(智慧测评)2015届高考数学大一轮总复习第9篇第3节变量间的相关关系与独立性检验课时训练理

1、word（智慧测评） 2015 届高考数学大一轮总复习 第 9 篇 第 3 节 变量间的相关关系与独立性检验课时训练 理 新人教 A 版一、选择题1 (2014 某某中学模拟 ) 对四组数据进行统计， 获得以下散点图， 关于其相关系数比较，正确的是 ( )A r 2r 40r 3r 1C r 4r 20r 3r 1解析： 由题图知 (1)(3)B r 4r 20r 1r 3D r 2r 40r 1r 30，又 (2)(4) 为负相关且 (2) 较集中在直线附近， r 2r4 0r 3r 1 . 故选 A.答案： A2某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表：广告费用 x( 万元) 4

2、 2销售额 y(万元 ) 49 26(4) 较分散，所以3 539 54根据表可得回归方程 x中的为 为( )A 63.6 万元9.4 ，据此模型预报广告费用为B 65.5 万元(3) 较分散， 所r 2r 40. 综上得6 万元时销售额C 67.7 万元 D 72.0 万元解析： 样本中心点是 (3.5,42) ， y x 429.4 3.5 9.1，则a 9.4 x 9.1 ，把 x 6 代入得 65.5. 故选 B.所以回归方程是 y答案： B3 (2014 某某市模拟 ) 某商品销售量 y(件) 与销售价格 x( 元/ 件)负相关，则其回归方程1 / 39y0.0255.0240.05

3、3.8410.102.7060.152.0720.251.3230.400.7080.500.455word可能是 ( )A y 10 x 200 B 10 x 200C y 10 x 200 D 10 x 200解析： 由于销售量 y 与销售价格 x 负相关，因此回归方程中的系数b6.635 ，故有 99%的把握确认这两个变量间有关系，正确故选 B.答案： B6 (2013 年高考某某卷 ) 已知 x 与 y 之间的几组数据如表： x 1 2 3 4 5 60 2 1 3 3 4假设根据如表数据所得线性回归直线方程为 x，若某同学根据表中的前两组数据(1,0) 和(2,2) 求得的直线方程为

4、 ， aA bb ， aC bb， aa D bb， aa解析： 由两组数据 (1,0) 和(2,2) 可求 b 2，a 021 2.利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得6xiyi 6 x i1b6x 6 x 2i 158 6 y7 132 65 ，91 6 2a y x所以 ba.答案： C二、填空题7 (2014 某某三模 )某市居民 2009 2013 年家庭年平均收入 x( 单位： 万元 ) 与年平均支 出 y( 单位：万元 ) 的统计资料如表所示：年份 2009年平均收入 x 11.5年平均支出 y 6.8201012.18.8根据统计资料， 居民家庭年平均收入的中位数是

5、3 / 392011139.8201213.31020131512_， 家庭年平均收入与年平均支男 女23272030_word出有_线性相关关系解析： 5 个 x 值是按从小到大的顺序排列的，因此居民家庭年平均收入的中位数是 13万元以家庭年平均收入 x 作为 x 轴，年平均支出 y 作为 y 轴，描点得到散点图如图所示：观察散点图可知， 这些点大致分布在一条直线的附近， 且总体呈上升趋势， 因此家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系答案： 13 万元 正8 (2014 某某联考 )为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关， 现随机抽取 50名学生，得到 22 列联表：合计理科137

6、20文科102030合计232750已知 P( K23.841) 0.05， P( K25.024) 0.025.2 50 1320 107根据表中数据，得到 K则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为解析： 由 K2 4.8443.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为答案： 5%24.844，_5%.9 (2014 某某二调 ) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验根据收集到的数据 (如表 ) ，由最小二乘法求得回归方程 0.67 x 54.9.现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为解析： 依题意， x (10 20 3

7、0 4050) 30. 必过点 ( x ， y )，由于直线 y 0.67 x 54.9于是有 y 0.67 30 54.9 75，因此表中的模糊数据是 755 (62 75 8189) 68.4 / 3935， bx a.nword答案： 6810已知 x， y 之间的一组数据如表：x2y对于表中数据， 现给出如下拟合直线：3 4 5 64 6 8 9yx 1； y 2x 1； y x ； y x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是解析： 由题意知 x 4， y 6，_( 填序号 )5xii 15i 1x yi y8xi x 2 y x ， x ，填 .答案： 三、解答题11(2

