E4的改进—因子分析模型L的教学案例复习进程

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。E4的改进因子分析模型L的教学案例-因子分析教学案例的改进教育部人文社会科学研究规划基金项目资助，项目批准号：09YJA910002；2009教育部人文社会科学重点研究基地重大项目资助，课题名称：多元统计分析及其应用的统计理论研究；广东商学院科学研究重点项目资助，项目批准号：08ZD11001。因子分析模型L的教学案例李俊扬1林海明3-5（1.贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州贵阳5500012.广东商学院经济贸易与统计学院广东广州5103203.广东省电子商务市场应用技术重点实验室广东广州51032

2、04.广东商学院国民经济研究中心广东广州510320）摘要：迄今国内外流行的因子分析没有解的优良性结论,以至在教学案例上遗留了许多问题。为了解决这些问题，这里沿着国内外教材中因子分析教学案例的常规路径，根据近期改进的、具有优良性结论的因子分析模型L及其解等系列结论，依次给出了：因子分析模型L的综合评价步骤，SPSS软件运行命令，应用实例，注意事项等，力争在教学案例上做到思路清晰、应用便捷、容易解决实际问题，为因子分析的案例教学提供一个可行的参考。关键词：因子分析；教学案例；改进；因子分析模型L中图文分类号O212文献标识码AO问题的提出多元统计分析目前是数理统计、统计、经济管理、生物等相关专业

3、本科、硕士、博士生的常规课程，因子分析教学案例是其中的主要内容，以具有代表性的Johnson.R.A,Wichern.D.W著1实用多元统计分析(2007)为例，因子分析教学案例的内容归纳有：在因子分析现行模型下，用主成分法、最大似然法、主因子法求出多个因子载荷阵，用加权最小二乘法、回归法求出多个因子得分，具体有求样本相关系数矩阵(或协差阵)及其特征值，初始因子载荷阵，旋转后因子载荷阵，确定因子个数，旋转后因子得分，给出初始因子、旋转后因子的命名。上述案例内容以降维、清晰解释数据为目标，使得因子分析的应用得到了较好的深入，同时，遗留了较多问题：因子分析教材的案例中迄今不知哪个模型和解更好，缺乏

4、因子分析应用步骤的系统化等。为了找到更好的因子分析模型和解，2(2009)3(2007)提出了求因子分析精确解的思想，受到张尧庭、方开泰教授4(1982)中标准化主成分及其载荷阵等式表示近似原始变量关系式的启发，对因子分析模型引入了最优化条件，找到了更具优势的方法-标准化主成分法，建立了更好的因子分析模型L，其解是标准化主成分或其旋转(主成分法下因子载荷阵回归的因子得分或其旋转)，该解对于给定(合适)的因子个数m，具有前m个因子的方差贡献和达到最大、误差(余)项方差和达到最小，能达到降维目的等。据此，5(2010)对1中因子分析的教学内容进行了简化和改进。236(2008)等中给出了因子分析模

5、型L解决问题的实例，从而因子分析教学案例改进的条件已较成熟。因子分析教学案例改进的任务是：根据因子分析模型L及其解的理论，建立因子分析模型L中初始因子、旋转后因子较系统的一个应用步骤，给出初始因子、旋转后因子有关结果的一个SPSS软件计算程序和解决问题的实例，指出应用中的一些注意事项等。以下依次完成这些任务，力争在因子分析模型L的教学案例上做到思路清晰、应用便捷、容易解决实际问题，为因子分析的案例教学提供一个可行的参考(中国人民大学、华南师范大学、东北财经大学、广东商学院、内蒙古财经学院、山东工商学院等高校，已经或正在使用这些教学案例给相应专业的本科、硕士、博士进行教学)。1因子分析模型L用于

6、综合评价的步骤与实例对于多元统计问题的解决，计算出有关模型的结果是一方面，同时能通过计算结果、原始数据进行数据分析，尽可能地解决实际问题同样是重要的。以下给出初始因子、旋转后因子较系统的应用步骤和实例。关于变量的总体相关阵通常是不知道的，通常用变量的样本相关阵替代。因子分析模型L及其解和优良性，数学符号见5。1.1初始因子分析的综合评价步骤及其实例初始因子应用于综合评价的步骤。指标的正向化(单独计算)7，标准化；求变量的样本相关阵及其特征值，主成分法下的初始因子载荷阵，旋转后因子载荷阵；(要计算出多个)与比较，用因子载荷绝对值0、1两极分化频数对比表判断(见表1.1.4)，如果中行元素绝对值足

