全国高考数学复习立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直习题理

1、第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法利用向量解决平行问题利用向量解决垂直问题题号1,32,41.(2014湖北卷)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ;(2)是否存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0)

2、,C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0).(1)证明:当=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(-2,2-,1).可得于是可取若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1.故存在=1,使面EFPQ与

3、面PQMN所成的二面角为直二面角.2.(2016济南市高三上学期期末)如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中ABCD,ABBC,CD=BC=AB=1,点M在线段EC上.(1)证明:平面BDM平面ADEF;(2)若EM=2MC,求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.(1)证明:如图,因为DC=BC=1,DCBC,所以BD=,因为AD=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,所以ADBD,因为平面ADEF平面ABCD,EDAD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以ED平面ABCD,则BDED.因为ADDE=D,所以BD平面ADEF,又BD平面BD

4、M,所以平面BDM平面ADEF.(2)解:在平面DAB内过点D作DNAB,因为ABCD,所以DNCD,又因为ED平面ABCD,所以DNED.以D为坐标原点,DN所在的直线为x轴,DC所在直线为y轴,DE所在直线为z轴,建立直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0,),N(1,0,0),M(0,).设平面BMD的法向量为n1=(x,y,z),所以所以令x=1,得n1=(1,-1,).因为平面ABF的法向量n2=(1,0,0),所以cos=.所以平面BDM与平面ABF所成锐二面角是.3.(2016枣庄市高三3月模拟)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱AA1平面ABC

5、D,底面ABCD为菱形,ABC=120,AB=AA1=2,ACBD=O,E,F分别是线段A1D,BC1的中点.延长D1A1到点G,使得D1A1=A1G.(1)证明:GB平面DEF;(2)求直线GD与平面DEF所成角的正弦值.证明:如图,以O为坐标原点,分别以系Oxyz.,的方向为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标(1)在菱形ABCD中,AB=AD=BC=2,ABC=120,所以BD=2,AC=2,O为AC和BD的中点.又AA1平面ABCD,AA1=2.可得B(1,0,0),D(-1,0,0),A1(0,-,2),C1(0,2),D1(-1,0,2).由E,F分别是线段A1D,BC1的中点,得

6、E(-,-,1),F(,1).由=,求得G(1,-2,2).于是=(-,-1),=(1,0),=(0,2,-2).设平面DEF的一个法向量n=(x,y,z).由得令y=-1,得x=,z=-.所以n=(,-1,-).所以n=0+2(-1)+(-2)(-)=0,所以n.又GB平面DEF,所以GB平面DEF.(2)由(1)得面DEF的法向量n=(,-1,-).而=(-2,2,-2),设直线GD与平面DEF所成的角为,则sin=|cos|=.4.导学号18702400如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1),F(,1,1),G(0,1),=(-,0),=(-,0,1),而=(-1,1),