8、013 年高考某某卷 ) 从某居民区随机抽取 10 个家庭， 获得第 i 个家庭的月收入 xi( 单位：千元 )与月储蓄 yi( 单位：千元 ) 的数据资料，算得10 x 720.i 1(1) 求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程10 xi 80， i 1y bx a；10yi 20， i 110 xi yi 184，i 1(2) 判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；(3) 若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 附：线性回归方程 y bxa 中，nxi yi nxybi 1 ， ay bx，x nx2i 1 其中x， y为样本平均值，线性回归方程也可写为

9、5 / 391 24niword解： (1) 由题意知 n 10， x 8， y 2，n又 x n x 2 720 108 2 80，i1nxiyi nxy 184 1082 24，i 1nxi yi nxy由此得 b 80 0.3 ，x nx2i 1a y b x 2 0.3 8 0.4，故所求回归方程为 y 0.3x 0.4.(2) 由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加 ( b 0.30)(3) 将 x 7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为，故 x 与 y 之间是正相关y 0.3 7 0.4 1.7( 千元 )12为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在 20： 00 2

10、2： 00 时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区 80 人，得到数据表：休闲方式性别男女看电视1010看书5010合计6020合计 20 60 80(1) 根据表中数据估计该社区居民在这一时间段以看书为休闲方式的概率和女性以看电视为休闲方式的概率；(2) 根据以上数据，能否有与性别有关系”？2参考公式： K a b 其中 n a bcd.参考数据：2P( K k0) k099%的把握认为“在 20： 00 22： 00 时间段居民的休闲方式n ad bc 2cd a c bd ，0.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.635解： (1)

11、 由表可知该社区居民以看书为休闲方式的概率为60 3 ，80 46 / 392word女性以看电视为休闲方式的概率为10 120 2 .(2) 根据样本提供的 22 列联表得2Kn ad bc 2ab cd ac80 1010 1050602020608.8896.635.所以我们有 99%的把握认为“在bd20： 00 22： 00 时间段居民的休闲方式与性别有关”第 1节 计数原理、排列与组合1分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理异同点定义区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有 m种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完 成这件事共有 Nmn种

12、不同的方法各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N mn 种不同的方法各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事质疑探究 1：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？7 / 39m！m( mn)个元素合成一组，叫做从 m( mn)个元素的所有不同排列的组合：从 n 个不同元素中取出mword提示： 如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事， 用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分

13、步乘法计数原理2排列与组合定义排列与排列数 组合与组合数排列：从 n 个不同元素中取出m( mn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列排列数：从 n 个不同元素中取出n 个不同元素中取出 m个元素的一个数叫做从 n个不同元素中取出 m个组合个元素的排列数组合数：从 n 个不同元素中取出 m( m n)个元素的所有不同组合的 个数， 叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数公式 n( n 1)( n 2) ( n m1)n！ n m ！n n 1 n 2 n m 1m！n！ n m ！性质0！ 1Cn Cn ；m n mCnC 1m备注排列数公式

14、m AnAm组合数公式 Cn mA n(n 1) (n2) 321 n！；0Cn 1；n、 mN*且 mn质疑探究 2：如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题；若与顺序无关，则是组合问题8 / 39word1 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱中，所有投法的种数是 ( )A 7 B 124C 3解析： 根据分步乘法计数原理投法，故选 C.答案： C3D 44 封不同的信投入3 个不同的信箱共有 3333 34( 种)2从 3 名男同学和 4 名女同学中选 2 人分别担任学生会主席和副主席，则不同的选法种数为 ( )A 7 B 21

15、C 42解析： 因为选出的42( 种)故选 C.D 122 人担任职位不同， 所以这是一个排列问题，不同的选法为 A76答案： C3 20142013201220112010 等于 ( )4A A20145B A20144C C2014解析： 由排列数公式知上式为答案： B4有 5X 卡片分别写有数字5D C2014A014 ，故选 B.1、 2、 3、 4、 5.(1) 从中任取 4X，共有 _种不同取法；(2) 从中任取 4X，排成一个四位数，共组成 _个不同的四位数 解析： (1) 从 5X 卡片中任取 4X，共有 5( 种)不同取法(2) 从 5X 卡片中任取 4X 组成一个四位数，共

16、组成 A 120( 个) 不同的四位数答案： (1)5 (2)120第十篇 计数原理与概率、随机变量及其分布高三一轮总复习 数学 ( 人教 A 版理科 )9 / 39x2 y2_word? 温馨提示：对应学生用书页码：分类加法计数原理 例 1 椭圆 m n 1 的焦点在则这样的椭圆的个数为 162页！y 轴上，且 m1,2,3,4,5 ， n1,2,3,4,5,6,7 ， 思维导引 由方程表示焦点在 y 轴上的椭圆可知 0mn0.以 m的取值进行分类(1) 当 m 1 时， n值不存在；(2) 当 m2 时， n可取 1，只有 1 种选择；(3) 当 m3 时， n可取 1,2 ，有 2 种选