7、够向0、1两极分化，用初始因子进行分析2，继续原始变量之间相关度很低或无关时，直接进行逐个指标分析，用作综合分析(是正向化、标准化的)是适合的。确定初始因子个数：用和因子与变量显著相关的临界值判断，若因子与某些变量显著相关，则选入该因子2，因子个数m、因子方差累计贡献率随之确定；初始因子的命名及其正向化：由的第i列，将与显著相关的变量归为一类，由这些变量的意义对因子进行命名(注意有些变量，可能与两个因子显著相关，命名中、分析中也要同时考虑好这些变量的联系性影响)。正向化2：如果这类变量与的相关系数表明该类变量的意义是正向的，不变符号；如果意义是反向的，、同时乘上负号；计算写出初始因子(用回归的

8、因子得分)；因为因子不相关，综合起来可反映样品的相对可比、不相关因子累加综合状况(不是反映多变量信息最大化时的样品值状况)，以初始因子方差贡献率为权数得综合初始因子=；计算给出个初始因子样品值矩阵、综合初始因子样品值并排序；用个初始因子样品值做聚类分析，按综合初始因子样品值排名顺序给出样品分类结果；7结合样品的分类结果，综合初始因子、初始因子样品值和排序，原始数据，原始变量的意义，进行优势、劣势、潜力状况和影响因素等的综合评价，给出较客观、可靠的决策相关性建议。SPSS软件初始因子有关结果计算过程：原始数据的正向化数据输入或拷贝到数据窗口中，选择AnalyzeDateReductionFact

9、or变量框中选入正向化的数据Descriptives选择Initialsolution，Coeffi-cients，ContinueExtraction选择PrincipalComponent，Correlationmatrix(数据标准化被执行)，Numberoffactor：m，Unrotatedfactorsolution，ScreenPlot(碎石图),ContinueRotation选择None，ContinueScores选择SaveasVariables，Regression，Displayfactorscorecoefficientmatrix，ContinueOK。计算结果有

10、：样本相关系数阵R、R的特征值、初始因子载荷阵、初始因子的标准化变量系数阵、初始因子的样品值数据等，数据窗口中的fac1-1,facm-1为初始因子的样品值(注意Extraction选择PrincipalComponent)。旋转后因子载荷阵的计算要用下述1.2中SPSS软件旋转后因子有关结果计算过程。表1.1.1原始数据正向化数据卷烟企业x1x2x3x4x5x6x7广州一厂92.32116.97-29.952.915.499832140.9333广州二厂109.41130.01-21.762.8348.7115755520.4667韶关厂60.01131.38-20.352.225.2759

11、28711南雄厂29.8999.96-64.441.19-1.111301440梅州厂58.95106.58-55.622.081.93537051南海厂76.04117.99-51.942.113.725185350.9633湛江厂39.43100.34-53.82.030.154050071廉江厂13.96100.19-86.320.551.04584150数据来源：梁苓，主成分分析法在企业经济效益综合评价中的应用J.数学的实践与认识，2002年第5期例1.16：2001年广东卷烟工业企业广州卷烟一厂、广州卷烟二厂、韶关卷烟厂、南雄卷烟厂、梅州卷烟厂、南海卷烟厂、湛江卷烟厂和廉江卷烟厂(n

12、8)的经济效益变量为：x1-总资产贡献率、x2-资本保值增值率、x3-资产负债率、x4-流动资产周转率、x5-成本费用利润率、x6-全员劳动生产率、x7-产品销售率(p7)，数据见表1.1.1。对这些企业作经济效益综合评价。图1例1.1相关阵特征值碎石图正向化数据为表1.1.1(x3正向化公式为：x3。中性指标x7正向化公式为：表1.1.2相关阵特征值特征值比率累计率15.2490.74980.749821.1610.16580.9156为公认最好的中性值，这里=1，其余是正向的；或。表1.1.1x7的正向化用公式)。启用SPSS11.0软件因子分析过程进行因子分析，输入例1正向化表1.1.1

13、的数据，得特征值表1.1.2，相关阵特征值碎石图图1，初始因表1.1.3因子载荷阵变量初始旋转后x10.965-0.0630.8720.417x20.872-0.0450.7830.387x30.9290.1560.7340.590 x40.9390.2520.6950.679x50.812-0.5460.975-0.079x60.940-0.2880.9610.209x70.5200.8280.0490.977子载荷阵、旋转后因子载荷阵表1.1.3。表1.1.3的、比较得表1.1.4,即每列系数绝对值较往0、1两极分化，故使用初始因子。前2个初始因子设为,变量正态分布下，取显著水平为5%，显

