大地测量学基础-7分解

1、第七章椭球面上的测量计算 7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系一、地球椭球的基本几何参数地球椭球参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地 球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计 算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。有关元素：O为椭球中心；NS为旋转轴；a为长半轴；b为短半轴；子午圈（或 径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即: TOC o 1-5 h z 椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：ba-hQf -椭圆的扁率：a二

2、八2椭圆的第一偏心率a,_ 5/6Z2 b椭圆的第二偏心率。=一卫一其中：a、b称为长度元素；扁率 反映了椭球体的扁平程度，如a=o时，椭球变为球体； a=l时，那么为平面。e和e是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比,它们也反映了椭球体的 扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。五个参数中，假设知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已 知一个长度元素（如a或b）,人们习惯于用a和 a 表示椭球的形状和大小，为了便 于级数展开。引入以下符号：a2C = T ttgB T；2 = er2 cos2 B式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径），两个常用的辅助函数,

3、 W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数，W = l-e2sm2 BV = 71 + e2cos2B椭球参数年代长半径m扁率分母采用国家、地区海福特19066378283297.8美、阿根廷、比 利时、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3苏、东欧、中、 朝鲜等1975年大地坐 标系19756378140298. 2571975年国际第 三个推荐值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系统也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线的长度，亦即 卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。上述M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主

4、曲率半径。三、主曲率半径的计算P12四、任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800；卯酉法截弧是东西方向，其方位 角为900或2700,这两个法截弧在P点上是正交的。现讨论在P点方位角为A的任意法截 弧的曲率半径计算公式。根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的1 cos2 A sin2 A=+曲率半径的公式为：口人RaMNN cos1 A+ Af sin2 A=V2 =1+7/2RaRa那么有,l + z/2 cos2 A 1 + e2 cos2 75cos2 A上式即为任意方向为A的法截弧的曲率半径的计算公式。为使用方便，将上式展 开级

5、数，Ra = NQ 口2 cos2 A + zy4 cos4 A L )N = 7?J1 + 77 Z?(l + - 772 )实际上，总是用平均曲率半径R代替N,24R一e2 cosBcos2A = 7? + A 2R一e2 cosBcos2A = 7? + A 2并代入上式，略去项得,Ra = /?(1 + -772)(1-72cos2 A) = R RA =e2 cos5cos2A2上式即为任意方向法截弧曲率半径的实用公式。从式中可以看出，不仅与点的纬 度B有关，还与过该点的法截弧的方位角有关。五、平均曲率半径由于 对 的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一

6、定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球 面的曲率半径一平均曲率半径(就是过椭球面上一点的一切法截弧(02 ),当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R表示)。其公式为宠=6的即椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率 半径N的几何平均值。六、M、N、R的关系椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取，其长度通常是不相 等的，由前面公式可知它们有如下关系，NRM只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c,即：N% =尺90 = Mo = C74椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究

7、高斯投影计算，往往要用到子午 线弧长及平行圈弧长，现推导其计算公式。一、子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。而赤道又把子午线分成对称的两局部， 因此，我们只推导从赤道开始到纬度B子午线弧长的计算公式。积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式：X = 6/(1 e1) Asin 2 + - sin-Lp 24二、由子午线弧长求大地纬度利用子午线弧长反算大地纬度在高斯投影坐标反算公式中要用到，反算公式可以 采用迭代法和直接解法。公式参考教材P20。三、平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标X,r x N cos B =acosB如果平行

8、圈上有两点，其经差 / = 4 - 4,可写出平行圈弧长公rS = NcosB式：P四、子午线弧长和平行圈弧长变化的比拟从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差 的平行圈弧长那么随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1。约为HOKM,约为 1.8KM, 1约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增 大它们的差值愈来愈大。五、椭球面梯形图幅面积的计算B?Bi由两子午线和两条平行圈围成的椭球外表称为椭球面梯形。现在我们来讨论椭球 梯形面积的计算，计算公式如下：P = bL2-Li)234sin5 + / sin3 B + e4 sin5

9、B + e6 sin7 B+K357地球椭球的全面积:2PE = 47rb2 (1 + e2 7-5大地线一、相对法截线二、大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线） 另有这样的定义“大地线上每点的密切面（无限接近三个点构成的平面）都包含该点的曲 线法线”亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故 大地线是一条空间的曲面曲线。.假如在椭球模型外表A、B两点之间，画出相对法截线，然后在A、B两点上各插 一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间 没有磨擦力。那么橡皮筋形成一条曲线，恰好

