常见全等辅助线

1、常见全等辅助线中考说明内容ABC全等三角形了解全等三角形的概念，了解相 似三角形与全等三角形之间的关 系掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质； 会应用全等 三角形的性质与判定解决有关 问题会运用全等三角 形的知识和方法 解决后美问题知识网络图见中点倍长中线见线段数量关系截长补短 见共顶点相等线段旋转彳前章回顾.全等三角形有什么性质？.全等三角形有几种判定方法?倍长中线类全等概念辨析见中点倍长中线（倍长类中线）解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成8字全等.8字形”中心对称全等模型EE倍长中线”模

2、型倍长类中线”模型例题精讲【例1】 已知：zABC中，AM是中线.求证:1-AM - (AB AC).【讨论一下】在 ABC中，AB 5, AC 9 ,则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么ME/A AD交AB于F，交C的长线【例2】 如图，已知zABC中，AD平分 BAC. M是BC的中点, 于 E , AB AC.求证：BF CE .【例3】 已知AM为 ABC的中线，AMB, AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证:BE CF EF.【例4】 如图，已知在zABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长B氏AC于F , AF EF, 求证：AC BE.【讨论一下】如

3、图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC ,延长BEAC于FAF与EFffi等吗？为什么?FEAD【例5】 如图，D为线段AB的中点，在 AB上取异于D的点C ,分别以AC、BC为斜边在 AB同侧作等腰直角三角形 ACEW BCF,连结DE、DF、EF ,求证： 4DEF为等腰直角三角形.【例6】（2013年怀柔）已知：如图1,在4ABC中， A 90 为AC上一点，ED DF,联结EF .D为BC中点，E为AB上一点，F求证：线段 BE、FC、EF总能构成一个直角三角形;【讨论一下】如图2, A 120, D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED DF

4、, 联结EF ,请你找出一个条件，使线段 BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出 证明.【例7】 如图1,矩形ABCD中，BC 2AB, M为AD的中点，连结 BM .请你判断并写出BMD是ABM的几倍；【例8】已知ABC B C, D、E分别是A& AC延长线上的一点，且BD CE,连接DE交底BCT G ,求证 DG EG.【讨论一下】如图2,在平行四边形 ABCD中，BC 2AB, M为AD的中点，CE AB,连结EM、 CM ,请问：AEM与 DME是否也具有上题中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由.截长补短类全等概念辨析r见线段间数量关系截长补短或旋转解读：只要出现类似

5、 AB CD nEF的线段关系，就可以采取截长补短的方法来做辅助线，注意这个方法可以说是四个方法，由于方向性的不同，所以截长两种，补短两种；出现类似AB2 CD2 nEF2的线段关系时，截长补短就不行了，就得采取旋转的方法来做辅助线.例题精讲【例9】（四中期中）如图，DC/AB, BA5 口 ADC的平分线相交于 E ,过E的直线分别交 DC、AB 于C、B两点.求证：AD AB DC .【例10】（2009年崇文一模）在等边zABC的两边 AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为ABC外一点，且 MDN 60, BDC 120 , BD DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上

6、移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 4AMN的周长Q与等边4ABC的周长L的关系.如图，当点 M、N边AB、AC上，且DM DN时，BM、 NC、MN之间的数量关系是;写出结论并证明.【讨论一下】如图所示，点 M、N边AB、AC上，且当DM DN时，上题的两个结论还成立吗? 写出你的猜想并加以证明；旋转类全等亡 概念辨析T一.旋转类全等模型：共顶点等腰三角形旋转模型一一“手拉手”模型证明全等的基本思想“ SAS”共顶点等腰三角形例题精讲【例1】(1)如图1,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形OCD ,连结AC和BD,相交于点E,

7、连结BC .求 AEB的大小.将COD绕着点O逆时针旋转15 ,(2)如图2, OAB固定不动，保才I COD的形状和大小不变,求 AEB的大小.图1【讨论一下】以 ABC的两边AB , AC为边向外作正方形 ABDE , ACFG ,求证：CE BG ,且CE BG .【例11如图，已知，AC BCBCA 90，点D为等腰直角 ABC内一点，CAD CBD 15E为AD延长线上的一点，且 CE CA.(1)求证：DE平分 BDC;(2)若点M在DE上，且DC DM ,求证：ME BD【讨论一下】如图 1, RtAABCRtAEDF, ACB F 90 , A E ACD 30 . AEDF

8、绕着边AB的中点D旋转，DE , DF分别交线段AC于点M , K .观察：如图2、图3,当 CDF 0或60时，AM CK MK (填“ ，“ ”或“ ”).如图 4,当 CDF 30 时，AM CK MK (填“ ”，“ ”或“ ”).(2)猜想：如图1,当0V CDF60时，AM CK MK,证明你所得到的结论.基础演练【练1】已知CD AB, BDA BAD, AE是 ABD的中线，求证：C BAE【练2】已知 ABC中，AB AC, BD为AB的延长线，且BD AB，CE为ABC的AB边上的中线.求证：CD 2CE如图所示，已知ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD上

9、.DE CD, EF AC.求证：EF H AB【练4】 如图所示，在zABC中， ACB 2 B, BADDAC,求证：AB AC CD.【练5 如图，已知 ABC ADEB是等边三角形,B、C、D在一条直线上，试说明 CE与AC CD相等的理由.【练6 已知：如图，点E是正方形ABCD勺边AB上任意一点，过点D作DF DE交BC的延长线于点 F .求证：DE DF【练7 如图，已知zABC中， BAC 90AB AC, BE 平分 ABC, CE BD 求证：BD 2CE.【练8 如图所示.已知正方形 ABCD, M为CD的中点，E为MC上一点，且 BAE 2 DAM.求 证：AE BC

10、CE.连结BD , AE分别交AC , DC于【练9】 如图，B, C, E三点共线，且 ABC与DCE是等边三角形,M , N 点.求证：CM CN .能力提升【练10】已知：如图，点C为线段AB上一点,MCB的高.求证：CG CH .ACM、CBN是等边三角形.CG、CH分别是 ACN、【练11】已知：如图，ABC、 CDE、 EHKTB是等边三角形，且 A、D、K共线，ADDK.求证:HBDfe是等边三角形.【练12如图，正方形ABCD勺边长为1，AB、AD上各存一点 P、Q ,若APQ的周长为2,求 PCQ 的度数.【练13如图，正方形 ABC,FAD FAE 求证：BE DF AEDC巅峰突破【练14】(师大附中期中)已知：等边三角形 ABC(1)如图1, P为等边4ABC外一点，且 BPC 120 .试猜想线段 BP PC、AP之间的数 量关系，并证明你的猜想；(2)如图2, P为等边4ABCP内一点，且 APD 120 .求证：PA PD PC BD .图1图2【练15在RtAABC中，ACB 90A 30BD是ABC的角平分线， DE AB于点E -(1)如图1,连接EC ,求证： AEBC是等边三角形;(2)点M是线段CD上的一点(不与点 C , D重合)，以 BM为一边，在 BM的下方作 BMG 60 , MG交DE延长