2.2.1 函数的单调性1

1、教学目标1在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；2通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3通过函数的单调性的教学，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象学情分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的教材中判

2、断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念重点难点用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域教学过程教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2. 分别作出下列函数的图像：（1）y2x（2）yx2（3）y

3、x2根据三个函数图像，分别指出当x（，）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2进行探讨观察分析观察函数y2x，yx2，yx2图像，可以发现：y2x在（，）上、yx2在（，）上的图像由左向右都是上升的；yx2在（，）上、yx2在（，）上的图像由左向右都是下降的函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质单调性那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数yx2，x（，）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值yf（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x15，x23，这时有x1x2，f（x1）f（x2），但是这种量化并

4、不精确因此，x1，x2应具有“任意性”所以，在区间（，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1），f（x2）当x1x2时，都有f（x1）f（x2）这时，我们就说f（x）x2在区间（，0）上是减函数注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量变化时对函数值y的影响必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结这里的“都有”是对应于“任意”的2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间上是增

5、函数如图8-2（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间上是减函数如图8-2（2）如果函数yf（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作yf（x）的单调区间3. 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（，0上是增函数，在区间（0，）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调

6、区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的三、解释应用例题1. 证明函数f（x）2x1，在（，）是增函数注：要规范解题格式2. 证明函数f（x），在区间（，0）和（0，）上都是减函数思考：能否说，函数f（x）在定义域（，0）（0，）上是减函数？3. 设函数yf（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）在区间D上为减函数证明：设x1，x2，且x1x2，f（x）在区间D上保号，f（x1）f（x2）0又f（x）在区间D上为增函数，f（x1）f（x2）0，从而g（x1）g（x

7、2）0，g（x）在D上为减函数练习1. 证明：（1）函数f（x）在（0，）上是增函数（2）函数f（x）x2x在（，上是减函数2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间3. 如果函数yf（x）是R上的增函数，判断g（x）kf（x），（k0）在R上的单调性四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测2. 判断二次函数f（x）ax2bxc，（a0）的单调性，并用定义加以证明3. 如果自变量的改变量xx2x10，函数值的改变量yf（x2）f（x1）0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的

8、改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率（1）根据函数的平均变化率判断yf（x）在区间D上是增函数还是减函数（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？课堂实录微课课件：素材资源：学生活动1：1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？学生活动2：分别作出下列函数的图像：（1）y2x（2）yx2（3）yx2根据三个函数图像，分别指出当x（，）时，图像的变化趋势？学生活动3：提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（，0上是增函数，在区间（0，）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的课后作业：1. 下列函数中，(1) (2) (3) (4),在区间（0，2）上为增函数的是 2.设