14、著相关的临界值是r(6)=0.7078，由和显著相关的临界值r(6)判断，因子，与变量显著相关；其它初始因子与变量没有显著相关，故因子个数m=2,此时累计贡献率为93.56%。因子的命名与正向化：初始因子设为，根据表1.1.3的表4因子载荷绝对值0、1两极分化频数对比表因子载荷区间频数初始旋转后0.9以上0.8-0.90.6-0.80.5-0.60.5以下4302531415合计1414,因子与x1-总资产贡献率、x2-资本保值增值率、x3-资产负债率、x4-流动资产周转率、x5-成本费用利润率、x6-全员劳动生产率显著正相关,故称为内部效益因子；因子与x7-产品销售率显著正相关,故称为外向效

15、益因子。与从初始因子得分系数得因子(Xi是xi的正向化、标准化变量)：=0.184X1+0.166X2+0.177X3+0.179X4+0.155X5+0.179X6+0.1X7=-0.054X1-0.039X2+0.134X3+0.218X4-0.47X5-0.248X6+0.714X7以初始因子贡献率为权数构造综合因子函数：=0.7498+0.1658=0.129X1+0.118X2+0.155X3+0.17X4+0.038X5+0.093X6+0.193X7,的评价意义：依次注重的是X7-产品销售率(正向化)(0.193)，X4-流动资产周转率(0.17)、X3(正向化)-融资率(0.1

16、55)、X1-总资产贡献率(0.129)的有效性，拉动的是X2-资本保值增值率(0.118)、X6-全员劳动生产率(0.093)、X5-成本费用利润率(0.038)。表1.1.5初始因子、综合初始因子值及排名卷烟企业序序序广州二厂1.56711-1.64680.9021广州一厂0.834720.368950.6872韶关厂0.530130.840130.5373南海厂0.223140.372440.2294梅州厂-0.214450.88302-0.015湛江厂-0.400460.95491-0.146南雄厂-1.06507-0.7346-0.927廉江厂-1.47528-1.0397-1.28

17、8计算各企业因子值、综合因子值及排名见表1.1.5。将表1.1.5中无相关性的数据、作系统聚类分析，用欧氏距离、类平均法,按综合初始因子值相应顺序企业分为如下四类。第一类：广州卷烟二厂；第二类：广州卷烟一厂、韶关卷烟厂、南海卷烟厂；第三类：梅州卷烟厂、湛江卷烟厂；第四类：南雄卷烟厂、廉江卷烟厂。现结合聚类分析结果、表1.1.5、初始因子得分系数、表1.1.1进行第一类、第三类（其余类似）综合实证，提出建议。评价中注意初始因子得分系数：x5-成本费用利润率既对内部效益因子是好影响(系数为0.155)，又对外向效益因子有较大的负影响(系数为0.47)。第一类：广州卷烟二厂，综合效益排名为第1(0.

18、902），其中内部效益因子得分值最高(1.5671)排名为第1，优势明显，但外向效益因子(-1.646)为第8，取值远低于平均水平，这一原因为x5-成本费用利润率取值最高(48.71)、x7-产品销售率取值(0.4667)列第6，属于利润高销售较弱的情况，这使得综合后内部效益因子得分值从最高(1.5671*0.75=1.175)被抵减(1.646*0.1658=0.273)，综合效益成为0.902，万不可小视！建议：广州卷烟二厂应继续保持发挥x1-总资产贡献率、x2-资本保值增值率、x3-资产负债率、x4-流动资产周转率、x5-成本费用利润率、x6-全员劳动生产率(内部效益因子)已有优势的条件

19、下，加强销售力度，提高x7-产品销售率(外向效益因子)，定能进一步提高综合效益，增强竞争力。第三类：梅州卷烟厂、湛江卷烟厂,综合效益排名依次为第5(-0.01）、第6(-0.14），取值低于平均水平，其中内部效益因子排名依次为第5(-0.2144)、第6（-0.4004），取值低于平均水平，外向效益因子排名依次为第2(0.883)、第1(0.955),取值远高于平均水平，这一原因为原始数据x5-成本费用利润率分别取值1.9(第5)、0.15(第7),x7-产品销售率均为第1，即该类企业做到了薄利保销。建议：梅州卷烟厂、湛江卷烟厂应明确已有差距、挖掘内部管理与产品质量潜力，在既抓好自身已有立足的