17、择；(4) 当 m4 时， n可取 1,2,3 ，有 3 种选择；(5) 当 m5 时， n 可取 1,2,3,4 ，有 4 种选择；由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有 10 个答案： 10分步乘法计数原理 例 2 已知集合 M 3， 2， 1,0,1,2 ， P( a， b)( a， bM)表示平面上的点，则(1) P 可表示平面上(2) P可表示平面上 思维导引 对点 分步乘法计数原理_个不同的点；_个第二象限的点P 的确定应分步完成， 即先确定横坐标， 再确定纵坐标， 因此本题用10 / 39A2 A 4224 48(A2种，然后与其他三人共23 2word 解析 (1) 确定平

18、面上的点 P(a， b)可分两步完成：第一步确定 a 的值，共有 6 种确定方法； 第二步确定 b 的值，也有 6 种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是(2) 确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 法；第二步确定 b，由于 b0，所以有 2 种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是32 6. 答案 (1)36 (2)666 36.a，由于 a 0，所以有 3 种确定方利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1) 要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序(2) 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件(3) 对完成各步的方法数

19、要准确确定即时突破 2 (2012 年高考大纲全国卷 )将字母 a， a， b， b， c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A 12 种 B 18 种( )C 24 种 D 36 种解析： 利用分步乘法计数原理，先填最左上角的数，有 3 种，再填最右上角的数，有 2种，再填写第二行第一列的数，有 2 种，一共有 322 12( 种)故选 A.排列的应用问题 例 3 有 5 个同学排队照相(1) 甲在中间的排法有多少种？(2) 甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(3) 甲、乙两个同学互不相邻的排法有多少种？ 思维导引 (1) 甲在中间，则

20、其余 4 人在甲两侧的 4 个位置中进行全排即可； (2) 甲、乙相邻，利用捆绑法，先排甲、乙，然后看作一个整体与其他三人全排即可；人不相邻，则先排其余三人，形成四个空，然后甲、乙两人插空排列即可 解析 (1) 因为甲的位置已确定，故不同的排法为其余四人的一个全排列，即24( 种 )(2) 因为甲、乙相邻，所以甲、乙不同的排法为全排，即不同的排法有 2 4 种)(3) 甲、乙两4A44 个元素进行(3) 因为甲、乙不相邻，所以先排其余三人，不同的排法为3A3；形成 4 个空位，甲、乙选择其中的 2 个进行排列即可所以不同的排法为 A3 A 4 612 72( 种) 11 / HYPERLINK

21、 l _bookmark1 393word直接法优先法捆绑法插空法定序问题除法处理间接法求解排列应用问题的主要方法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列正难则反、等价转化的方法即时突破 3 2013 年世界大学生运动会在俄罗斯的喀山市举行，已知火炬传递在C、 D、 E、 F 六个城市之间进行，以 A为起点， F 为终点， B与 C必须接连传递，A、 B、E必须在 D

22、的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有解析： 因 B 与 C必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元素_种B，则 B、 D、 E3不同的排列方式有 A3 种，因 E 必须在 D的前面传递，所以不同的排列方式有2的排列方式有 A2种，从而不同的排列方式有答案： 62A3A 6( 种 )A33种，又 B与 C2组合的应用问题 例 4 某课外活动小组共有 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依据下列条件各有多少种选法？(1) 只有 2 名女生；(2) 两队长当选；(3) 至少有一名队长当选；(4) 至多有两名女生

23、当选 思维导引 (1) 先选 2 名女生，再选 3 名男生； (2) 两队长当选，则只需从其他 11 名队员中选 3 人； (3) 可根据参选的队长数进行分类， 也可利用间接法求解； (4) 根据参选女生人数进行分类 解 (1) 由题意， 需选 2 名女生， 3 名男生， 不同的选法有 C 1056 560( 种 )(2) 两队长当选，则只需从其他 11 人选出 3 人即可，故不同的选法有 3 种)C11 165(3) 法一 (直接法 )至少有一名队长当选，可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类恰有一名队长当选，先从 2 名队长中选 1 人，然后从 11 名队员中选 4 人，不同的选法有 C

24、 C 2330 660( 种)12 / 394 人， 不同的选法为 1 4 种)；word两名队长都当选，则只需从其他 11 人中选出 3 人，不同的选法有由分类加法计数原理可知，不同的选法共有660 165 825( 种)法二 ( 间接法 )从 13 人中任选 5 人，不同的选法有 5 种)C13 1287(而两名队长都未当选，即只从 11 名队员中选取 5 人，不同的选法为所以至少有一名队长当选的选法共有：1287 462 825( 种)3 165( 种 )C11C511 462( 种 )(4) 至多有两名女生当选可分为三类：没女生当选，即从男生 8 人中选取 5 人，不同的选法为 C 5

