湖南省高一上学期期末质量检测数学试卷

1、试卷第 PAGE 4 页，共 4 页湖南省高一上学期期末质量检测数学试卷学校:姓名：班级：考号： 评卷人得分一、单选题1命题“ x R ， x2 2x 1 0 ”的否定为（）000A x0 R ， x2 2x00 1 0B x R ， x2 2x 1 0C x R ， x2 2x 1 0 x 2, x 2D x R ， x2 2x 1 02函数 f x 3，则 f f 3等于（）, x 2xA1B 3C 1D 3 3“ xy 0 ”是“ x 0, y 0 ”的（）充分不必要条件C充要条件 2必要不充分条件 D既不充分也不必要条件已知幂函数 y m2 3m 3xm m2 的图象不过原点，则实数

2、m 的取值为（）A1B2函数 f x3sin2 x 3sinxcosx 的（）3周期是 ，最大值为 2 C周期是 ，最大值为3 32C-2D1 或 23周期是 2，最大值为 2 D周期是 2，最大值为3 32不等式ax2 bx c 0 的解集为x | 2 x 1，则函数 y ax2 bx c 的图像大致为ABCD（）已知实数a 0,b 1满足a b5 ，则 2 1的最小值为（）A 3 224B 3 424ab 1C 3 226D 3 426评卷人得分二、多选题下列指数式与对数式互化正确的一组是（）A100 1 与lg1 0B log4 2 与91 3323C 271 1 与log 31 127

3、33D log5 1与51 55已知实数a ， b 满足等式2021a 2022b ，下列式子可以成立的是（）A a b 0B a b 0C 0 a bD 0 b a 10下列结论中是正确的有（）51函数 f x tan x 的定义域是 2k, 2k, k Z 23 33B若cos 5 ,tan 1 , 3 ,0 ，则sin 的值为253222C函数 f x 2 log x 1（其中a 0 且a 1）的图象过定点0,2 aD若 f x log x2 ax a的值域为R ，则实数a 的取值范围是, 4 0, 2评卷人得分三、填空题高考数学考试时间是 2 小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度

4、数为 .用二分法研究函数 f x lgx 11 的零点时，第一次经计算可知 f 8 f 12 0 ，说x明该函数在区间（8，12）存在零点x，那么经过下一次计算可知x（填区间）.04 3 0sin 3 sin 5 5 已知角 终边与单位圆相交于点P , ，则化简sin 2 cos 4 得 .已知x、y 满足 x2 2cos y 1.则 x cos y 的取值范围是评卷人得分四、双空题如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），若这些材料围成的围墙总长为 240 米，则当面积相等的小矩形的长 x 为米时，这块矩形场地面积的最大值是平方米.评卷

5、人得分五、解答题16已知集合 A x |1 3x 27, B x | log x 1.2求(B) A ；R17某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 02322x356A sin(x )0550已知集合C x |1 a x 1 a ，若C A ，求实数a 的取值范围.（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x) 的解析式；（）将 y f (x) 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 y g(x) 图象，求6y g(x) 的图象离原点O 最近的对称中心18已知函数 f x x2 a 1x a .当a 2时，求关于 x

6、的不等式 f x 0 的解集；若 f x 2x 0 在区间（1，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围. 19已知函数 f x log (2 x) log 2 x， g x x2 ax 5a R.33判断 f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；若对任意 x1,1，存在 x1,1，使得 g x f x成立，求实数a 的取值范1212围.答案第 PAGE 11 页，共 11 页1B【分析】利用存在量词命题否定的方法写出即可.【详解】参考答案因命题“ x R ， x2 2x 1 0 ”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，000所以“ x R ， x2 2x 1 0 ”的否定为： x R ， x2 2

7、x 1 0 .000故选：B 2D【分析】利用函数 f x的解析式由内到外逐层计算可得 f f 3的值.【详解】x 2, x 2 3 因为 fx 3，则 f3 1，故 ff3 f1 1 2 3.故选：D. 3B【分析】, x 23x由充分条件和必要条件的定义判断.【详解】充分性：若 xy 0 ，则 x 0, y 0 或 x 0, y 0 ，故充分性不成立； 必要性：若 x 0, y 0 ，则 xy 0 ，故必要性成立，所以“ xy 0 ”是“ x 0, y 0 ”的必要不充分条件.故选：B.4A【分析】根据题意，可知系数为 1，指数应小于 0，由此列出不等式组，解得答案.【详解】m2 3m 3

