08-09I概率论与数理统计试卷(A)参考答案

1、|名|姓装|号学订|：|级|班线|号|序卷|试|防灾科技学院20082009 学年第一学期期末考试概率论与数理统计试卷 （A）使用班级 07601/ 07602/07103答题时间 120 分钟题号一二三四五总分得分一阅卷教师填空题（每题2 分，共 20 分）得分1、已知事件A ， B 有概率 P(A)0.4 ，条件概率 P(B | A)0.3，则 P( AB)0.28；2、设 X b(n1 , p) ， Y b( n2 , p) 则 XY b(n1n2 , p) ；3、若X(2) ，则 E(X 2)6；0,x10.6,1x13)4 、 随 机 变 量 X 的 分布 函数 是 F (x)x 3

2、，则P( 1 X0.8, 11,3x0.4 ；5、连续型随机变量的概率密度函数为f (x)ex , x00) ，则分布函数0 x(0为 F ( x)1ex , x 0 ；0 x 06、若 X N(0,1),Y N(0,1) 且 X 与 Y 相互独立，则X( X 2 t(2) ；Y2)/27、若随机变量 X ， E(X ) 2, D(X )1，则利用切比雪夫不等式估计概率P X238；98、若总体 X N( ,2 ) ，则样本方差的期望 E( S2 )2；9、设随机变量X1, X0,Y01U( 1,2)，令 Y，则 Y 的分布律为12；0, X0.pk3310、已知灯泡寿命XN(,1002 )

3、，今抽取25 只灯泡进行寿命测试，得样本x1200 小时，则的置信度为 95%的置信区间是(1160.8,1239.2)（ z0.0251.96）。阅卷教师二、单项选择题（本大题共5 小题，每题 2 分，共 10 分）得分1、若 P( A)0.5, P(B)0.4,P( A B) 0.6，则 P(B A) （ C ）(A)0.2 ；(B) 0.45 ；(C)0.6；(D) 0.75；2、设离散型随机变量X 的分布律为 P Xkk， k1,2, 且0 ，则参数（C）（ A）1；（B）1；（C）1；（ D）不能确定 ；113、设随机变量 X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是（B ）（A） X

4、与Y 独立；（B） D( X2Y)D(X) 4D(Y) ；（C） D( X2Y)D(X ) 2D(Y)； （D） D(X2Y)D(Y)4D(X ) ；4、若 X N (0,1) ，则 P(| X |2) =（A ）（A ） 21(2) ；（B） 2(2)1；（C） 2(2) ；（D）1 2(2)；5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（D ）(A) 无偏性；( B) 有效性；(C) 相合性；(D ) 正态性 。1三阅卷教师（本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分。）得分1、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为 0.15。有

5、0.9 的把握确定朋友会记得换水。问：（ 1）主人回来金鱼还活着的概率？（ 2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？解：设 A 表示“朋友换水”， B 表示“金鱼还活着” ，则 P( A)0.9 ， P( A)0.1 ，P(B A) 1 0.15 0.85， P( B A)0.15， P(B A)0.2 ， P(B A) 0.8，（ 1）由全概率公式 P( B) P( A) P(B A)P(A)P(B A)=0.90.85+0.10.2=0.785；,（5 分）P( A)P(B A)0.1 0.80.372093 , （8 分）（ 2）由贝叶斯公式 P( A B)P(B)1 0

6、.7852、二维随机变量 (X,Y)的联合分布律为X01Y100.10.10.210.20.30.1（ 1）求 X,Y 的边缘分布律；（2）求 P( XY1) ；（3） X,Y 是否相互独立。解：（ ）P(X1) 0.1 0.20.3，P X00.30.10.4，1P X10.20.10.3，PY00.10.10.20.4 ，P Y10.20.30.1 0.6 。,（4 分）（2） P(XY 1)P X0,Y1P X1,Y0 0.5 ,（7 分）（ 3）因为 P X0, Y00.1P X0PY0 ， X,Y 不相互独立。3、设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，X 在 (0,1) 上服从均匀分

7、布， Y 的概率密度函数为yf Y ( y)1 e 2 , y0,20,y0.求（ 1） X 和 Y 的联合概率密度函数；（ 2）设含有 a 的二次方程a22 XaY0 ，求 a 有实根的概率( 已知(1) 0.8 4 1 3， (2) 0.9772,(0)0.5000 ，22.5066根据需要选用 )。解： X 的概率密度函数为 f X (x)1,0 x1,其它（1）因为 X 和 Y 是两个相互0,.独立的随机变量，所以 X 和 Y 的联合概率密度函数为1ye2,0 x 1, y0, ,（f (x, y) f X ( x) fY ( y)23 分）0,其它 .（ 2 ）二 次 方 程 a 2

