordx 恒成立 .令 F (x) 0，则 x ek 2 .当 0 xe