2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义第13讲 函数与方程含答案

1、第13讲函数与方程函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.1结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系2判断一元二次方程根的存在性及根的个数知识梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数yf(x)在区间a，b上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么2二分法(1)二分法的意义对于区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一

2、分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点x1.第三步，计算f(x1)；若f(x1)0，x1就是函数的零点；若f(a)f(x1)0，则令bx1，此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0)零点的分布零点的分布(m，n，p为常数)图象满足条件0 x1x2mb2amx1mfm02ax1mx2f(m)0mx1x2nmn2amx1nx20b或f(m)f(n)1，1212当x1时，由f(x)2x10，解得x0；1当x1时，由f(

3、x)1log2x0，解得x2，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.2函数f(x)x33x1在以下哪个区间内一定有零点(B)A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)因为f(0)f(1)0，所以f(x)在(0,1)上一定有零点3已知函数f(x)2axa3.若x0(1,1)，f(x0)0，则实数a的取值范围是(A)A(，3)(1，)B(，3)C(3,1)D(1，)当a0时，显然不成立4(2018武昌区模拟)函数f(x)x2()x的零点的个数为(B)在同一平面直角坐标系内作出yx2与y()x的图象(如图)，当a0时，由题意知f(1)f(1)0，即(3a3)(a3)0，解

4、得a1.112A0B1C2D3112因此函数f(x)x2()x只有1个零点由图可知，两函数图象只有一个交点，1125若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)2f(1.25)0.984f(1.4375)0.162f(1.5)0.625f(1.375)0.260f(1.40625)0.054那么方程x3x22x20的一个近似值(精确到0.1)为(C)A1.2B1.3C1.4D1.5可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，因为1.406251.4,1.43751.4，故近似解为1.4.函数零点的判断与求解(1)设x0是方程lnxx4的

5、解，则x0属于区间A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)x22，x0，(2)函数f(x)的零点个数是_2x6lnx，x0(1)设f(x)lnxx4，因为f(1)30，f(2)ln22lne10，所以f(2)f(3)0时，f(x)2x6lnx在(0，)上为增函数，且f(2)ln220.所以f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上，f(x)的零点个数为2.(1)C(2)2判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且A(，0)B(0，

6、)C(，)D(，)f()e443e420，所以f(x)在(，)内存在唯一零点解得x9或x满足条件f(a)f(b)0，数为(C)A1B2C3D4(1)因为f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且11114411112211421x221x，x1，(2)由题意得f(1x)|lg1x|，x1，x24x3，x1，即f(1x)|lg1x|，x1.当x1时，由f(1x)1x24x20，解得x22或x22(舍去)；当x0，f00，f10，0m12m1，2m1，m12或m11m0.2，所以m0，所以a1，22a2f13a0，解得2a3.(2)方程一根大于1，另一根小于1，即要求f(x)x22ax2a的两零点在

7、x1的两旁，所以只需要f(1)3.函数零点和参数的范围ex，x0，(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则lnx，x0，a的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图：AB.C.D1若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，解得a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)C由函数的零点确定参数的取值范

8、围，常采用数形结合的方法有如下两种常用的方法(1)将参数分离，化为bg(x)的形式，转化为yb与yg(x)的交点问题；(2)将函数f(x)化为f(x)h(x)g(x)的形式，根据f(x)0h(x)g(x)，转化为yh(x)与yg(x)的交点问题3(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a(C)112312(方法一)f(x)a(ex1ex1)x22x.令g(x)x22x，h(x)a(ex1ex1)，因为g(x)(x1)211，当且仅当x1时取“”又因为ex1ex12ex1ex12，当且仅当x1时取“”若a0，则h(x)a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零

9、点，则必有2a1，即a.12若a0，则f(x)的零点不唯一(方法二)f(x)x22xa(ex1ex1)所以2a10，解得a.f(x)有唯一零点f(1)0，所以a.(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，g(t)f(t1)t2a(etet)1.因为g(t)(t)2a(etet)1g(t)，所以函数g(t)为偶函数因为f(x)有唯一零点，所以g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，12(方法三)f(x)(x1)2a(ex1ex1)，因为f(2x)f(x)，所以f(x)关于x1对称，121函数yf(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的实数根，也是yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的判定的常用方法有：(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.3方程f(x)g(x)的解，实质上就是研究F(x)f