第二章数理统计的基本概念

1、第二章数理统计初步假设检验参数估计基本概念目的容十分丰富，本章主要参数估计和假设检验。步掌握用数理统计处和方法，提高运用解决实际问题能力。学 习数理统计的内介绍它的基本概念、通过本章的学习应初理随机现象的基本 数理统计方法分析和frist6基本要求1理解总体、简单随机样本和统计量的概念。2了解频率分布表、直方图的作法。3理解样本均值、样本方差的概念，掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法。4了解产生 2 变量、t 变量、F 变量的典型模式；理解 2 分布、t 分布和 F 分布的分位数，会查相应的数值表。5了解正态总体的某些常用抽样分布，如正态总体样本产生的标准正态分布、 2 分布、t 分布、

2、F分布等。6理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。掌握矩估计法（一阶、二阶矩）与极大似然估计法。7了解无偏性、有效性和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性、有效性。8理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。9理解假设检验的基本，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能发生的两类错误。10了解单个和两个正态总体的均值和方差的假设检验。11了解总体分布假设的 2 检验应用该方法进行分布拟合优度检验。重点1样本、统计量和估计量等概念的理解。2矩估计法和极大似然估计法。3估计量的评选标准（无偏性、有效性）。4正态总体的均值和方

3、差的置信区间。5假设检验的基本方法、步骤及两类错误。难点1统计量和估计量等概念的理解。2极大似然估计法的基本的理解。3统计量的分布及不同情况下临界值的确定。2.1数理统计的基本概念一总体、样品、样本二的联合分布三统计量及其数字特征四几种常用统计量的分布一 总体、样品、样本总体：要对象的全体；样品：从总体中随机抽取的一个；样本：由若干个样品，样本中包含样品的个数称为样本长度。（1）总体是一个rv，记为 X ，其分布函数F(x) 称为总体分布函数；（2）样品也是一个r v，它与总体同分布；（3）样本是由若干独立同分布的r v 所构成，样品的个数称为样本长度。二联合分布Ald Distributio

4、n设 X 为一个总体，n，为来自总体个长度为n 的样本，它的观察值n，的独立性知，若 X 的分布函数为F (x)n，的联合分布函数为n=F (Fix )（2-1）i 1若 X 的分布密度为f (x )，联合分布密度为nf= f ( xi )i 1（2-2）若 X 是离散型随量，其概率分布为(kX ),1 k, 2pPx,k则Xn 的联合概率分布为Pipip212n1, 2,- 例 2设总体X (B 1, ，p 即) 1 1 x1X p)（ x 1，0 ），xP xp(X 的一个样本，求样联合概率分布。解由互独立，且它们的概率分布分别为1 xi jxi jj故样1 0 ;，j1P Xxip(p)

5、 （1x,2），,3ijj联合概率分布为3PXjx2ii2jj 1 p1)i3 pp(i213 1 p3)3(1 ，0。)xi j统计量及样本数字三、特征Sistic总体 X 的一个样本定义2-1为连续函数，如果不包含任何未知参数，则称其为一个统计量。N( ,2，)其中 已知， 2 未知，例如X nn，为总体 X 的一个样本，则( Xi )2 是，i 1n一个统计量，但 Xi/ 不是一个统计量。i 1常用的统计量样本均值、样本方差和样本矩。n，是来自总体 X 长度定义 2-2设，为n 的一个样本，则称n 1Sample meann XX（2-3）ii 11Sample variancenS 2

6、X)2(X（2-4）in 1 i1Origoments1nnkmkk ，1X (2，)（2-5）iCentral momentsi 11nn (Xmk k X()k ，12，)（2-6）ii 1样本样本方差、分别为样本均值、k 阶原点矩和样本 k 阶中心矩。称总体 X 的k 阶矩为总体k为了问题方便阶矩。例如EX 称为总体均值， DX 称为总体方差。定理 2-1 设EX = , DX =来2。X , ES2 2n自 X 则的一个样本,EX ,D证明：由于 Xi 与总体 X 同分DXi = 2 ，i 1，2n ,，所以EX (1 nX )1 n EXEin i1n i1DX (1 nX ) 1n

7、 DXDi2n i1ni1布，因而EXi i 2in ，1n X) 1 ( X2ii11n2 )X= En 1 i1= 1n2 ) X(X2Enin 1i 11n2)2(EXn (2X( D= X ( )D) E)Xiin 1i 1n 1( 2 2)22n ()n 1ni 1mk p EX k k：可证明还k p E( Xk) km顺 序 统 计 量 Order Sistic 取自总体 X 的一个样本，将样本xn 按大小递增的顺序排序：观 Observed value 取 值xn时， 定 义取 值(，) 则 称(为出的一组顺序统计量，称 X()为第k 个顺序统计量，特别地分别称k) minXi

