24.2 点、直线、圆和圆的…1

1、PAGE 24.2.1反证法【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学情分析】学生从初中开始就已经初步接触过反证法,反证法的逻辑规则并不复杂,但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。究其原因,反证法主要是需要逆向思维,而在中小学阶段,逆向思维训练和发展都是不充分的;其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识,学生在学习那部分知识时就存在一定的困难;再者我所教的学生其本身对问题的理解、思维能力也是相对较弱的。【学习重点】体会反证法证明命题的思路

2、方法，用反证法证明简单的命题。【学习难点】反证过程中的反设，以及如何推出矛盾。【学习过程】一、情境导入 （一）故事引入：中国古代有一个叫路边苦李的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?从小故事入手，不仅能激发学生的兴趣，也能更好的说明反证法的推理思想。（二）对话引入甲：在十一长假里，我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整6天，真是太高兴了. 乙：这不可能，10月4号上午还看见你和丙在廊

3、坊“万达”逛街呢！丙：是啊,10月4号我确实和甲在廊坊“万达”逛街！由此以得出甲没有到新加坡玩六天。 我们不得不佩服王戎和乙，小小年纪就具备了反证法的思维反证法是数学中常用的一种方法人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界那么什么叫反证法呢？（板书课题）二、探究新知（一）师生互动用具体例子让学生体会反证法的定义和步骤例1、求证：过同一直线上的三点不能作圆有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.结合故事、对话和本例归纳反证法的定义。（二）整体感知在证明一个命题时,

4、人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了你能说出下列结论的反面吗?1. ab 2. d是正数3. a04. ab5.a是实数。 6. a大于2。7.a小

5、于2。 8.至少有2个9.最多有一个 10.两条直线相交（三）合作探究1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.把本题改编成填空题：已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.求证: l3与l2相交.证明: 假设_,即_._（已知）,过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,这与“_ _”矛盾.假设不成立,即求证的命题正确.l3与l2相交.教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法.2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤（教师板书步骤）生：假定结论不成立（即结论的反面成立）；从假设出发，结合已知条件，

6、经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；由矛盾判定假设不正确；肯定命题的结论成立明确 用反证法证题的基本思路及步骤（三）学以致用，完善新知1、用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于明确 在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达2、已知：如图，直线a,b被直线c所截，1 2求证：ab 教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.3、已知：如图，在ABC中，AB=AC，APBAPC。求证：PBPC教师在题后引导学生归纳什么

7、类型的证明题宜用反证法：（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明）4、在ABC中,若C是直角，那么B一定是锐角.题后说明：本例中“是锐角(小于90)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.三、实践应用，知识迁移1、链接生活反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中。下面是有关的一个例子: 甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远

8、和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.2、快乐驿站：警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？请与大家分享你的判断！四、学习小结同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？ （1）引导学生作知识总结，学习了反证

9、法证题的思路、步骤与注意事项以及宜用反证法的题型（2）教师扩展：通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.五、课后作业 1.用反证法证明下列命题：（1）求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。（2）已知：如图，ABCD，AB EF。求证：CD EF。（3）求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。2.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流。【板书设计】黑板24.2.1反证法1、定义 2、步骤： 反设归谬 结论 【资料下载】 反证法也称为

10、归谬法，英国数学家哈代（GHHardy，18771947）对于这种证法给过一个很有意思的评估在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的自我测试1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等. 2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.自我提高1“ab Ca=b Da=b或ab2用反证法证明“若ac，bc，则ab”时，应假设（ ） Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于c Cab Da与b相交3用反证法

11、证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设_4用反证法证明“若a2，则a4”时，应假设_5请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a0; （3）a56如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O，那么过O，O两点就有_条直线，这与“过两点_”矛盾，所以假设不成立，则_ 7完成下列证明 如上右图，在ABC中，若C是直角，那么B一定是锐角 证明：假设结论不成立，则B是_或_ 当B是_时，则_，这与_矛盾； 当B是_时，则_，这与_矛盾 综上所述，假设不成立B一定是锐角8用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中（ ） A有一个内角小于60 B每一个内角都小