10、位于相对法截线之间，这就是一条大地线，由 于橡皮筋处于拉力之下，故它实际上是两点的最短线。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，它们之间 的夹角，在一等三角测量中可达千分之四秒，可见此时是不容忽视的。大地线是两点间唯 一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为e 1A5 = A3在一等三角测量中，数值可达千分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量 精度的工程三角测量中是不可忽视的。大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差 异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质可知，在椭球面上进行测量计算时，应以两点 间的大地

11、线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。 三、大地线的微分方程和克莱洛（克莱劳）方程设P为大地线上任一点，其经度为L,纬度为B,大地方位角为A,当大地线增长 dS至!|P1点时，那么上述各量相应变化L+dL, B+dB, A+dAo对应于PP1的过P点的平行 圈变化为PP2, PP1P2为一椭球面直角三角形，由于该三角形无限小，可视为平面三角形, 因 MdB = dS cos A 克莱劳方程：Insin A + lnr = InC或 r - sin A = C式中c也叫大地线常数，该式即为著名的克莱洛方程，也叫克莱洛定理。它说明: 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈

12、半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等 于常数。克莱洛方程在椭球大地测量学中有重要意义，它是经典的大地主题解算的基础。某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘积，或 者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。 1-6将地面观测的方向值归算到椭球面参考椭球面是测量计算的基准面，而野外的各种测量工作都是在地面上进行的， 测站点和照准点一般都超过参考椭球面一定高度，观测的基准线不是各点相应的椭球面的 法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线间存在着垂线偏差，因此，也就不能直接在地 面上处理观测成果，而应将地面观测元素（方向和距离）归算至椭球面上。在归算中有两条基

13、本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化 为椭球面上大地线的相应元素。一、将地面观测的水平方向归算至椭球面-三差改正将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯 上称此三项为三差改正。.垂线偏差改正地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上那么要求以该点的 法线为依据。因此在每三角点上，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线 为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正。垂线偏差的计算公式为：3： =CsinAm77cos AJagZ=一(J sin 4 _ 77cos Am )tga.标高差改正标高差改正又称由照准点高度引起

14、的改正。我们知道，不在同一子午面或不在同 一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭 球面某一高度，那么照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差 的改正称标高差改正以5/， 表示。A为测站点，假设测站点观测值已加垂线偏差改正，那么可认为垂线与法线一致。这时 测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是没有影响的。这是因为测站点 法线不变，那么通过某一照准点只能有一个法截面，为此我们设A在椭球面上。标高差改正的计算公式为:式中B2为照准点大地纬度，A1为测站点至照准点的大地方位角；H2为照准点高 出椭球面的高程，它由三局部组成：常

15、 + J + “H常为照准点标石中心的正常高，自为高程异常，a为照准点的觇标高。其中2=夕/，河2是照准点纬度B2相应的子午圈曲率半径。实用中为计算方便，设K=凡2 cos2 51N / Z乙那么（7-163）式变为:可=& sin 2AlKl在测量计算用表集（之一）中有表列数值，以照准点的高程H2 （单位米）和照准点 纬度B2为引数查取。由上可知，标高差改正主要与照准点的高程有关。经此项改正后，便 将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。.截面差改正3g在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，

16、应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧 方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用且 表示。截面差改正计算公式为n式中S为AB间大地线长度，2为测站点纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径。.三差改正的计算为了在内业计算时不影响外业观测精度，各等三角测量在归算时对取位的要求是 不同的。按作业中的有关规定：一等需算至0.001/；二等为0.01；三等和四等为0.1/。在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和 标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正，但当或H2000m时，那么应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。即对特殊情况应依 测区实际情况

17、具体分析，然后再确定是否加入三差改正。经过三差改正后，最后得到椭球 面上相应的各大地线的方向值。4= 10二、将天文方位角归化为大地方位角起始方位角将天文方位角归化为大地方位角的计算公式是:A =戊 一 ( - L) sin o + 乩式中A为测站点到照准点的大地方位角，a为测站点处相应方向的天文方位角；L为测站 点的大地经度；入为测站点的天文经度；”为测站点的天文纬度；久为垂线偏差改正数。当照准点目标高度不大时，天顶距Z接近于900时，3 可勿略不计，因此上式可写为:A = a (A L) sin cp该式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时

18、，该点叫拉普拉斯点。三、观测天顶距受垂线偏差影响的改正用三角高程方法测定相邻三角点的大地高差时，在三角点P1和P2上必须进行天=cosA + “sin A将地面观测的长度归算到椭球面根据测边使用仪器的不同，地面长度的归算可分为两种：一是基线尺量距的归算;二是电磁波测距的归算，现分别进行研究。一、基线尺量距的归算将基线尺测量求得的长度加入尺段倾斜改正后，可认为它是基线平均水准面上的 长度值，用SO表示。而我们所求的是椭球面上的大地线的长度S,因此产生了长度归算问 题。.垂线偏差对长度归算的影响由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面。为此在 长度归算中应首先消除这种影响。假