20、前提下,向省内外卷烟企业优点学习,提高综合经济效益。1.2旋转后因子分析的综合评价步骤及其实例旋转后因子分析的综合评价步骤。指标的正向化(单独计算)7，标准化；求变量的样本相关阵及其特征值，主成分法下初始因子载荷阵，旋转后因子载荷阵(要计算出多个)，旋转后方差贡献；(要计算出多个)与比较，用因子载荷绝对值0、1两极分化频数对比表判断(见表1.2.4)，如果中行元素绝对值足够向0、1两极分化，用旋转后因子进行分析2，继续原始变量之间相关度很低或无关时，直接进行逐个指标分析，用作综合分析(是标准化的)是适合的；确定旋转后因子个数、因子方差累计贡献率：用和两变量显著相关的临界值判断，若因子与某些变量

21、显著相关，则选入该因子2，因子个数m、因子方差累计贡献率随之确定；旋转后因子的命名及其正向化：由的第i列，将与显著相关的变量归为一类，由这些变量的意义对因子进行命名(注意有些变量，可能与两个因子显著相关，命名中、分析中也要同时考虑好这些变量的联系性影响)。正向化2：如果这类变量与的相关系数表明该类变量的意义是正向的，不变符号；如果意义是反向的，、同时乘上负号；计算写出旋转后因子(用回归的因子得分)；因为因子不相关，综合起来可反映样品的因子累加综合状况(不是反映多变量信息最大化时的样品值状况)，以旋转后因子方差贡献率为权数得旋转后综合因子2：=,；计算给出个旋转后因子样品值矩阵、旋转后综合因子样

22、品值并排序；用个旋转后因子样品值做聚类分析，按旋转后综合因子样品值排名顺序给出样品分类结果；6结合样品的分类结果，旋转后综合因子、其样品值和排序，原始数据，原始变量的意义，进行优势、劣势、潜力状况和影响因素等的综合评价，给出客观、可靠的决策相关性建议。SPSS软件旋转后因子有关结果计算过程：原始数据的正向化数据输入或拷贝到数据窗口中，选择AnalyzeDateReductionFactor变量框中选入正向化的数据Descriptives选择Initialsolution,Coeffi-cients，ContinueExtraction选择PrincipalComponent，Correlati

23、onmatrix(数据标准化被执行)，Numberoffactor：m，Unrotatedfactorsolution，ScreenPlot(碎石图),ContinueRotation选择Varimax，Rotatedsolution，ContinueScores选择SaveasVariables，Regression，Displayfactorscorecoefficientmatrix，ContinueOK。计算结果有：样本相关系数阵R、R的特征值、旋转后因子的方差贡献、初始因子载荷阵、旋转后因子载荷阵、旋转后因子的标准化变量系数阵、旋转后因子的样品值数据等，数据窗口中的fac1-1,fa

24、cm-1为旋转后因子的样品值(注意Extraction选择PrincipalComponent)。例1.2上市公司赢利能力的综合评价，指标体系选为：-销售净利率、-资产净利率、-净资产收益率、-销售毛利率，上市公司为青岛海尔、贵州茅台、五粮液等16家公司。数据见表1.2.1。表1.2.1上市公司赢利能力指标数据9公司x1x2x3x41.歌华有线2.五粮液3.用友软件4.太太药业5.浙江阳光6.烟台万华7.方正科技8.红河光明9.贵州茅台10.中铁二局11.红星发展12.伊利股份13.青岛海尔14.湖北宜化15.雅戈尔16.福建南纸43.3117.1121.1129.5511.0017.632.

25、7329.1120.293.9922.654.435.407.0619.827.267.3912.136.038.628.4113.864.225.449.484.6411.137.308.902.7910.532.998.7317.297.0010.1311.8315.4117.166.0912.979.3514.314.3612.535.2418.556.9954.8944.2589.377325.2236.449.9656.2682.2313.0450.5129.0465.519.7942.0422.72数据来源：2003年上市公司速查手册中国证券报社；飞虎证券网HYPERLINK。表1

