《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第三章（2022年-2023年）

1、2022年-2023年最新习题三1.将一硬币抛掷三次，以x表示在三次中出现正面的次数，以y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出x和丫的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:X0123101113C1 X - X 二一3 2 2 281 1 1C2 x-x = 3 / 83 2 2 20318001111-X - X -二一2 2 282,盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只 数，以丫表示取到红球的只数.求X和y的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X0123000C2 C2 3 32 C 4357C3 C 232 =C

2、435710C 。 C2 6-322- _C4357C2 。12322 _C4357C3 。232 C 43572R0黑,2红,2白)=1。2 C2/C4 =2 27 35C C2 。6322 _C 4357C2 C2392-C 435703.设二维随机变量（X, y）的联合分布函数为sin xsin y, o %2L,0 y 上 TOC o 1-5 h z R （x，y）=220,其他.求二维随机变量（X, y）在长方形域o 二y 2内的概率.I 4 63 【解】如图POX 上y 180 X 之 间独立PX 180 PX 1801234i12=/ 5X1=1 -PX1PX 180 PX 18

3、0 34 1 8 0 -PI X1 8 0+月X 1 870月上234门 80-160、14 180 4 =| 1 - O LI 20 1180=1 - 4 =(0.158) 4= 0.00063.17.设x, 丫是相互独立的随机变量，其分布律分别为Px=k=p 3 k=0, 1, 2,PY=t=q (r),40, 1, 2,.证明随机变量z=x+y的分布律为PZ=i=Z p (k)q (i - k) , i=0, 1, 2,.k = 0【证明】因X和y所有可能值都是非负整数，所以z = i = x+y=*=x = o y = z x = 1 r = z- 1= i y=于是PZ=F X=E

4、-i k 相国y独立 X PX=3凡 E G =S P( k) q-i Z)k = Q18.设x, y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n, p的二项分布,证明z=x+y服从参 数为2n, p的二项分布.【证明】方法一：X+V可能取值为0, 1, 2,2.PX + y = Z = X PX =i, Y=k-ii = Q102022年-2023年最新2022年-2023年最新=X P( X=力 R -k ii = ()y/几、(n 、二乙| I piq 止 i | p - kq i- 4n k if nV n 、=L |PkQ 求生max (X, Y)的分布律;=L |PkQ 求生max (

5、X, Y)的分布律; n-kJ八f(2npkq2 n-k)方法二：设/，均服从两点分布(参数为p),那么 TOC o 1-5 h z 1 2 n 12nX=/2 + +.+ , 丫=/1 + +,+12n12nX+Y=U + +.+ + + +.+ ，PY=3X=Q =PY=3X=Q =PY=3,X = 0P X = 012 n I 2n所以，X+Y服从参数为(2几初的二项分布.19.设随机变量(X, Y)的分布律为(1)求 PX=2 I Y=2, P Y=3 I X=O；X012345000.010.030.050.070.091().010.020.04().050.060.0820.01

6、0.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05P X= 0 ,上 3 I：0. 1 P X= Q ,Y= j 0 0 求U=min (X, Y)的分布律; 求卬=4丫的分布律.-、PX = 2, Y = 2【解】(I) PX =2Y =2 = -PY =2P X=2，g 2 0.0 51f P X= i L 2 。2 52i=03PV= i = Pmax(X, Y) = i=P X= 4 Y i + P X i + P X Y= iVi=0,l,2,32 PX = k+ 乙 PX=k, Y=ik= tk = i + 于是类似上述过程，有U=min(X

7、,Y)0123P0.280.300.250.170.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X, Y)在屏幕上服从均匀分布.(1)求 PY0 I YX；(2)设灰maxX, Y,求 PMQ.【解】因(X, Y)的联合概率密度为/(%, y) = 7iR20,/(%, y) = 7iR20,其他.-、P Y0, YXPY0YX = 1PY Xfl f(x,y )dJT J(x，u )dRrdrrd r。兀R2122022年-2023年最新2022年-2023年最新PM0 = Pmax(X, Y)0 = 1 Pmax(X, Y) 0=

8、1 - P X0, Y0 = 1 - H1 3y)do = 1 一1=-44x0“021 .设平面区域。由曲线小1/x及直线y=0, x=l,x=e2所围成，二维随机变量（X, Y）在区域。上服从均匀分布，求（X, Y）关于X的边缘概率密度在m2处的值为多少?题21图 TOC o 1-5 h z 【解】区域。的面积为S =广Ldx=inxe2=2.（X,P）的联合密度函数为 01 x11 1一,1 xe2,0y ,/（x, y） =2x0, 其他.(X, Y)关于X的边缘密度函数为1 x e 2, 其他.1 x e 2, 其他.f 1 Zx 11I J -dy =,0）的泊松分布，每位乘客在中

9、途下车的概率 为p（0vpv1）,且中途下车与否相互独立，以丫表示在中途下车的人数，求：（1）在发 车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X, V）的概 率分布.【解】(1) PY= m X= n =C mp (1 -p) , 0 m n , n= 0,1, 2, n(2) PX = n,Y = m = PX = n PY = m X = n142022年-2023年最新e -入=C mp (1- p X m n ,n= 0,1,2,n!2、I，而V的概率密度为五y), 0,124.设随机变量X和V独立，其中X的概率分布为X,1 卜0.3求随机变量 gx+y的概率密

