电磁场理论基础电子教案：第五章 静态场的边值问题

1、第五章 静态场的边值问题边值问题研究方法解析法数值法分离变量法镜像法复变函数法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法5.1 唯一性定理和解的叠加原理 一. 唯一性定理 在给定的区域内，泊松方程（或拉普拉斯方程）满足所给定的全部边界条件的解是唯一的。 2、边界条件的形式给定全部边界上的函数值给出全部边界上函数的法向导数值给定部分边界上的函数值，而其余边界上给出函数的法向导数值“狄利赫利”边界条件“聂曼”边界条件混合边界条件1、表述3、唯一性定理的证明证明：考虑泊松方程，用反证法 在区域内存在两个不同的函数 和 都满足相同的泊松方程 ，并且在区域边界S上满足同样的边界条件。 令则有利用取则对上

2、式两边在区域内作体积分，然后运用散度定理，得将 代入上式得 对于第一类边界条件对于第二类边界条件对于第三类边界条件不论对哪类边界条件，面积分 都等于零 因此有 由于 恒为正值，故上式成立的条件是解之可得讨论：对于第一类边界条件，因为所以C = 0第二类和第三类边界条件的情况 对于求解场函数来说，解是唯一的。4、应当明确只有在区域的所有边界上给出唯一的边界条件时，边值问题的解才是唯一确定的。 唯一性定理 给出了求解电磁场问题的理论依据不论采用什么方法，只要得到的解能够在区域内满足方程而在边界上满足边界条件，这个解就是该边值问题的唯一正确解。 二. 解的叠加原理解的可叠加性是方程线性的必然结果。

3、1、表述对拉普拉斯方程，若 、 、 都是满足方程 的解 则其中ai为任意常数。 也是方程 的解 并且 、 、 都是满足方程 的解 则其中ai为任意常数。 也是方程 的解 对泊松方程，若 是满足方程 的一个任意解 2、证明讨论泊松方程的情况对叠加得到的结果两边作 运算，得 因此 是方程 的解 令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明3、应用求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解的几个边界条件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。例：分解为三个边界问题分解后每个边值问题都只有一个非齐次边界值，求解变得容易。 原问题的解应该是三个问题解的叠加5.2 拉普拉斯方程的分离变量法一. 直角

4、坐标系中的分离变量法 直角坐标系中拉普拉斯方程的表达式为 令 ，并代入上式并两边同除以 得 1、方法介绍变量的分离则上式分解成三个独立的全微分方程，即 称为分离常数，分离常数之间满足约束关系 全微分方程解的选取（以 为例）对 和 也都有与上述相同形式的解。在 、 、 三组可取解中各取其一并相乘，即可得到一个解的表达式。 解的选取并不是任意的，因为存在约束条件如果取 ， ，则必须取 a. 对于有两个零值边界的方向，其对应的函数取三角函数；b. 对于单零值边界方向，对应的函数一般取双曲函数形式；c. 而有无限远边界的方向，一般取指数函数形式。d. 若位函数与某一坐标变量无关，则该变量对应的函数取成

5、常数， 并取作1。根据边界条件来选择函数： 拉普拉斯方程的通解本征值：满足齐次边界条件的分离常数可以取一系列特殊值 本征值对应的函数称为本征函数或本征解。 所有本征解的线性叠加构成满足拉普拉斯方程的通解在许多问题中，单一本征函数不能满足所给的边界条件，而级数形式的通解则可以满足单个解函数所无法满足的边界条件。 2、例题例5.1 边界条件如图，求电位分布 o y 0=U b a 0UU=图51 长方形截面的导体长槽 0=U 0=U x 解：内部电位与z无关，是二维问题 根据边界条件写出通解x方向电位有两个零值边界， 应取三角函数形式；y方向电位为单零值边界， 应取双曲函数形式。 令分离常数 则电

6、位通解为求待定系数将边界条件(a)代入得 若对任意y成立，则 再利用边界条件(b)得 通解变为若对任意y成立，则再利用边界条件(c)得 若对任意x成立，则 其中 ，若用整数n代替i，则上式表示为 把边界条件(d)代入上式，得 将U0 在（0，a）区间内展开为 的傅立叶级数于是其中对比两边各项系数可得因此，在槽内的电位分布是 0UU= 0=U 0=U 0=U 例5.2 有两块一端弯成直角的导体板相对放置，中间留有一小缝，如图所示。设导体板在x轴和z轴方向的长度远远大于两导体板间的距离b，上导体的电位为U0，下导体接地。求两板间的电位分布。 解：电位分布与z无关，这是一个二维拉普拉斯问题 边界条件

7、边界条件的分解 0UUbya= ybUUxa00= ybUUUxb000-= ybUUxb00-= 0=xbU ( A ) ( B ) 图54 图53的场分解 y y x x 00=yaU 0=bybU 00=ybU 对于(A)问题，情况与平行板电容器相同，两极间为匀强电场对于(B)问题沿y轴方向存在两个零电位边界，取 沿x轴正方向边界无界且电位趋于零，取 因此(B)问题的电位通解应为 将边界条件(c)代入，得利用傅立叶展开并比较系数，可求得(B)问题的解利用叠加原理所以原问题的电位表达式为 原问题的解应该是A 问题和B 问题解的线性叠加二. 圆柱坐标系中的分离变量法1、方法介绍变量的分离圆柱