25、6( 种)；恰有一名女生当选， 则需从男生中选取 恰有两名女生当选，则需从男生中选取 由分类加法计数原理得不同的选法共有：C5 C 8570 350(3 人，不同的选法为 C 560( 种)56 350 560 966( 种)组合问题常有以下两类题型：(1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2) “至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解， 用直接法和间接法都可以求解， 通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处

26、理即时突破 4 (2013 年高考某某卷 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是_( 用数字作答 )解析： 选派骨科、 脑外科、 内科医生的人数依次为 3,1,1 ； 2,2,1 ； 2,1,2 ； 1,3,1 ； 1,2,2 ；1,1,3.所以选派种数为1 1 3C3 C 4 C 5 590.答案： 5903 C C C C C C C C C C C C C C3分类混淆、计数原理使用不当致误 典例 在某种信息传输过程中，用 息，不同排列表示不同信息若所用数字只有4 个数字的一个排列

27、 (数字允许重复 ) 表示一个信0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )A 10C 12分析： 信息“0110”是一个四位数字，B 11D 15此类“至多”、 “至少”类型的问题可以直接利13 / 392 16word用分类讨论的方法求解，也可转化为其反面的问题，利用间接法求解正解： 法一 (直接法 )若 0 个相同，共有 1 个；若 1 个相同，共有 1 个)；C4 4(2若 2 个相同，共有 C4 6( 个)故共有 1 4 6 11( 个)法二 ( 间接法 )3若 3 个相同，共有 C4 4( 个) ，若 4 个相同，共有 1 个，而不同排列个数为

28、 4 16，所以共有 (1 4) 11( 个)易错提醒： 该题中要求解的是“至多有两个对应位置上的数字相同”， 易出现的问题是分类混淆，漏掉各位数字信息均不相同的情况，解决此类问题的关键是准确确定分类标准，分类计数时要做到不重不漏一、选择题1已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为 ( )A 16 B 13C 12 D 10解析： 由分步乘法计数原理可知，走法总数为 43 12. 故选 C.答案： C2.如图所示， 在 A、 B间有四个焊接点 1、2、3、4， 若焊接点脱落导致断路，发现 A、 B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 ( )A 9 种 B 11 种

29、则电路不通 今C 13 种 D 15 种解析： 按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落 1 个，则有 (1) ， (4) 共 2 种；若脱落 2 个，有 (1,4) ， (2,3) ， (1,2) ， (1,3) ， (4,2) ， (4,3) 共 6 种；若脱落 3 个，有 (1,2,3) ， (1,2,4) ， (2,3,4) ， (1,3,4) 共 4 种；若脱落 4 个， 有(1,2,3,4) 共 1 种 综上共有 2 6 4 1 13( 种) 焊接点脱落的情况 故 选 C.答案： C3 (2014 某某省三市 ( 某某、某某、某某 )三模 )现将 2 名医生和 4 名护士分配到 2 所学

30、14 / 39word校给学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，则不同的分配方法共有 ( )A 6 种C 18 种解析： 只需让第一所学校选取即可先从 2 名医生中选取 1 名，不同的选法有再从 4 名护士中选取 2 名，不同的选法有B 12 种D 24 种C 2( 种 )； 6( 种 )由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有26 12( 种)故选 B.答案： B4一排 9 个座位坐了A 33!3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ( )B 3(3！ ) 3C (3！ ) 4解析： 9 个座位坐3 3A3A3) (3！ ) 4 . 故选 C.答案： CD 9!3 个三

31、口之家，每家人坐在一起，3 3用捆绑法，不同的坐法种数为 A3(A35 (2014 某某省某某一中高三高考冲刺 ) 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、 某某交大和浙大 3 所大学，若每所大学至少保送同的保送方案种数为 ( )A 150 B 114C 100 D 72解析：北大 某某交大 浙大3 1 12 2 12 1 21 3 11 2 21 1 3所以不同的保送方案有 8 18 18 16 24 16故选 C.1 人， 且甲不能被保送到北大， 则不3 1C4C2 82 2C4C3 182 1C4C3 181 3C4C4 161 2C4C4 241 1C4C4 16100( 种 )