10、度g(u).【解】设F(y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知 gay的分布函数为G(u) = P X + Y u=03P X + Y uX = 1+OJ P X + Y uX = 2= 0.P Y u- 1|X= H 0F7Y $ u- X|= 由于X和V独立，可见G (u ) = 0.3 P Y u - 1 + 0.7 P V u - 2=0 . F &一 H 0F7Y由此，得U的概率密度为g ()= G ()= 0.3 尸- 1) + 0.7 Fu- 2)=0.y U- H25. 25.设随机变量X与V相互独立，且均服从区间0,引上的均匀分布，求PmaxX,V) 1.解：因为随即变量服

11、从(),3上的均匀分布，于是有10 x3, /(x) = 30, x 3;10 x3, /(x) = 30, x 3;1, 3,/(y) = 30, y 3.因为x, y相互独立，所以f i0 x3,0y3,/() = 90, x 0, y 3, y 3.推得P m a x“ K =1.926.设二维随机变量(X, y)的概率分布为其中qb,c为常数，且X的数学期望 母&二-O.2,p在0|恁0=0.5,记 益X+上求:152022年-2023年最新(1)。，c的值；Z的概率分布；PX=Z.解 (1)由概率分布的性质知， +b+c+0.6=1 B|J a+b+c = 0.4.由 (X)=-0.

12、2，可得。+ c = - 0.1 .再由P Y ol X0 PX 0 ,/ O= a+ b+ 0.1 0 5zzPX 0, y 0, f (x, y)=0,其他.求(1)常数A;(2)随机变量(X, Y)的分布函数；(3) P0X1, 07 0, x 0,=I0, 其他尸(内”卜卜f w(也-oo -co卜 12e-(&+= 0010，(3) P0X1,0y2J= p0 x 1, o r 2o12e -(3x+4y)dxdy = (1 - e-3)(1 - e-8) 0.9499.0 05,设随机变量（X, r）的概率密度为攵(6-x-y), 0 x2,2y4,/(x, y)甘/ o,其他.(

13、1)确定常数k；(2)求 PX 1, y3；(3)求 PXv1.5；(4)求 PX+r4.【解】(1)由性质有+00”.f(x，y)dxdy = 1 2j4k(6 x_y)dydx=8 k= 1,2022年-2023年最新-00-00故R一82) P X 1, y3=2) P X 1, y3=/(%, y )d ydx TOC o 1-5 h z -CO -003二J J 31k(6-x-y)dydx=-0 2 88P X 1.5 = Jy)dxdy 如置a JJ /(x,y)dxdy.,D* 127=f1(6 - x - y )dy =02 832P(X+y 4= J/(x,y)dxdyD1

14、24 一二(6 -x-y )dy = _x + r 0,求（1）求（1）解（1）因X在（0, 0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为10, 其他0,其他2022年-2023年最新4（y）= 5e - 5)，,0,y o, 其他.所以X 5e -5yX 5e -5y0.2 Io,25e -5丫,10，0 x 0.2 且 y0,其他.P(Y X) =H /(X, y)dxdy如图 J1 25e -ydxdyy 0, y 0,.设二维随机变量(x, r)的联合分布函数为F (x, y)= 0, y 0,10，10，其他.设二维随机变量（X, y）的概率密度为/（%，y）=I 0，/（%，y）=I

15、 0，f 4.8 y (2 -x), 0 x 1, 0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】/ (x)=b/(x,y)dy x -x4-0.x )d(2.Q (4x) , 1 ,= o= v0,10，其他/Jy)= J f(x ,y)dx -coJ 14 . 8y (-2x a) d f 2 .知(一3 y 4+y10，)y 1，2022年-2023年最新9,设二维随机变量(X,求边缘概率密度.【解】/ (工)=卜/(:X.00卜e=X0,/(),)用/( 丫-oo3-=00,10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为、1 e-y, 0 xy, y)=6ye-3 % 0,= 0,=0,其他.y

16、iy=x2w0X题10图y)的概率密度为题8图题9图/ (x, y):(1)试确定常数c；(2) 求边缘概率密度.【解】(1)例 x,y)d xdy如图.-CC-00Ljd.J-11得。=巴4 / (x)/()dyXIcx2y, X2); 1, =0,其他.f(x, y )d xdy)4CX 2 ydy =c = 1.?21-O02022年-2023年最新51x2(1 一14), 80,-1 x1,其他.J/lx2)，dy 1 TOC o 1-5 h z =丫2 4= /(x,y)dx y-oo(“21f75J 一x2y6x | _ y 2, 0 y 1,= 4=2o,o,其他.11 .设随机

17、变量(X, Y)的概率密度为fl, y x, 0 x 1, / (x, y)=0,其他.求条件概率密度与x (y I X)，/X| y (x I y).题11图【解】f (x) J以 f(x, y)dyX-O0-1 =2r , G x 1、0：其他.- 1 y 0,0 y 1, 其他.Ji 1dx= 1 +y,-yf (y) = J* /(x, y)dx= |idx = 1-y,丫y| yo,所以1/(x,y ) , ly 1 1 ,f (y |x ” = 2 %r|xf (%)JxX) 0,其他.2022年-2023年最新-，y x i, i-y.f( x、y )1f (%ly)=，- yx0,其他. 设含有。的二次方程为q2+2Xq+Y=0,试求。有实根的概率.1,0 cx 1 , fr(y)=r2o, 其他.故一（，y）x,y独立 4（x）4（,）=1e-y/20 x 0,20, 其他.题14图（2）方程2+2X+丫=0有实根的条件是 = (2X)2 4丫 20故从而方程有实根的概率为:%2y,PX2 Y= Hxdyx 2之y=J dxj g -y/2(jyo o 2=1 一 &兀 - =0.1445.15.设x和y分别表示两个不同电子器件的寿命 从同一分布，其概率密度为（以小时计），并设x和y相互独立，且服1000%20,2022