8、坐标中拉普拉斯方程为令 ，代入上式，并在两边同乘以得得上式第二项只与 有关，可以先分离出来，令其等于常数 将上式代回到式(A)，各项同除以 r2，得 (A)令上式左边最后一项等于常数 ，则上式分离成为两个方程解的选取 时 ， 对于对于 时 ， 时 ， 时 ， 时 ， 对于 ，是一个n阶贝塞尔方程 时 时 时 时 称为n阶第一类贝塞尔函数 称为n阶第二类贝塞尔函数，也叫聂曼函数 第一类和第二类变形贝塞尔函数 其中本征解的叠加构成通解例5.3 电场强度为 的均匀静电场中放入一半径为a的电介质长圆棒，棒的轴线与电场相垂直，棒的电容率为 ，外部电容率为 ，求任意点的电位。 解：在柱坐标系中求解 根据边

9、界条件，写出通解与z无关，取 ，则故对于 ，根据问题的形式，可知所以取 n2 0，并且 n为正整数只取 项对于 ，因为所以 取于是通解可以表示为求分区通解r a 时，总电位包括外电场和介质棒两部分的贡献 外电场电位介质棒电位规定了考虑到当 时，介质棒产生的电位是有限值，故利用静电场的边界条件求系数将U1和U2的通解表达式代入上面两个边界条件，得 比较上面两式两边 的系数，得 n = 1时以上两式联立求解，得 n 1时联立解上面两式求解，得求出圆柱内外电位求出圆柱内外电场强度三. 球坐标系中的分离变量法 球面坐标系中拉普拉斯方程的表达式为 令 代入上式，并两边同乘以变量的分离得引入 - m2分离

10、引入 n(n+1)分离r分离解的选取 时 对于 时 对于 解只有一种形式 时 时 时 对于分别称为第一类和第二类连带勒让德函数 分别称为第一类和第二类勒让德函数 本征解的叠加构成通解例5.6 在均匀电场中放入一半径为a的接地导体球。求任意点的电位和电场强度 解：取球心位于坐标原点， 电场方向为极轴方向，建立球坐标系根据边界条件，求出通解与 无关，取m = 0，所求场域包括 ，故只含有第一类勒让德多项式 r 0Ev x a 0e P z y o q 电位通解可以写成 根据边界条件确定电位因为导体球接地，所以球内在球外，电位包括均匀电场和导体球两部分的贡献均匀电场的电位因为感应电荷的电位因为 时，

11、 故总电位利用导体球的边界条件 ，得 不含 rn 项由勒让德多项式的正交公式可得根据电位求电场因此球外电位是可见，感应电荷对场的贡献相当于一个沿z轴放置的电偶极子，这是由于球面感应电荷的分布恰好是上正下负之故。 5.3 镜像法镜像法理论依据：唯一性定理。镜像法基本思路：分界面上的感应源 区域外的镜像源无限区域的同种媒质问题 分区媒质问题镜像电荷位置选择原则：1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。 一. 平面镜像 例5.8 真空中一点电荷q位于一无限大接地导体平面的上方，与平面的距离为h。求z 0区域的电位分布。 1、导体介质（电场）用镜像电荷 代

12、替导体平面上的感应电荷将 区域换成真空 解：给出等效问题z 0区域所满足的边界条件保持不变，即所以，原问题就化作求解电荷 在无界真空区域中的问题。区别仅在于我们只取z 0区域的解。求解等效问题空间任意点的电位由q和 共同产生 根据 ，可知R时，U = 0根据 ，可得 于是原问题的解感应电荷密度为 总感应电荷为 导体表面上的感应电荷总感应电荷恰好等于镜像电荷电量。这一结果是合理的，因为点电荷q所发出的电力线将全部终止于无限大的接地导体平面上。点电荷对相交接地平面导体边界的镜像a. 两半无限大接地导体平面垂直相交。 要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。b.对于非垂直相交的

13、两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为 2n - 1个。2、介质介质（电场） q h R ),(zyxP 2e o (c) 2e y x q q h R R ),(zyxP 1e 1e y x o (b) -h 例题5.9 在1区距离界面h处有个点电荷q 求空间的电位分布q h 1e 2e y x o 解：给出等效问题x 0区域，可化作是 在充满 介质的无界空间中的场问题(b)x 0区域，可化作是 在充满 介质的无界空间中的场问题(c)求解等效问题 两个区域的电位表达式为 电位的边界条件是 将电位表达式代入得联立求解，得 化简得 将这两个镜像电荷的表达式代入分区域的电位表达式中

