2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义第9讲 指数与指数函数

1、第9讲指数与指数函数3理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函当n为奇数时，ana.1了解指数函数模型的实际背景2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算1123数的图象知识梳理1指数(1)n次方根的定义n若xna，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根(2)方根的性质nnaa0当n为偶数时，an|a|aa0，m，n都是正整数，n1)a(a0，m，n都是正整数，n1

2、)nman(3)分数指数幂的意义mnnm11nman(4)指数幂运算：如果a0，b0，m，nQ，那么amanam；(am)namn；(ab)mambm.2指数函数(1)指数函数的定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数(2)指数函数的图象1指数yax(a0，且a1)与y()x的图象关于y轴对称；(3)指数函数的性质定义域：R.值域：(0，).图象过点(0,1).当a1时，yax在R上是增函数；当0a1时，a越大，增长越快，图象在y轴右边越靠近y轴(y1时)；0a1)C.a3aDamanamn151532热身练习1下列等式中，正确的是(C)Aa01B.a2a3a0时，A不正确；a1)的

3、图象是(B)ax，x0，去掉绝对值符号得：yax，x0与x0，且a1)的图象必经过点(D)A(0,1)B(1,1)C(2,3)D(2,4)因为x20时，y4，所以图象恒经过点(2,4)32当a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，a1b1，由题意得a0b0，无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，a，所以ab.a1b0，由题意得a0b1，321解得2b2，指数函数的图象及应用画出函数y|3x1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？y|3x1|的图象如下图实线所示C(1，)D(0，)当k0时，yk与y|3x1|的图象无交点，所以方程|3x

4、1|k无解当k0或k1时，yk与y|3x1|的图象有一个交点，所以方程|3x1|k有一个解当0k0，且a1)有两个不等的实根，则a的取值范围是(D)A(0,1)(1，)B(0,1)12当a1时，由图(1)可知，不满足要求；所以a的取值范围为(0，)(1)b2()，而函数y()x在R上是减函数，又.所以()()()，即ba()x4的解集为.(2)已知2x2x()x2，则函数y2x2x的值域为，.因为f(1)2，f(4)2424，故所求函数的值域为，当0a1时，由图(2)可知，要方程有两个不等的实根，则02a1，12指数函数的性质的应用1241123323AcabBbacCacbDab2x4，又函

5、数y2x为增函数，所以x22xx4，即x23x40，所以1x4.(1)B(2)(1,4)(1)指数函数的性质主要是单调性，常用单调性来比较大小、解简单的指数不等式，求函数的值域最值)等(2)比较大小时，常根据底数的特点构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小；当底数不同时，常利用中间量(如0,1)进行比较2(1)(经典真题)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是(C)AabcBacbCbacDbca125534162(1)因为y0.6x是(0，)上的减函数，所以0.61.50.60.61，所以bac.故选C.(2)由2x2x22(x2)，得x2x2(x2)

6、，所以x23x40，所以4x1.1又f(x)2x2x为增函数，所以f(4)f(x)f(1)1325522162553162指数函数的综合应用f(t)t2t(t)2，所以0f(t)，故当x0时，f(x)0，所以当x0时，f(x)，0，所以函数f(x)的值域为，函数f(x)4x2x1，x0,2的值域为.设t2x，因为x0,2，所以t1,4，令yg(t)t2t1(1t4)，结合yg(t)的图象及其单调性可得g(t)ming(1)1，g(t)maxg(4)11.所以f(x)的值域为1,111,11解决与指数函数有关的最值或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构换元时，要特别注意新元的取值范围，确保问题的等价性1111x3已知yf(x)是定义在R上的奇函数且当x0时，f(x)42x，则此函数的值域为4，4.1设t2x，当x0时，2x1，所以00，且a1)的性质和底数a的取值有关，与指数函数有关的含参数的问题要