26、.2.1数据全部是正向的；调用SPSS软件因子分析主成分法下的过程命令，输入表1.2.1的数据，计算，经过挑选，m=3时，得初始因子、旋转后因子方差贡献表1.2.2，相关阵特征值碎石图图2，初始因子载荷阵、旋转后因子载荷阵表1.2.3；由表1.2.3得表1.2.4，即旋转后因子载荷阵中行元素绝对值足够向0或1两极分化，故用旋转后因子解；表1.2.2因子方差贡献初始旋转后贡献贡献率累计率贡献贡献率累计率11.8970.47430.47431.6660.41660.416621.5500.38740.86171.0880.27200.688630.3930.09830.96001.0850.271

27、30.9600前3个旋转后设为、,变量正态分布下，取显著水平为5%，显著相关的临界值是r(14)=0.58，由和显著相关的临界值r(14)判断,因子、与变量显著相关；其它因子与变量没有显著相关，故因子个数m=3，前三个因子解释X的信息(累计方差贡献率)为96%达到最大,误差因子解释变量X的信息为4达到最小，结论可靠。图2例1.2相关阵特征值碎石图因子命名与正向化：由和显著相关的临界值r(14)判断，与x2-资产净利率、x3-净资产收益率显著正相关，因子称为资产赢利因子；与x1-销售净利率显著正相关，因子称为销售净利率因子；与x4-销售毛利率显著负相关，因子称为销售毛利率因子。因子、是正向化的；

28、用回归的因子得分函数(Xi是正向化、标准化的变量)：=-0.019X10.516X20.581X3-0.047X4=1.148X10.132X2-0.128X3-0.443X4表1.2.3因子载荷阵变量初始旋转后x10.731-0.5130.4400.0180.9440.317x20.8180.5030.0140.8850.2600.267x30.3590.8970.0060.939-0.174-0.151x40.752-0.477-0.4460.0380.3160.944=-0.439X1+0.097X2-0.130X3+1.159X4以旋转后方差贡献率为权数构造综合因子：=0.4166+0

29、.272+0.2713=0.1852X1+0.2772X2+0.172X3+0.1744X4表1.2.4因子载荷绝对值0、1两极分化频数对比表因子载荷区间频数初始旋转后0.9以上0.8-0.90.4-0.80.4以下02733108合计1212的评价意义：依次注重的是X2-资产净利率(0.2772)，X1-销售净利率(0.1852)，拉动的是X4-销售毛利率(0.1744)、X3-净资产收益率(0.172)。旋转后因子得分、综合因子样品值及排序见表1.2.5。调用SPSS软件的聚类分析类平均法过程命令，选用欧氏距离，通过旋转后因子得分、的样品值对样品进行聚类。分成4类，结合综合因子得分样品值排

30、名顺序给出相应共性分类结果如下：第一类：烟台万华，五粮液，雅戈尔，红星发展；第二类：贵州茅台，青岛海尔，用友软件；第三类：太太药业，歌华有线，红河光明；表1.2.5旋转后因子、综合因子样品值公司序序序序烟台万华1.482310.41045-0.367482.51741五粮液1.450920.08927-0.085072.42202雅戈尔1.369330.29926-0.3801102.19443红星发展0.863340.582340.061162.13814贵州茅台0.36385-0.258691.650722.11575太太药业-0.1578100.891530.917341.70236歌华

31、有线-0.5322112.59741-0.4659111.43387青岛海尔0.26918-1.4628161.424530.40248用友软件-1.012113-0.2660102.038410.23619红河光明-1.1798141.144220.16805-0.538410浙江阳光0.16379-0.16608-0.697813-0.665011伊利股份0.33706-1.017714-0.37389-0.951412方正科技0.27097-1.051115-1.391816-2.202413中铁二局-0.736412-0.728013-1.043015-3.150614福建南纸-1.3

32、43715-0.570912-0.685612-3.603615湖北宜化-1.608316-0.493111-0.769614-4.050916第四类：浙江阳光，伊利股份，方正科技，方正科技，中铁二局，福建南纸，湖北宜化；结合前3个旋转后因子得分样品值的聚类分析结果，因子得分、综合因子得分样品值和排序，因子得分、综合因子得分函数，原始数据，原始变量名称的意义，进行优势、劣势和影响因素等的综合评价，给出客观、可靠的决策相关性建议。第一类的烟台万华、五粮液、雅戈尔、红星发展，综合因子得分值依次排第1、2、3、4，全部高于平均水平。其资产赢利因子值依次排1、2、3、4,全部高于平均水平,优势明显。销