32、答案： C6 (2014 某某省实验中学第二次模拟 ) 袋中装有编号分别为黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为15 / 391,2,3,4 的 4 个白球和 4 个( )2wordA 32 B 40C 24 D 563解析： 由题意知每个均有白球和黑球各一个 先从 4 个中选取 3 个， 不同的选法为 C44( 种) ；然后每个选择一球各有 2 种选法，所以不同的选法共有A.答案： A二、填空题7 (1) 若 3A 2Ax2 1 6Ax2 ，则 x _.(2) 若 Cx2 x16 C 5 ，则 x _.4222 32( 种) 故选解析： (1) 原方程可化为3x( x

33、1)( x 2) 2( x1)x 6x( x 1)，x3， 3( x 1)( x 2) 2( x1) 6( x 1)，整理得 3x2 17x 10 0.解之得 x 3(舍去) 或 x 5.原方程的解为 x 5.(2) 原方程可化为 x2 x 5x 5 或 (x2 x)(5 x 5) 16，即 x2 6x 5 0 或 x2 4x 21 0.解得 x 1， x 5 或 x 7， x 3，经检验 x 5 和 x 7 不合题意，故原方程的根为 1,3.答案： (1)5 (2)1 或 38甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲

34、安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种解析： 按甲的安排进行分类讨论甲排周一，则乙丙排后 有 43 12( 种) ； 甲排周二，则乙、丙排后 有 32 6( 种) ； 甲排周三，则乙、丙排后 有 21 2( 种)4 天中 2 天，3 天中 2 天，2 天，故共有 12 62 20( 种)答案： 2016 / 39word9已知 a2,4,6,8 ， b3,5,7,9 ，则能组成 log ab1 的对数值有 _个 解析： 由 log ab1 可得 ba，故可根据 a 的取值进行分类当 a 2 时， b可取 3,5,7,9 共 4 种情况； 当 a4 时， b可取 5,7,9 共 3 种情况；

35、当 a 6 时， b可取 7,9 共 2 种情况；当 a 8 时， b 只能取 9，共 1 种情况由分类加法计数原理可知不同的对数值共有 log 49.答案： 910 某市教育局在一次教师招聘中共邀请了4 3 2 1 1 9( 个) 其中 log 239 名评委老师， 若将 9 位评委老师平均分成三组进行打分，共有 _种不同的分法解析： 9 位评委老师平均分成 3 组， 每组 3 人， 这是一个均分问题， 故不同的分法为280( 种)答案： 280三、解答题11某校数学课外活动小组有高一学生 10 人，高二学生 8 人，高三学生 7 人(1) 选其中 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？3

36、3 3C9C6 C33A3(2) 每一年级各选 1 名组长，有多少种不同的选法？(3) 推选出其中 2 人去外校参观学习， 要求这 2 人来自不同年级， 有多少种不同的选法？解： (1) 若从高一学生中选，则有 10 种不同选法；若从高二学生中选，则有法；若从高三学生中选，则有 7 种不同选法；所以由分类加法计数原理知，共有8 种不同选10 8 725( 种) 不同选法(2) 三个年级分别有 10 种， 8 种， 7 种不同选法， 由分步乘法计数原理知， 共有 1087560( 种)不同选法(3) 选法可分三类：一类是 1 人选自高一， 1 人选自高二，有 108 80( 种) 选法；第二类是

37、 1 人选自高一， 1 人选自高三，有 107 70( 种)选法；第三类是 1 人选自高二， 1 人选自高三，有 87 56( 种)选法，所以共有 80 70 56 206( 种)不同选法12男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1) 男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2) 至少有 1 名女运动员；17 / 39C4C6 C1 44word(3) 既要有队长，又要有女运动员解： (1) 任选 3 名男运动员， 方法数为 C， 再选 2 名女运动员，120( 种)方法(2) 法一 至少有 1 名女运动员包括以下几种

38、情况：1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男，由分类加法计数原理可得总选法数为3 2 4 1C4C6 C4C6 246.法二 “至少有 1 名女运动员”的反面是“全是男运动员”，方法数为 2 共有 3 2C4， C6 C4因此用间接法求解， 不同5 5选法有 C10 C6 246( 种)(3) 当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法不选女队长时，必选男队长，其他人任意选， 共有 种选法， 其中不含女运动员的选法有(C ) 种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有4 4 4C9 C8 C5 191( 种)4C5种， 所以不选女队长时的选法共有第 2 节 计数原理

39、、排列与组合的综合应用1两个计数原理的综合应用对于一些较为复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题， 我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，一般采用先分类后分步的策略2排列组合常见的解题策略(1) 特殊元素优先安排策略；(2) 合理分类与准确分步策略；(3) 排列、 组合混合问题先选后排的策略 ( 处理排列组合综合性问题一般是先选元素， 后排列 )；(4) 正难则反，等价转化策略；(5) 相邻问题捆绑处理策略；(6) 不相邻问题插空处理策略；(7) 定序问题除法处理策略；18 / 39word(8) “小集团”排列问题先整体后局部策略；(9) 构造模型的策略