8、 1由题意可知： ，m2 m 2 0解得m 1 ,经经验，符合题意， 故选：A.5C【分析】3利用二倍角公式，和三角恒等变换可得 f x3 sin 2x ，再根据三角函数的性质，62即可求出结果.【详解】因为 f x3 sin2 x 3sin x cos x 3 1 cos 2x 3 sin 2x223336 3 sin 2x cos 2x 3 sin 2x ；2222所以函数 f x的周期为 2 ，2当2x 2k, k Z ，即 x k, k Z 时，函数 f x 取最大值，最大值为3 3 .6232故选：C.6C【分析】由一元二次不等式的解集形式确定a 的正负， a, b, c 的关系，得

9、函数零点，然后确定函数图象【详解】不等式ax2 bx c 0 的解集为x | 2 x 1，2 1 bab a 2 1 c ， c 2a ，a 0aa 0y ax2 bx c ax2 ax 2a a(x2 x 2) ，图象开口向下，两个零点为2, 1 .故选：C.7A【分析】21所求 的分母特征，利用a b5 变形构造a (b 1) 4 ，再等价变形ab 11 ( 2 1)a (b 1)，利用基本不等式求最值.4 ab 1【详解】解：因为a 0,b 1满足a b5 ，则 2 1 ( 2 1) a b 1 1ab 1ab 141 2b 1a143 (3 22) ，ab 14当且仅当2 b 1a时取

10、等号，ab 1故选： A 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整， 做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用 基本不等式的前提.8ACD【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果.【详解】由对数的概念可知：100 1 可转化为lg1 0 ，故A 正确；由对数的概念可知：192 3可转化为log93 1 ，故B 错误；23由对数的概念可知： 271 1 可转化为log 31 1 ，故C 正确；2733由对数的概

11、念可知：51 5 可转化为log故选：ACD. 9ABD【分析】5 1，故 正确；D5分别画出 y 2021x ， y 2022 x的图象 ，结合图象即可判断【详解】分别画出 y 2021x ， y 2022 x的图象，如示意图：实数a ， b 满足等式2021a 2022b ，可得： a b 0 ，或a b 0 ，或ab0 故选：ABD.10ABC【分析】根据正切函数的定义域，即可判断A 是否正确；根据三角函数的同角关系，以及两角差的正弦公式，即可判断B 是否正确；根据对数函数的性质，即可判断C，D 是否正确.【详解】令 k x k, k Z ，解得 5 2k x 1 2k, k Z ，即函

12、数22323351f x tan x 的定义域是 2k, 2k, k Z ，故A 正确； 23 33因为cos 5 , 3 ，所以sin 25 ,525 sin 1103 10cos 31又tan ,0 ，所以sin2 cos2 1 ，解得sin ,cos ，32sin 0,cos 01010所以sin sin cos cos sin 25 3 105 10 2510 5 102 ；故B 正确；令 x 1 1，解得x 0 ，所以 f 0 2 log1 2 ，故函数 f x 2 logaax 1（其中a 0且a 1）的图象过定点0,2 ，故C 正确；若 f x log x2 ax a的值域为R

13、，则 a2 4a 0 ，解得a 0 或a 4 ，所以实数a2的取值范围是, 4 0, ，故D 错误.故选：ABC.11 3【详解】时间经过 2 小时，钟表的时针顺时针方向转过60 ，故时针转过的弧度数为 ，3故答案为： .312 10,12【分析】分别计算出 f 8, f 12的值，并判断正负，再计算中点处的函数值 f (10)，即可得答案.【详解】f (8) lg8 11 0, f (12) lg12 11 0 ，812而 f (10) lg10 11 1 11 0 ，则 f (10) f (12) 0 ，1010故答案为： 10,12.13 3 #4【分析】根据任意角三角函数的概念，可得t

