14、1、3_反证法

1、14、1、3反证法2路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?小故事:3这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？所以，李子是苦的4一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？假设昨天晚

2、上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。5解析：由C=90可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 c2 . 如图，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果C=90，a、b、c三边有何关系？为什么？ACBabc一、复习引入6探究：假设a2 +b2 c2，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且C=90，这与已知条件C90矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 c2成立。ACB 若将上面的条件改为“在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,C90”，请问结论a2 +b2 c2成立

3、吗？请说明理由。abc 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。问题：发现知识：二、探究7三、应用新知在ABC中，ABAC,求证：B CABC证明：假设，则（）这与矛盾假设不成立B CABAC等角对等边已知ABACB C小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确例尝试解决问题感受反证法:8证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A。 因为两点确定一条直线，即经过点A和A的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所

4、以两条直线相交只有一个交点。小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾例2求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图两条相交直线a、b。求证：a与b只有一个交点。abAA，9A证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 a/b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾 已知：如图有a、b、c三条直线，且a/c,b/c. 求证：a/babc例310 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。

5、已知：ABC求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60.证明：假设，则。，即。这与矛盾假设不成立ABC中没有一个内角小于或等于60A60,B60,C60A+B+C180三角形的内角和为180度ABC中至少有一个内角小于或等于60.点拨：至少的反面是没有！例4A+B+C60+60+60=18011例5:求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1l2, l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:假设_,那么_.因为已知_,这与“_ _”矛盾.所以假设不成立,即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与l2 不相

6、交.l3l2l1l2 经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,12例6、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.已知：在ABC中，AB=AC.求证：B、C为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；13（1)由A=B=90则A+B+C=A+90+90180，这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90这个假设不成立.(2)由90B180， 90C180，则 A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不

7、成立故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.14假设结论的反面正确推理论证得出结论回顾与归纳反证法反设归谬结论 得出矛盾（已知、公理、定理等） 假设不成立，原命题成立.15反证法的一般步骤:假设命题结论不成立假设不成立假设命题结论反面成立与已知条件矛盾假设推理得出的结论与定理，定义，公理矛盾所证命题成立什么时候运用反证法呢？动动脑16证明真命题 的方法 直接证法 间接证法 反证法17万事开头难，让我们走好第一步！写出下列各结论

8、的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正数；（4）aba0b是0或负数a不垂直于bab18 1.已知：如图ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 （平行四边形对边平行）做一做学习是件很愉快的事证明：假设CD、BE互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形BDCE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误， CD、BE不能互相平分19四、巩固新知1、试说出下列命题的反面：（1）a是实数。（2)a大于2。（3）a小于2。 （4）至少有2个（5）最多有一个 （6）两条直线平行。2、用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是。3、用反证法证明“如果一个三角形没

9、有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步。a不是实数a小于或等于a大于或等于没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形20已知：在梯形ABCD中，AB/CD，CD求证：梯形ABCD不是等腰梯形.证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 C=D（等腰梯形同一底上的两内角相等） 这与已知条件CD矛盾,假设不成立。梯形ABCD不是等腰梯形.4、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形。ABCD21五、拓展应用1、已知：如图，在ABC中，AB=AC，APBAPC。求证：PBPCABCP证明：假设PB=PC。 在ABP与ACP中 AB=AC(已知

10、） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ABPACP（S.S.S) APB=APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件APBAPC矛盾，假设不成立. PBPC22六、全课总结1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理,得出矛盾肯定待定命题的结论2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。23注意:用反证法证题时,应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断