14、即可得到整个空间的电位。给出原问题的解3、介质介质（磁场）例5.10 求与分界面平行的无限长线电流I，在空间各点的磁场。 解：原问题的等效1区2区求解等效问题设分界面法线方向 ，切线方向 则界面两侧的磁场为利用边界条件将磁场表达式代入，可解得给出原问题的解如果区域1是 的非磁性材料，区域2是 的理想磁导体 则在x = 0的分界面上表明：理想磁导体的外侧磁场只有法线分量。这与理想电导体表面只有法线电场分量的情况类似。 二. 球面镜像 对于分界面是球面，并且源为点源的静态场问题，可用球面镜像。例5.11 在半径为a的接地导体球外M点有一个点电荷q，球心O与M点的距离为d，如图所示。求导体球外的电位

15、分布和球面上的感应电荷。 qqOqrRRddABM解：设置镜像电荷镜像电荷 应在OM连线的球内部分上，设 的位置点与O点的距离为 空间任意点的电位边界条件 对于球面上的任意点都成立考察 两点，则有由上面两式解得 求原问题的解 将 代入电位表达式即得求感应电荷面密度 利用电位可求出导体球面上的感应电荷密度与总感应电荷 a. 总感应电荷恰等于镜像电荷 b. 感应电荷的绝对值小于施感电荷q 表明q发出的电力线一部分终止于导体球面而另一部分则终止于无穷远处。 讨论：a. 导体球不接地且表面上不带过剩电荷 b. 导体球不接地，并且给出它的电位为U0 c. 导体内挖一个球形空腔，空腔内 点有一点电荷 距球

16、心 此时需要在球心处增加一个镜像电荷 ，并且 ，新电荷系统由 共同组成。 此时需要在球心处增加一个镜像电荷 ，并且 ，新电荷系统由 共同组成。 此时它的镜像应该放在腔外的M点上，也就是本例问题的反演，镜像电荷 和 。 腔内的场分布由 共同确定。例5.12 假设一个无限大接地导体平面上有一半径为a的半球形导体凸块，在凸块附近有一个点电荷q。求此电荷的镜像。 解：建立坐标系设电荷q和导体平面法线所在的平面为xz平面。o z a z q- d q q(x,0,z) -q(x,0,-z) x a. 电荷q对导体平面xy面的镜像电荷- q， 坐标为 ( x, 0, -z) b. 电荷 q 对球面的镜像为

17、 求镜像电荷导体外任意点的场由 四个点电荷共同确定。 c. 镜像电荷 对xy平面的镜像为 ， 处在 与O的连线上。三. 圆柱面镜像 例5.13 在半径为a的无限长接地导体园柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，线电荷与圆柱轴线的距离为d，如图所示。求：柱外任意点的电位和柱面上的感应电荷。 解：设置镜像电荷根据场的对称性，可设镜像电荷是一条与圆柱轴平行的线电荷，线密度为 ，与轴线的距离为 。 求解等效问题空间任意点的电位为 r P o a lr R R lr j x d o d M y b b B 其中 代入边界条件 ，得 上式应对任意都成立，即圆柱面上的电位处处为零。因此应有 由此可以得到上

18、式成立的充分条件是两个方括号部分都等于零 所以可得到不合理正确解给出原问题的解利用求得的镜像电荷参数可以得到柱外任意点电位 柱面上的感应电荷面密度和单位长度上的感应电荷分别为 等量异号平行线电荷的等电位面 lr lr b b y x 图516 平行线电荷的等电位线 假定两线电荷相距为2b，电量分别为 ，则空间任意点电位为分别表示场点与 的距离，可见当 取不同值时，就得到不同电位的等位圆。 若取两线电荷连线为x轴，连线的中垂线为y轴建立直角坐标系，则整理可得 这是一个以常数k为参量的圆族方程，它表示两条平行异号线电荷在二维平面内的等电位线族。 等位圆的圆心在半径为k 1时，等位圆在y轴的右侧，电

19、位为正值；k = 1时，对应着y轴所在的位置；k =、 0 时，对应着 所在的位置。例5.14 两无限长平行圆柱导体的半径都等于a，轴线之间的距离为2d，如图所示。求：导体柱单位长度的电容。 解：用两条平行异号线电荷和作为平行带电圆柱的镜像。首先来确定线电荷的位置b。在右边圆柱边界上选取两个特殊点 ，设y轴上的任意点为零电位参考点，则空间任意点处的电位为则即解之得所以空间任意点处的电位为可得带负电圆柱的电位由此将带负电圆柱面的方程 代入上式， 同理，可证明带正电圆柱的电位为 两圆柱间的电位差 两圆柱单位长度的电容为 当 时，令 ，则得5.4 复变函数法1、复位函数法 2、保角变换法 5.5 有限差分法 1、数值方法当边界形状比较复杂，以至边界条件无法写成解析式而只能用一些离散数值表示时，前面所介绍的各种解法均无法使用，此时可以采用数值方法求解。 有限差分法、矩量法、有限元法、边界元法2、有限差分法 基本思想： 将满足拉普拉斯方程或泊松方程的边值问题转化为一个有限差分方程组来求解。 差分方程的推导讨论最简单的二维问题a. 将待求区域划分成许多边长为