14、an 3 ，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于4tan ，由此即可求出结果.【详解】因为角 终边与单位圆相交于点P 4 , 3 ，所以tan 3 ，5 5 4sin 3 sin 又sin 2 cos 4 sin 2 sin sin 2 cos 4 sin sinsin cos sin sin tansin cossin 3 sin 3所以sin 2 cos 4 4 .故答案为： 3 .4314 1,1【分析】先根据 x2 1 2cosy 1,3求出 x 3,3 ，再由cosy 1 x2 求出2x cosy 1 x 12 1 ，再利用二次函数的图像和性质求解.2【详解】由于 x2 1 2co

15、sy 1,3故 x 3,3 .由cosy 1 x22,知 x cosy 1 x 12 12因此,当 x 1 时, x cosy 有最小值-1,此时,y 可以取 ;2当 x 3 时, x cosy 有最大值3由 1 x 12 1的值域为1, 1此时，y 可以取 .31 ,知 x cosy 的取值范围是1,31 23故答案为1,1【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，考查二次函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.15303600【分析】求出小矩形的宽，矩形场地面积S 3x 【详解】小矩形的宽为 240 4x 0 x 240米，3240

16、4x3然后配方求最值即可.240 4x所以这块矩形场地面积S 3x 3 4 x 302 3600 ，所有当 x 30 时S 有最大值为3600.故答案为： 30 ； 3600. 16（1）x x 3；（2） a 1.【分析】由指数函数、对数函数的性质确定集合A, B ，然后由集合的运算法则计算由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围【详解】解：（1） A x 0 x 3， B x x 2， B x x 2，R B A x x 3.R（2）当C 时，1 a 1 a ，即a 0 成立；1 a 1 a当C 时， 1 a 0 0 a 1成立.1 a 3综上所述， a 1【点睛】易错点睛：本题考查集合的

17、运算，考查由集合的包含关系示参数范围在A B 中，要注意17（）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：x 02322x1237125613 12A sin(x )05050A 的情形，空集是任何集合的子集这是易错点且函数表达式为 f (x) 5sin(2 x 6) ；（）离原点O 最近的对称中心为（）根据表中已知数据可得：A 5 ，3 2，56 32，解得数据补全如下表：x 02322x1237125613 12A sin(x )05050【详解】且函数表达式为 f (x) 5sin(2 x ) （）由（）知 f (x) 5sin(2 x 6) ，因此 g(x) 5sin2( x ) 5sin

18、(2 x 66) 因为6y sin x 的对称中心为，k Z 令2x k ，解得 x k ，k Z 即 y g(x)6212图象的对称中心为， k Z ，其中离原点O 最近的对称中心为618（1） ( ，1） （2， ) .2（2） , 2 3 .【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可；原不等式等价于x2 ax x a 0 在(1,) 上恒成立，分离参数得a x2 x ，令x 1t x 1(t 0) ，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.（1）解：当a 2时，则 f (x) x2 3x 2 ，由 f (x) 0 ，得 x2 3x 2 0 ， 令 x2 3x 2 0 ，解得 x 1 ，或

19、 x 2 ，原不等式的解集为( ，1） （2， ) ；（2）解：由 f (x) 2x 0 即 x2 ax x a 0 在(1,) 上恒成立，从而有： a x2 x ，22x 1x2 x令t x 1(t 0) ，则 (t 1)2 t 1 t 2 3 3 2，当且仅当t 时取等号，x 1tt2a 3 2，2故实数a 的取值范围是 , 219 3 .（1）函数 f x 是奇函数，函数 f x 在2,2 上是单调递增函数，理由见解析（2）5,5【分析】先求出函数 f x 的定义域，再根据函数奇偶性的概念，即可得到结果；根据复合函数单调性的判断法可知函数 y log3断函数 f x 的单调性；2 x和 y log32 x在2,2 上的单调性，由此即可判由题意可知，对任意x1,1，存在 x1,1，使得不等式g x f x成立，等1212价于 g xmax f xmax，再根据函数的单调性求出 f xmax，根据二次函数的性质可求出g xmax（1），进而列出不等式，求出结果.解：函数 f x 是奇函数2 x 0理由如下：由2 x 0 得2 x 2 ，所以 f x的定义域为2,2 ，又因为 f x log 2 x log 2 x f x33所以函数 f x是奇函数.函数 f x 在2,2 上是单调递增函数理由如下：因为 y log32 x在2,2 上单调递增，