33、售净利率因子值依次排5、7、6、4，全部高于平均水平，优势中上。销售毛利率因子值依次排8、7、10、6，其中红星发展、五粮液靠近平均水平，烟台万华、雅戈尔低于平均水平。即该类企业是综合赢利能力很强的企业，其中资产赢利能力尤其明显，销售净利率略高于平均水平，销售毛利率在平均水平附近的状况。建议：该类企业在继续保持资产赢利因子中x2-资产净利率、x3-净资产收益率明显优势的情况下，销售净利率因子中，应提高产品质量和管理水平，降低成本，进一步提高销售净利率的赢利能力；销售毛利率因子中，销售毛利率提高的潜力较大，应向好的企业学习，改变销售毛利率赢利能力较差的状况。第二四类企业的综合评价、建议方法与第一

34、类企业类似，此略。以上1.1和1.2的分析及结论，找到了研究对象的共性、优势、不足、差距状况和原因等，用具有可控性的原始指标给出了可靠的决策相关性建议，验证了本文方法的有效性，且因子分析法的应用趋向深入。1.3旋转后因子解释原始数据的能力没有提高的实例请见10(2004)例6.1。2因子分析综合评价中的注意事项指标需要进行正向化、标准化，以便进行指标的相对比较。因子的明确：计算出多个旋转后因子载荷阵与初始因子载荷阵比较，用因子载荷绝对值0、1两极分化频数对比表判断，确定旋转后因子、初始因子哪个与变量相关性较高。确定因子个数：用因子载荷阵和两变量显著相关的临界值判断，若因子与某些变量显著相关，则

35、选入该因子，因子个数m、因子方差累计贡献率随之确定，这样不至于丢掉原始变量(初始因子个数、旋转后因子个数确定有时是不同的，如例1.2。设相关阵特征值碎石图拐点处的序号为k，旋转后因子个数m建议在k-1、k、k+1中挑选)。因子的正向化：由因子载荷阵的第i列，将与因子显著相关的变量归为一类，如果这类变量与的相关系数表明该类变量的意义是正向的，不变符号；如果意义是反向的，、同时乘上负号。这是因子进行综合的前提。使用旋转后因子时，因为旋转后因子方差贡献已发生改变，故旋转后综合因子以旋转后因子方差贡献率为权数，即=,。这样能保持方法的一致性。用前个因子样品值做聚类分析，按旋转后综合因子样品值排名顺序给

36、出样品分类结果，这样既有样品类的结果，又有样品序的结果。结合样品的分类结果，综合因子、因子样品值和排序，原始数据，原始变量的意义，进行优势、劣势、潜力状况和影响因素等的综合评价，尽可能给出客观、可靠的决策相关性建议。参考文献：1R.A.Johnson,D.W.Wichern,AppliedMultivariateStatisticalAnalysis(6thEd)M,UpperSaddleRiver,N.J:PearsonPrenticeHall,2007.中译本：实用多元统计分析，陆璇等译，清华大学出版社，2008。2林海明.因子分析模型的改进与应用J.数理统计与管理，2009，28(6):

37、998-1012.3林海明,王翊.因子分析模型L及其解是更好的J.统计研究，2007，8：77-83.4张尧庭,方开泰著.多元统计分析引论M.北京：科学出版社，1982.257-270.5林海明.因子分析教学内容的改进因子分析模型L的教学内容J.统计与决策，2009，23:156-159.6刘肇军,林海明.初始因子与旋转后因子的异同J.统计与决策，2008，19:21-24.7林海明.对主成分分析法运用中十个问题的解析J.统计与决策(理论版),2007，8:16-18.8峁诗松等编著.概率论与数理统计M.北京：中国统计出版社，2000：106,420.9HYPERLINK/grid2008/b

38、rief/result2.aspx?dbCatalog=%e4%b8%ad%e5%9b%bd%e5%ad%a6%e6%9c%af%e6%96%87%e7%8c%ae%e7%bd%91%e7%bb%9c%e5%87%ba%e7%89%88%e6%80%bb%e5%ba%93&dbprefix=SCDB&showtitle=%27%e6%9e%97%e6%b5%b7%e6%98%8e%27%e5%9c%a8%e4%b8%ad%e5%9b%bd%e5%ad%a6%e6%9c%af%e6%96%87%e7%8c%ae%e7%bd%91%e7%bb%9c%e5%87%ba%e7%89%88%e6%80%bb%e5%ba%93%e5%8f%91%e8%a1%a8%e7%9a%84%e6%96%87%e7%8c%ae&expertvalue=%e4%bd%9c%e8%80%85%3d%27%e6%9e%97%