8、 X() maxXi X(1n1in1in为最小顺序统计量和最大顺序统计量。布函数取自总体 X 的一个样本，将样本观测值xn按大 小 递 增的顺序排成，并作函数0,xx1() kx) n ,F n(1) 1xxx)体为总 X 经的( n )则称Fn(验分布函数。设总体 X 的分布定理*函数为F (（格列汶科）x)当，则n 时有x)，经验分函布为F n(数|n x ( ) F(x)limPsupFx |01n四、几种常用统计量的分布 Sampling distrbution 统计量是样本的函数，它是一个随量， 统计量的分布称为抽样分布。以下介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。1 2 分布2

9、t 分布3F 分布1 2 分布来自正态总体X( N0， 的1)则称统计量一个样本，从自由度为n 的 2 分布，记为 22(n。)此处，度是指上式右端包含独立变量的个数。 2( n )分布的概率密度为ny11n/2y 0其它ye，22f (y )2(n /2)（2-7）0，y )的图形如图 2-1 所示， (x )为 函数。f(yyn 1n 5n 10oxox图 2-1图2-2(0 1) ，称满足条件对于给定的正数P2d)y fy (Critical value的点 为 2( n )分布的上分位点，如图 2-2 所示。量 2 的 1-有时也称为随分位数（或临界值）。不同的 、n 对应的值已制成表

10、格（见附表 4）。 2 分布随量有如下性质：221设2，)2(n(n且) 相互独立，则有1122222n(n)12122设 )2 2nE )2(2n) ( n(，D(，( 则)n2n223设Q 1与Q2 相互独立(n ，Q)(n ，n)n则12212(n2。)n212Xn 是来自总体例 2-2 设N(,2X 长)度为n 的一个样本，且1n( XEX ，DX = 2记 ，S 2 X )2in 1 i 1 12( n)S证明 2 2( n 1。)2证明：由于1nn 1 ( X X ) 2S 2ii 1n1(X ) (X2)in 1i111nnn 1 X ) (X( X X )2 S 22()iin

11、 1i 1i1n1() Xn22( Xin 1i1于是X X ( n 1)S2n)22i()N( /n2i1,标) 准化得 X i ,2又X而(N 0,，1)iX n 相互独立，故 相互独立，n从而由 2分布定义知 ) 2ni 1( X ( n )2i又 X N (0,1) ，所以 /n( X )2 2 (1) /n由 分布的性质 3 得2(n 1)S2(n 1)222利用线性代数中正交变换的方法还可以证明： X 与 S 2 相互独立。2 t 分布:( n则) 称并且相互独立, r.v 2X设 X ( N0，1,Y )t Y/n度为n 的t 分布，记为t (tn )。服从t (n)分布的概率密

12、度函数为( n 1)n12(1 x)2f ( x) (x )（2-8）2n ( n)n2其中( ) 为 函数。图 2-3 中画出了n 0、1 、1 时 f ( x) 的图形。yyn 10n 5n 1o图 2-4xox图 2-3对于给定的正数( 0 1，)称满足条件Pt f ( x)dx 的点为t (n )分布的上分位点（如图 2-4 所示）。有时量t的1 分位数（或临界值）。不同的也称 为随、n 对应的 值已制成表格（见附表 3）。N(,2例 2-3设Xn 是来自总体X )长度为n 的一个样本，且 EX ， DX 2 ，记，证明 X 1nn 1 ( X X )2S 2t ( n 1。)iS/n

13、i1X ( n 1)S2 ( n 2证明：由于 (N 0, ，1)1，)2/n又 X 与S 2 相互独立，故由t 分布的定义知X X ( n 1)S2nt (1)(2nn 1)S/n3F 分布设U 2 (m) ，V 2 (n) ，并且U、V 相互独立，U量 F V m 服从度为(m，n) 的 F 分布，则称随n记作 F F (m，n) ，其分布密度为 ( m n )mnmmmm122(1 y) nf ( y) ()ny22，y 0mn()()220，y 0度，密度函其中， m 称为第一度， n 称为第二数图形（见图 2-5）。性质： 若 FF (m，n) ，则1/ F F (n，m)内容小结基

14、本概念:样本、样品、总体、统计量；常用统计量：样本均值、样本方差、样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩；三种常用分布： 2 分布、t 分布、 F 分布；重要结论 1：设EX , DX X , ES22X D, 2;来自X 的一个样本,则En kmk p EXk重要结论 2:) m E(XpkkkExitN(, 2n是来自总体X)重要结论 3：设的样本， X、S2 分别为样本均值和样本方差，则有（1） X N (， 2 / n)；(n 1)S 2 (n 1) ；2（2） 2（3） X、S 2 相互独立；X （4） S /n t(n 1)Exit问题与思考1.采用抽样的方法推断总体，对样本有什么要求？2.统计量？统计量特征？3.样本、统计量的二重性？Exit课 堂练习X 3，X 4 是来自总体 N (0，22 ) 的1 设简单随机样本，X a( X 1 2 X 2 ) 2 b(3 X 3 4 X 4 ) 21/20，b 1/100 时，统计量 X 服从 2 分则当a 2布，其度为。分析：依题意，要使统计量 X 服从 2 分布，则必需使a1/2 ( X1 2 X 2 ) 及b1/2 (3X 3 4 X 4