40、1如图所示为一电路图，从 A 到 B 共有 _条不同的线路可通电 ( )A 18C 9解析： 先分步后分类，共有不同的线路为答案： DB 8D 153(3 2) 15 条故选 D.2已知 5 个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建A 4 种C 64 种3 号子项目，则不同的承建方案共有 ( )B 16 种D 96 种解析： 第一步确定甲工程队承建的子项目， 从 1,2,4,5 号子项目中任选一个， 不同的选法有 C 4 种；第二步，其余 4 个工程队不同的排法有 24 种由分步计数原理可知，不同的承建方案有 424 96 种故选 D.答案： D3

41、电视台在直播 2013 年莫斯科大学生运动会时要连续插播 5 个广告， 其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的运动会宣传广告， 要求最后播放的是运动会宣传广告， 且 2 个运动会宣传广告不能连播则不同的播放方式的种数为 (A 120 B 48C 36 D 18解析： 有 C21C A 36( 种) ，故选 C.答案： C4某班 3 名同学去参加 5 项活动，每人只参加人参加活动的方案共有 _种(用数字作答 ) 解析： A CA 120( 种)答案： 120)1 项，同一项活动最多 2 人参加，则 3? 温馨提示：对应学生用书页码： 164页！19 / 39word计数原理的综合应用 例 1

42、 如图所示，将四棱锥 SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色， 如果只有 5 种颜色可供使用， 那么不同的染色方法共有 _种 ( 以数字作答 ) 思维导引 法一 可分两大步进行， 先将四棱锥一侧面上的三个顶点染色， 类考虑另外两顶点的染色方法种数，用分步乘法计数原理可得染色方法总数；法二 SA B C D的顺序染色；法三 可按所用颜色种数分类 解析 法一 由题意， 四棱锥 SABCD的顶点 S、 A、 B 所染的颜色互不相同，543 60( 种) 染色方法当 S、 A、 B 染色确定时，不妨设其颜色分别为 1、 2、 3，设另外两种颜色为然后再分按它们共有4,5 ，若 C

43、染 2，则 D可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D可染 3 或 5，有 2 种染法；若 C染 5，则 D可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当 S、 A、 B 染色确定时， C、 D有 7 种染法故不同的染色方法有 607 420( 种)法二 第一步， S点染色，有 5 种方法；第二步， A 点染色，与 S在同一条棱上，有 4 种方法；第三步， B 点染色，与 S、 A 分别在同一条棱上，有 3 种方法；第四步， C点染色，也有 3 种方法，但考虑到 D点与 S、 A、 C相邻，需要针对 A与 C是否同色进行分类，当 A 与 C 同色时， D 点有 3 种染色方法

44、，由分步乘法计数原理知，有54313 180( 种) 方法；当 A 与 C不同色时，因为 C与 S、 B 也不同色，所以 C点有2 种染色方法， D点也有 2 种染色方法，则有 54322 240( 种) 方法由分类加法计数原理得不同的染色方法共180 240 420( 种)法三 第一类， 5 种颜色全用，共有 54321 120( 种)不同的染色方法；第二类，只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色 (A与 C或 B与 D) ，共有 54325432 240( 种)不同的染色方法；第三类，只用 3 种颜色，则 A与 C、 B与 D必定同色，共有 543 60( 种)不同的染色方法；由分类加法计

45、数原理，得不同的染色方法共有120 240 60 420( 种) 答案 420利用两个计数原理解决计数问题时，要注意以下几个方面：20 / 39word(1) 对于复杂的问题，可借助列表、画图的方法将其分解为两个计数原理的应用问题；(2) 先分类后分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3) 分类时要不重不漏；(4) 分步时要步骤完整即时突破 1 已知集合 M1 ， 2,3 ， N 4,5,6 ， 7 ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同的点有 ( )A 18 个 BC 14 个 D解析： (1) 设 aM， bN.16 个10 个a 为横坐标， b

46、 为纵坐标，则由题意知， b0，故 a 的选取有 3 种； b 只有 5,6 两种选法，由分步计数原理可知，满足条件的点有 32 6 个a 为纵坐标， b 为横坐标由题意 a0，则 b 的选法有 4 种， a的选法有 2 种由分步计数原理知，满足条件的点有 42 8 个由分类计数原理得，满足条件的点共有 6 8 14 个故选 C.计数原理与排列 ( 或组合 ) 的综合问题 例 2 (1)(2013 年高考某某卷 )将 A， B， C， D， E， F 六个字母排成一排，且 A， B 均在 C的同侧，则不同的排法共有 _种( 用数字作答 )(2) 如果一个三位正整数“ a1a2a3”满足 a1a