19、设垂线偏差沿基线是线性变化的，那么垂线偏差U对长 度归算的影响式是：“2夕021.高程对长度归算的影响二、电磁波测距的归算此式即为电磁波测距的归算公式。式中大地高H由两项组成：一是正常高，一是 高程异常。为保证S的计算精度不低于10-6级，当D10KM时，高差Ah=H2-H1的精度必 须达0.1m;当DX0KM时，必须达1m。大地高H本身的精度应达5m级，而平均曲率半径RA 达1公里即可。现对上式进一步简化如下1 A/z22 D1 A/z22 D“二（”+乩）式中2-显然，上式右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项。经过此项改正，测线已变成平距；第三项是由于平均测线高出参考椭 球面而

20、引起的投影改正，经过此项改正后，测线已变为弦线；第四项那么是由弦长改化为弧长 的改正项。（7-177）式也可用下式表达：S = 7d2-AA2（1 -坛）+&24用式中第一项显然是经高差改化后的平距。将以上两式同（7-177）式相比拟，我们便得两点间的弦长为,（1+誓）（1+誓）此式在某些运算中有时用至IJ。经过以上各项改正的计算，即将地面上用电磁波测距仪测得的两点间的斜距化算到 参考椭球面上。 7-8椭球面上三角形的解算前面几节的方法可以将地面上的方向、起始边长及起始方位角归化到椭球体面， 从而得到椭球面上由大地线组成的三角形。该网中少数的起始边是的，但其余各边长 度是未知的，因此需通过三角

21、形的解算求得。一、用勒让德尔定理解算球面三角形椭球面上的三角形是由大地线组成的，而大地线是一条空间曲线，该曲线上每一 点处的曲率半径各不相同，因此三角形解算就变得十分复杂了。经研究说明：半径为140KM 范围内的椭球面可当作球面上的一局部看待，球的半径可选择为三个曲面接触点的平均曲 率半径。假设在半径为140KM的圆内绘一内接等边三角形，那么每边的长度为240KMo这就是说, 当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对应 角之差小于0.001。国家一等三角形的平均边长在25KM左右，所以将其当作球面三角形来解算精度完全可以保证。大地测量学基础勒让德尔定理:

22、如果平面三角形和球面三角形对应边相等，那么平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。设球面三角形Al。的三边为 ahc角超为 8 ;另一平面三角形44cl ,其三边也为 ahc ,但它们的角度与球面三角形的对应角度有如下关系：a an n * _ &A = 4 -B =B0-cx = c0 -即如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平 面三角形，从而到达解算球面三角形的目的。二、球面角超计算球面角超的计算公式为：S为平面三角形的面积。球面角超定义：= A + B + C-18O0 be sin AP 92R2 be sin AP 92R2,ac sin B p 二L

23、 P 二2R2ab sin C,27?2P设：于二J2R2f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取。e = / hesin A = /-6zcsinB1 = f absin C化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用平面角，因此可直接用 球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究说明：当边长不大于90km时，这 种误差小于0.0005，可忽略。三、球面三角sin。_ sinb _ sine1、正弦公式 sin A sinB sinC2、余弦公式cos c = cos a cos Z? + sin a sin b cos C cos a - cos b cos c + sinb

24、 sin c cos A cos/? = cos c cos a + sin c sin a cos B cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cosC = - cos A cos B + sin A sin B cos c我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。二、地球椭球参数间的相互关系1-a1b2b2(l-e2)(l + er2) = l，2于是有e2e1

25、l + e2关系式归纳如下b = al-e2-e2 = e，l + e2,e1V = Wl + e2,e2 -2a-a1 x 2a 7-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系通常采用以下四种坐标系：大地坐标系、空间直角坐标系（大地测量中两种基本 坐标系）、子午平面直角坐标系及大地极坐标系。一、各种坐标系的建立1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的 法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示。假设点不在椭球面上，还要附加另一参数大地高H,它与正常高及正高的关系为：H = H正常+。（高程异常）H = H正+ N（大地水准面差跑假设

26、点在椭球面上，H=0o大地坐标系是大地测量的基本坐标系，其优点为：它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。它与同一点的天文坐标（天文经纬度）比拟, 可以确定该点的垂线偏差的大小。2、空间直角坐标系以椭球中心。为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ,在该坐标系中，P点的位 置用X、Y、Z表示。.3、子午面直角坐标系设P点的大地经度为L,在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系如图7-5

