2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义第25讲 三角函数的图象与性质

1、第25讲三角函数的图象与性质(一)(1)ysinx图象在0,2上的五个关键点坐标为：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)(2)ycosx图象在0,2上的五个关键点坐标为：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1).1熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值2会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期知识梳理1用五点法作正弦、余弦函数的简图3223222三角函数的图象与性质(其中kZ)函数ysinxycosxytanx图象xk，定义域RR2kZ2k，2k(k，k)值域周期性奇偶性递增区间1,12奇函数221,12偶函数2k，2kR

2、奇函数222k，2k最大值x2k时，ymax1递减23区间2k，2k2yx2k2时，max1最小值热身练习3x2k2时，ymin1x(2k1)时，ymin11函数f(x)1sinx，x0,2的大致图象是图中的(B)由五点法知图象应经过(0,1)，(，0)，(，1)，(，2)，(2，1)，可知应选B.2函数y的定义域为(A)Cx|x2k，kZDx|x2k，kZ3当x，时，函数ysinx3cosx的值域为(D)A1,1B，1y2sin(x)，x，sin(x)1，所以1y2.32211cosxAx|x2k，kZBx|x(2k1)，kZ322由cosx1，得x2k，kZ，故定义域为x|x2k，kZ22

3、12C2,2D1,2513636234函数f(x)sin(x)2sincosx的最大值为1.f(x)sin(x)2sincosxsinxcoscosxsin2sincosxsinxcoscosxsinsin(x)1.所以f(x)max1.5函数y8cosx2sin2x的最大值为8.y2(1cos2x)8cosx2cos2x8cosx2，令cosxt，1t1，y2t28t22(t2)210，故t1时，ymax8.由2sinx10，得sinx，三角函数的定义域函数y2sinx1的定义域为_12即2kx2k(kZ)故定义域为x|2kx2k，kZx|2kx2k，kZ1函数y的定义域为x|xk且xk，k

4、Z.所以xk且xk，kZ，故定义域为x|xk且xk，kZ求函数y43sin2x4cosx的值域，其中x，3cos2x4cosx13(cosx)2.因为x，所以cosx，1所以所求函数的值域为，566566566(1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式和三角方程，可借助三角函数的图象来求解(2)解简单三角不等式的步骤：如sinxa.第一步，作出ysinx的图象；第二步，作直线ya，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是0,2)在直线ya上方的图象；第三步，确定sinxa的x值，写出解集1tanx142由tanx10，得tanx1.4242三角函数的值域或最值233y43sin2x4co

5、sx43(1cos2x)4cosx2133213322121而32，1，所以当cosx3时，ymin3.11115当cosx2时，ymax3(2)24(2)14.11534三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型，一种是化为yAsin(x)或yAcos(x)或yAtan(x)，另一种是化为关于sinx，cosx或tanx的二次函数第一种类型可利用三角函数的性质及2(2017北京卷)已知函数f(x)3cos(2x)2sinxcosx.(2)求证：当x，时，f(x).(1)f(x)3cos2xsin2xsin2xsin2xcos2xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明：因为x

6、，所以2x，所以sin(2x)sin()，所以当x，时，f(x).不等式的性质求得，第二种类型可换元转化为二次函数，借助二次函数的性质求得不管哪种类型，都要注意角的范围3(1)求f(x)的最小正周期；1442322132232254463613621442三角函数的值域或最值的应用在ABC中，B60，AC3，则AB2BC的最大值为_在ABC中，由正弦定理得ACsinB3所以AB2BC2sinC4sin(C)27sin(C)，C(0，)，要求AB2BC的最值，首先要将其表达式求出来在ABC中，B和边AC是确定的，AB，BC是变化的，但C一定，则边AB，BC就确定了，可见，AB2BC随着C的变化而

7、变化，从而可建立AB2BC关于C的函数关系32R2，2234sinC23cosC23所以AB2BC的最大值为27.27利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是：(1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值3如图，半径为1的扇形的圆心角为，一个矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，3D分别在弧和另一条半径上，求此矩形ABCD的最大面积连接OC，设BOC，0，设矩形ABCD的面积为S，则BCsin，AO333AD1在OAD中，tan，所以OAsin，所以ABOBOAcos13sin，所以SABBC(cos1sin)sin3cossin13sin2sin2(1cos2)sin2cos23sin(2).故时，Smax66故矩形ABCD的最大面积为3.132613326633663.61求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解2求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下：(1)形如yasinxbcosxk的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsinxk的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasinxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设t