南华大学高数练习册第十一章

1、南华大学高数练习册第十一章曲线积分与曲面积第一节对弧长的曲线积分1.选择题：(1)对弧长的曲线积分的计算公式Lf(x,y)dsf(t),(t)2(t)2(t)dt中要求(0.(A)(B)(C)解：I)L(xy)ds(xy)ds(xy)ds(xy)dsLOAABBO11xdx(1001y)dy02、2xdx13.22,222II)(xy)dsn(RcostRsint).,(x)2(y)2dt设光滑曲线L的弧长为，贝U6ds(B).L(A)(B)6(C)122.计算下列对弧长的曲线积分：(1)(xy)ds，其中L为LI)以0(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形的边界；222II)上

2、半圆周xyR；22Rsintcost02Ryds,其中L为y22x上点(2,2)与点(1,2)之间的一段弧;L解：yds訂、1(x)2dy畀Jy2dyL-(1y2)3/22丄(五27)323*(3)(x2y2)ds，其中为螺旋线xacost,yasint,zbt;解:*(4)解:ds(0t(x22222222y)ds0a(asintacost0b2dtx2y2ds，其中LL的极坐标方程为rr2(r)2d。,x2y2dsL22rd2a2、a2L为x22sinb2y22y；r,r2(r)2d24sind81/22b)dt，则r4sin24cos2d第二节对坐标的曲线积分1填空题(1)对坐标的曲线积

3、分的计算公式LP(x,y)dxQ(x,y)dy=P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dt(2)第二类曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy化为第类曲线积分是LP(x,y)cosdxQ(x,y)cosds，其中,为有向光滑曲线L在点(x,y)处的切向量的方向角.中，下限对应于L的始点，上限对应于L的终点;2选择题：(1)对坐标的曲线积分与曲线的方向(B)(A)无关，(B)有关；若P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线L上连续，则(A)(A)LP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy,(B)LP(x,y)dxQ(x,y)dylP(x,y)dxQ(x,y)dy

4、.3计算下列对坐标的曲线积分:*(4)y12dxxydyzxdz,其中为从点O(0,0,0)到点C(1,，,1)，沿着(1)(x2y2)dx，其中L为从点A(0,0)经上半圆周(x1)2y21L(y0)到点B(1,1)的一段弧；I)直线段；II)有向折线OABC，这里的0、A、B、C依次为点(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1);的方程为y21(x1)2x:01解：I)的参数方程为11(x2y2)dxox21(x1)202xdx1Lxtyt,0t1，则ztxdyydx，其中L为yL2x上从点B(1,1)到点A(1,1)的一段弧;原式=；(t2t2t2)dt1解:xdyy

5、dx1xg|2xdxx2dx2dxxtII)OA:,0t1;yz0AB:x1yt,0t1;z0 xydxyxdy，x与x1所围成区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；2解：L1:xy,y:11,L2:x1,y:11,则x1BC:y1.0t1.zt?x2ydxy3xdyx2ydxL1y3xdyx2ydxy3xdyL2原式=OAABBC2ydxxydyzxdz00tdt0tdt第五节对坐标的曲面积分1.选择题(1)对坐标的曲面积分与曲面的方向(B)(A)无关(B)有关已知R(x,y,z)dxdy存在，则(x+1)dydzydzdxdxdy，其中为xyz1在第一卦限的部R(x,y,z)dxdy+R(x

6、,y,z)dxdy一(A)(A)0(B)2R(x,y,z)dxdy2计算下列对坐标的曲面积分：)zdxdy，其中为曲面z1x2y2在第一卦限部分的/2(1)(x上侧解：由z知，在xoy面的投影区域为:Dxy(x,y)|0 x2,0 x1(r,)|0r1,01原式=01y叭(2yz)dz11x11xdx(1xz)dzdxdy0000*3.把xdydzydzdx(xz)dxdy化为对面积的曲面积分，其中平面2x2yz2第一卦限部分的上侧解：因取上侧，故法向量n与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为cos2,cos32,cos3-,从而3原式=|(?x-y33111xz)dS-(3x2yz)dS333在三

7、坐标面上的投影为为分且取法线的方向与解：由已知得，平面与等腰直角三角形，故4。3z轴的夹角为锐角.x,y轴的夹角也为锐角,原式=(x2Dxyy2)(1x2y2)dxdy02d0r2(1r2)rdr112(46)24第六节Gauss公式*通量与散度1.利用高斯公式计算下列曲面积分：TOCo1-5hz32(1)(xyz)dydz2xydzdxzdxdy，其中为平面x0,y0,z0,x1,y1,z1围成的立方体的表面外侧;解：由Gauss公式，得,”，2221)dr9(sin1124原式=(3x2x1)dxdydzQdzodyo(x1)dx*(3)xdydzydzdxzdxdy，其中为上半球面za04x2y2的上侧；解：设1为z0(x2+y2a2)的下侧，与1围成的闭区域为，由Gauss公式，得3xdydzydzdxzdxdy3dxdydz2a,1,3而xdydzydzd