8、2XaY0 有 实 根的 充 要 条 件为 4 X 24Y0 ， 即X 2Y0 ，所求概率为yx2x2x21yP X2Y01e 2 dy1dx1dx2e 21 e 2 dx000001x2。,（8 分）120 21e 2 dx12(1)(0)12.5022(0.84130.5000)0.14454、已知某种型号电子器件的寿命X (以小时计 )的概率密度函数为100f ( x)x 2, x100,0,x100.（1）求 X 的分布函数 F (x). （2）现有一大批此种器件 (设各器件损坏与否相互独立 )，任取 10 只，以 Y 表示寿命大于150 小时的器件的只数，求 Y 的分布律。解：（1）

9、因为 当时， ()x100时，x10000 ， 当 xF xdx100 x100100 x100，F (x)0dx100 x 2 dxx 1001x2所以 F ( x)1 100 , x 100, （4分）x0,x100.（2）因为任意一只器件寿命X 大于 150 小时的概率为 p1 F (150)2 ，23又各器件损坏与否相互独立，所以Y 服从 b(10,) ，概率分布律为310k10kP X k21, k 0,1,2,10.,（8 分）k33四、阅卷教师（本大题共2 小题，每小题8 分，共 16 分）得分1、二维随机变量(X,Y)的具有联合概率密度函数1,y x,0 x1f (x, y)其

10、它 .0,求 E( X ), E(Y), Cov ( X , Y) .解： E(X)1x12,2 分）dxxdy2 x 2 dx（0 x03E(Y)1x,4 分）dxydy 0（0 xE(XY)1xxydy 0,6 分）dx（0 xCov( X , Y)E(XY) E(X )E(Y)0,（8 分）2、设随机变量 X1,X2,X3相互独立且都服从 (0,1)上的均匀分布，求U max X 1, X 2 , X 3 和 Vmin X1 , X 2 , X 3 的数学期望。，0,，1.0 x解：因为 X 1 , X 2 , X 3 的密度均为 f (x)1 0 x0, 其它, F ( x)x, 0

11、x 1.1, x1.所以（ 1）0, u0,FU (u)PU uP X1u, X 2u, X 3u(F (u) 3u3 ,0u1, ,（2 分）1, u1.fU (u)F U (u)3u 2 ,0u1,的数学期望 E(U )ufU (u)du0, 其它.，随机变量 U13 . ,u 3u2 du（4 分）040, u0,(2) FV (v) PVv1(1F (u) 31 (1u) 3 ,0u1,（6 分）1,u1.fV (v)F V (v)3(1u) 2 ,0u1,0,其它.所以随机变量 V 的数学期望 E(V )13(1v) 2 dv1 ,（8 分）vf V (v)duv04五、（共 3 小

12、题，共 22 分）有一批梧桐树苗， 其中 90%的高度不低阅卷教师1（本小题 7 分）：得分于 3 米。现从树苗中随机地取出300 株，问其中至少有30 株低于 3 米的概率。（已知 (0)0.5000,(2.5)0.9772,(3)0.9987 ，根据需要选用。）解：因为树苗中 90%的高度不低于3 米，所以其低于 3 米的概率为0.1，设 X 为300 株树苗中高度低于3 米的株数，则 X b(300,0.1) ，其分布律为P X k300k ， k 0,1,300. E( X )30 ，D(X ) 27，,（3分）0.1k 0.9300k用棣莫佛 -拉普拉斯定理，P X 301 PX30

13、1P X303030,（7 分）27271(0)10.50000.500032、（本小题 8 分）：设随机变量X 具有分布律X12322(1 ) (1)2pk其中 （0）为未知参数。已知取得了样本值x1 1, x21, x32，求 的1矩估计量和极大似然估计量。解： E(X)1222(1)3(1) 232，样本均值 x1124 ，4 ，得533令 3 2的矩估计值为 ?,（4 分）36似然函数为 L ()222 (1)25 (1) ，对数似然函数为ln L ()ln 25 lnln(1)，似然方程为d ln L ()510，得的最大似然估计值为 ?5。, （8 分）d163、（本小题 7 分）某批矿砂的 5 个样品中的金含量，测定结果为x3.252 ，s 0.002 ，再假设测定总体服从正态分布，但参数均未知。 问在0.01下能否接受假设：这批矿砂的金含 量均值为3.25 。（已 知 t 0.005 (4)4.6041 ，t0.005 (5)4.0322 ，52.236 根据需要选用）。解：测定值 X N(,2 ) ，,2 均未知，关于均值的假设检验，用 t 检验法。提出假设： H 0:3.25