47、3 ，则称这样的三位数为凸数 ( 如120,343,275 等) ，那么所有凸数的个数为 ( )A 240C 729 思维导引 (1) 根据位置的对称性分为B 204D 920C在第一或第六位置、 C在第二或第五位置与 C在第三或第四位置三类求解(2) 根据 a3 是否为 0， a1 与 a3 是否相等进行分类，利用分类加法计数原理求解 解析 (1) 按 C的位置分类计算当 C在第一或第六位时，有当 C在第二或第五位时，有当 C在第三或第四位时，有5A5 120( 种) 排法；2 3A4A3 72( 种 ) 排法； 48( 种) 排法所以共有 2(1 20 7248) 480( 种) 排法(2

48、) 由题意知 a2 是 a1， a2， a3 三个数中的最大数且 a1 与 a3 的大小关系不确定， a1 不能为0， a3 可以为 0，根据 a3 是否为 0 及 a1 与 a3 是否相等进行分类讨论2若 a30，则满足条件的凸数有 C9 36 个21 / 393word若 a30，且 a1 a3 则满足条件的凸数有 2 个C9 36若 a30，且 a1 a3，则满足条件的凸数有 3 168 个2C9由分类计数原理知所有凸数的个数有 36 36 168 240 个，故选 A. 答案 (1)480 (2)A解决计数原理与排列 (或组合 )综合问题时首先根据题意确定是分类还是分步解决， 然后确定

49、每一类 (或步 )是排列问题还是组合问题， 先分别求解， 再由计数原理最终求解即时突破 2 用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字且比 20000 大的五位偶数共有( )A 48 个 B 36 个C 24 个 D 18 个解析： 由题意知个位数字可为 2 或 4.若个位数字为 2，则首位数字有 3,4,5 三种选择此时满足条件的五位偶数有 3 18 个3A3若个位数字为 4，则首位数字有 2,3,5 三种选择此时满足条件的五位偶数有 3A3 18 个由分类加法计数原理知满足条件的五位偶数有 故选 B.排列与组合的综合应用 例 3 (1)(2014 某某省某某市毕业班检测18 18 3

50、6 个) 从 1、 2、 3、 4、 5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有样的三位数有 ( )A 51 个C 12 个2 和 3 时， 2 需排在 3 的前面 (不一定相邻 ) ，这B 54 个D 45 个(2)(2014 某某省白山市模拟 )现有 12 件商品摆放在货架上，摆成上层 4 件，下层 8 件，现要从下层 8 件中取 为( )A 420 种C 840 种2 件调整到上层， 若其他商品的相对顺序不变， 则不同调整方法的种数B 560 种D 20160 种 思维导引 (1) 依据选取的数字中是否含有 2,3 进行分类； (2) 保持商品的相对顺序不变可以利

51、用依次插空法求解 解析 (1) 依据选取的数字中是否含有 2,3 分为四类：2、 3 都不选取，则只能选取 1,4,5 ，3故不同的三位数有 A3 6 个；22 / 391word选 2 不选 3，且 2 排在 3 的前面， 则需从 1,4,5 中选取 2 个， 则不同的三位数有18 个；2 3选 3 不选 2，则需从 1,4,5 中选取 2 个，则不同的三位数有 C3A3 18 个；2、 3 都选，且 2 排在 3 的前面，则需从 1,4,5 中选取一个，则不同的三位数有9 个综上，不同的三位数共有：故选 A.(2) 可分 2 步求解第一步，从下层 8 件中选取6 18 18 9 51 个2

52、2 件，不同的选法为 C8种2 3C3A31 3C3A32 A22第二步，选出的 2 件依次插入上层的 4 件中有 A5种不同的插法由分步计数原理可得，不同调整方法的种数有2 2C8 A 5 2820 560 种故选 B.(1) 解决排列组合应用题， 一般是将符合要求的元素取出 ( 组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列 分组时， 要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准(2) 由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备， 有无重复和遗漏， 也可采用多种不同的方法求解， 看看结果是否相同即时突破 3 (1)(2

53、013 年高考某某卷 ) 用 0,1 ， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A 243 B 252C 261(2) 由 1,2,3,4,5,6A 72D 279组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( )B 96C 108 D 144解析： (1) 由 0,1,2 ， 9 十个数字共可组成三位数个数为 CC10 C110 900，其中无重复1 2数字的三位数有 C9A9 648( 个) ，则符合题意的三位数个数为 900 648252. 故选 B.(2) 由于为偶数，故末位共有C3种选法，然后分类：当 5 在首位或十位时，共有1 32A2A3C