27、所示。设椭球面上P点的大地经度L,在此子午面上以椭圆中心0为原点 建立地心纬度坐标系。连接0P,那么NPOx二称为地心纬度，而OP=p称为P点向径，在此 坐标系中，点的位置用L、p表示。图7-5图7/幻灯片11如图7-6所示，设椭球面上P点的大地经度为L,在此子午面上以椭圆中心。为圆心，以椭 球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交于P1点，那么0P1与x轴夹角称为P点 的归化纬度，用u表示，在此归化纬度坐标系中P点位置用L, u表示。在这两种坐标中，如果点不在椭球面上，那么应先沿法线将该点投影到椭球面上, 此时的地心纬度、归化纬度那么是此投影点的纬度值，并且增加坐标的第三量大地高H。

28、子午面直角坐标系及地心纬度、归化纬度坐标系主要用于大地测量公式推导和某 些特殊的测量计算。.5、大地极坐标系M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地 极坐标系。P点位置用S、A表示。椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大 地主题解算。二、各种坐标系间的关系同B的关系。.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 这两个坐标系中，L相同，因此，只需推求过P点作法线Pn,与x轴之夹角为B,过P点作子午圈的切线TP,与x轴的夹 角为（900+B）。该夹角的正切

29、值为曲线在P点处之斜率，它等于曲线在该点的一阶导数。dydx=tg (90 + 6) = -ctgBP点在以O为中心的子午椭圆上，必须满足: TOC o 1-5 h z 2匚+”=1a2 b2对X求导，得： HYPERLINK l bookmark124 o Current Document dyb2 HYPERLINK l bookmark126 o Current Document dxa1同（771）式比拟可得:xo x=(1-e )yy)2 ctgB =- a因此：y = x(l-e2)tgB上式代入(7-12),且用 a1 cos2 B乘上式两边，得:x2 cos2 B + (l e

30、2) sin2 b = a2 cos2 B或x2(l -e2 sin2 B) = a1 COs2 B由此可得：acosB acosB71-e2 sin2 B 卬7-16上式代入(774)式得:6z(l -e )sinB a 9 bsinB y = i = = (1-e ) sin B =1-e2 sin2B 卬V7-17(716)(717)两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。2、空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系注意到图7-3与图7-4,空间直角坐标系中的P2P相当于子午平面直角坐标系中的 y,相当于x,且两者之经度相同，于是可得：X = xcosLK = xsinLZ =

31、y3、空间直角坐标系与大地坐标系的关系将(718)(720)两式代入(724)式可得:X = N cos B cos L Y = Ncos B sin L Z = N(l e2)sin3假设将(7-16)(7-17)两式代入上式，那么“ acosB rX =COSLW acosB . rY =sin LW_ bsinBZ =V设大地高为H, P点在椭球面上的投影为，那么矢设大地高为H, P点在椭球面上的投影为，那么矢假设p点不在椭球面上，如下图。量为p = Po + Hn因为：p。cos B cos N cos 5 sin L(l-e2)sin B且外法线单位矢量cos B cos L n =

32、 cos B sin Lsin 8因此有:(N + H)cosBcosL(N + )cosBsinn(1 /)+ sin3该式展开即可得到由B、L、H计算X、Y、Z的公式。P点的空间直角坐标计算相应的大地坐标，对大地经度L有：L=*云YxL = arcsin / . L = arccos、=Jx2 + y2或改+片大地纬度B的计算比拟复杂，通常采用迭代法进行计算，如下图:PP0P”PP”=Z=叱 +Y?=0KP = Ne2 sin B 0Q= Ne2 cos3由图可知n Z + Ne2smB ylX2+Y2ctgB =ctgB =Vx2+r2 -Ne1CQsBz tgB,= .1 Vx2 +

33、r2上式两端都有B,需进行迭代计算，迭代计算时，B的初值B1由式确定，用B的初值计算出N1和sinBl,按(7-32)式进行第二次迭代，直到最后两次B值之差小于允许误差为止。当B时，按下式计算大地高：H =NQ-a)sin BH = ylx-+Y2 _NcosB由于7-32式左右两端具有不同的三角函数，这对于迭代很不方便，为克服这一缺 陷，建议采用下面的迭代公式：Pti %+T =+ /,4 k +1；式中：ce2收+丫2 P +。2，2=l + e24、大地纬度B,归化纬度u,地心纬度中之间的关系B与u之间的关系4、大地纬度B,归化纬度u,地心纬度中之间的关系B与u之间的关系 J1 -j R sin u sin BWcosw = cosB W 2) u与之间的关系sin B = V sin ucos B = W cos utan =a/1-tan =a/1-e2 tan u7-36由微分三角形DKE可得:dS = -sin B_ -dxsinB3) B与之间的关系tan =(l-e2)tan B 7-3椭球面上的几种曲率