网络教育复变函数作业及答案

1、快,力叶A大中远程教肓学院复变函数一、判断题1、若函数人2）在Zo解析，则共Z）在Z0的某个邻域内可导。（J ）2、如果Z0是/的本性奇点，则lim/（z）一定不存在。（J ）3、若函数/（2）= （兀丁） +加（毛）在。内连续，则丫,丁）与16了）都在。内连续。（J ）4、cosz与sinz在复平面内有界。（X ）5、若Zo是/（Z）的m阶零点，则Zo是1/（Z）的加阶极点。（4 ）6、若y（z）在Zo处满足柯西-黎曼条件，则人Z）在Zo解析。（X ）7、若lim/（z）存在且有限，则zo是函数f（z）的可去奇点。（V ） ZZo8、若/在单连通区域。内解析，则对。内任一简单闭曲线C都有1/

2、（z）dz = O。（ J ）9、若函数八。是单连通区域。内的解析函数，则它在。内有任意阶场数。（J ）10、若函数/U）在区域。内的解析，且在。内某个圆内恒为常数，则在区域。内恒等于常 数。（J ）11、若函数/在zo解析，则y（z）在zo连续。（v ）12、有界整函数必为常数。（V ）13、若&7收敛，贝隆Rez“与Irnz“都收敛。（J ）14、若/在区域。内解析，且r（z）三0，则/（Z）三。（常数）。（J ）15、若函数人z）在zo处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为辕级数。（J ）16、若大。在zo解析，则/在Zo处满足柯西-黎曼条件。（V ）17、若函数在Zo可导，则Az）在

3、Zo解析。（x ）18、若穴Z）在区域。内解析，则|/（z）|也在也内解析。（X ）19、若幕级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（J ）20、cos z与sin z的周期均为2攵万。（V ）21、若函数人z）在Zo解析，则z）在Zo处满足 Cauchy-Riemann 条件。（J ）侠G计A火中远程教肓学院22、若函数/(z)在Zo处解析，则/U)在Zo连续。(J )23、函数sinz与cosz在整个复平面内有界。(X )24、存在整函数/(z)将复平面映照为单位圆内部。(X )1、若函数f(z)在Zo处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在Zo解析。(X )4、若

4、函数f(z)在是区域。内的单叶函数，则/(Z)WO(VZ。)。( V )7、8、9、函数sinz与cosz在整个复平面内有界。(X )存在一个在零点解析的函数f(z)使/() = 0且/() = , = 1,2,。(X ) +12n 2/7如果函数 f(z)在。=*底|1上解析，且 |/(z)区 l(|z|=l)，则 |Z)|l(|zKl),二、填空题1、函数/的周期为-2加。X12、幕级数的和函数为-7(1-以3、，则/(Z)的定义域为产4、ZZ的收敛半径为 1=05、02 加(一 1)!77 ,。)=/? 00解：liin一KCn=0dz. = 2m-J 9-z24、求/(z) =在2v|

5、z|+s内的罗朗展式。(z l)(z 2)5、求z，5z + l = 0,在|z|l内根的个数 解：1个。6、 - d乙JW=1cosf dz = 0 解:陶=1 COSZ.iz7、求Res(1 + z28、求V2T)+1 + zY快力叶A大空远程教肓学院解:L + z Y ttJ +解：作）=等等叔=2硝切+ + 1）尸= 2%(6z + 7),7t . . 7tTC. . z TC、-cosn + zsuin fcos(-n ) +1sin(一 ) 4444= 2coscos/?-49、求z 2z6 + z28z 2 = 0在|z|vl 内根的个数。解：1个。10、设/（z）=（ WldX

6、,其中 C = z：|z|=3,试求 r（l + i）./f(l + 0 = (26z-12.11、求 f +i sin zdz + - f -Jet2 加 J|z|=3 (z _ l)(z - 4)解:f /x sill zdz + - f -= 0+) -1) = -1; o加=12 力川=3(z l)(z 4)12、设 z) = =g，求 Res(/(z),8). z -1解：Re5(/(z),oo) = 013、求函数在0v|z|v+s内的罗朗展式。14、求复数卬=二二的实部与虚部。Z + 1他 z-l_(z-l)(z-l)/zF+1 Z + ZZ + l |z + l |z + l

7、|z + l由G计A八产远程教肓学院15、设/(z) =1(Z l)(z 2)求/（z）在。=眨：0|2卜1内的洛朗展开式。解:f (z)=(z 1)(2)1 1-11 1-Fz-2 z-12 l z/2 l z16、求函数sin（2z3）的幕级数展开式。解:siii(2z3) = 2炉- +. + (1)”(In +1)!+.-317、求函数当，在Ov|z|+8内的罗朗展式。3136/1-3解:方方-+潟而+;四、证明题1、若函数/U）在zo处可导，则y（z）在zo连续。证明：根据定义可得：若函数;（Z）在Z0处可导，则穴Z）在Z0连续。2、若数列眨收敛，贝|J Re Zj与Im Z都收敛。

8、证明：利用不等式：以 一 X。U ） 一 汽区 Jl x“-x。F +“ 一）o F3、设函数共。在区域。内解析，试证：丸。在。内为常数的充要条件是汨在。内解析。证明（必要性）令（2）= . + ，则为实常数）.令女（若/二.“苍F 则4 = =%=乜=。即叫满足C-一见，且%尸,连续，故在_D内解析.（充分性）令/（=+揄，则f=一巾，由,力/长穴甲远程教肓学院因为与/(z)在口内解析，所以ax = V %=_% x = (-v)F=-v +=-(彳)=一g, JzL比较等式两边得, =与=与=.从而在心内珥”均为常数，故/(在心内为常 数.4、设8是函数f(z)的可去奇点且lim/(z) = AC,试证： Z-XRes(/(z)a) = -limz(/(z)-4)。Zf85、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且/()二 ,则7(Z)三(Vze)。证明：由于整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且/()二 ,则整函数f(z)是一个有界 整函数，由刘维尔定理知道，/(Z)三0(Vz e C)。