54、72( 个) ；当 5 在万位、千位或百位时，共有 AC 36( 个)故共有 72 36 108( 个)故选 C.特殊元素 ( 位置 )优先安排法 典例 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有23 / 392word且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为A 360C 216分析： 分两步计算 第一步：计算满足生分成两组，插空到排好的 3 位男生中( )B 288D 963 位女生中有且只有两位相邻的排法将 3 位女第二步：在第一步的结果中排除甲站两端的排法3解析： 3 位男生排成一排有 A3种排法， 3 名女生分成两组其中 2 名排好看成一个整体有

55、CA2种排法，这两组女生插空到于是 6 位同学排成一排且 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种3 名男生中有 A种插法，2 2 3 2C3 A 2 A 3 A 4 4322其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有 A2种，两组女生插到 2 名男生中有A3 种插法于是男生甲在排头或排尾， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有2 2 2 22A2 A 3 C 3 A 2 144 种所以满足条件的排法共 432 144 288 种故选 B.该题涉及到两个特殊条件：“甲不站两端”与“3相邻”， 显然对于“甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，女生中有且只有两位女生将其转化为“甲站两端”的

56、问题， 要优先安排甲， 然后再安排其他元素； 对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法，而不相邻问题可以利用插空法求解一、选择题1.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )A 11 种 B 20 种C 21 种 D 12 种解析： 左边两个开关的开闭方式有闭合开闭方式有闭合 1 个、 2 个、 3 个，即有21( 种) 故选 C.2 个、 1 个即有 1 2 3( 种) ，右边三个开关的3 3 17( 种) ，故使电路接通的情况有 37答案： C24 / 39C4C2 2 2( 每个小矩形的1 1 2word2现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，每

57、部分涂一种颜色，有公共边界的两块不能用同一种颜色，如果颜色可以反复使用，则不同的着色方法共有 ( )A 24 种 B 30 种C 36 种 D 48 种解析： 按使用颜色种数可分为两类使用 4 种颜色有 A4 24 种不同的着色方法，使用 3 种颜色有 3 种不同着色方法 由分类加法原理知共有 24 24 48 种不同的着色A4 24方法故选 D.答案： D3将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A 12 种 B 10 种C 9 种 D 8 种解析： 法一 先分组后分配，不同的安排

58、方案共有2 22 A2A2 12(A2 种) 故选 A.法二 由位置选元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有12( 种) 选 A.答案： A1 2 1 2C2 C4 C 1C24 (2014 某某省某某市第五中学高三模拟 )2013 年第 12 届全国运动会举行期间，某校4 名大学生申请当 A， B， C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人， 每人只能服务一个比赛项目， 若甲要求不去服务 A比赛项目， 则不同的安排方案共有 ( )A 20 种C 30 种B 24 种D 36 种解析： 甲自己服务一个比赛项目，则先让甲从 B、 C中选取一个项目，然后其

59、余三人分成 2 组(21) 服务两个不同的比赛项目，故不同的安排方案共有1 2 2C2C3A2 12 种；甲和另一名大学生两人一组服务一个比赛项目， 则先从其余三人中选取一个与甲组成 一组，再从 B、 C 中选取一个项目，最后剩余两人与两个项目进行全排列即可，所以不同的安排方案共有 C3C2A2 12 种由分类计数原理可得，不同的安排方案为 12 12 24 种故选 B.答案： B5 (2014 某某省山大附中高三模拟 ) 如图所示是某个区域的街道示意图25 / 39Dword边表示街道 ) ，那么从 A 到 B 的最短线路有 _条 ( )A 100C 200解析： 从 A 到 B的最短线路有

60、两条：B 400D 250AMB； A NB.若线路为 AMB，则从 A到 M只需走 5 条街道， 则需要从这五条街道中走 3 条向右，3剩余 2 条街道则需要向北走，不同的走法为 C5 10 种；从 M到 B 只需走 5 条街道，则需要2从这五条街道中走 2 条向右，剩余 3 条街道则需要向北走，不同的走法为 C5 10 种由分步计数原理可得，不同的走法为 1010 100 种若线路为 ANB，则从 A 到 N 只需走 5 条街道， 则需要从这五条街道中走 2 条向右，2剩余 3 条街道则需要向北走，不同的走法为 C5 10 种；从 N到 B 只需走从这五条街道中走 3 条向右，剩余 2 条