高考数学十高考真题精解（全国卷I）

1、2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I） 专题5 平面向量 十年树木，百年树人，十年磨一剑。本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷具有重要的应试性和导向性。三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。（一）2020考纲考点2020考纲要求平面向量的基本概念了解向量的实际背景理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示平面向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及

2、其几何意义，理解两个向量共线的意义了解向量线性运算的性质及其几何意义平面向量的基本定理及其坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题（二）本节考向题型研究汇总题型考向考点/考向平面向量的基

3、本定理及其坐标表示会利用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算会利用平面向量的性质解决相关问题平面向量的数量积会利用向量的数量积公式和相关性质解决向量的实际问题平面向量的几何表示会利用向量的坐标运算表达平面几何中的相关问题平面向量的综合应用会利用平面向量解决相关实际问题一、考向题型研究一： 平面向量的基本定理及其坐标表示（2017新课标I卷T13文科）已知向量=（1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=7【答案】7【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值【解析】解：向量=（1，2），=（m，1），=（1+m，3），向量+与垂直，（）=（1+

4、m）（1）+32=0，解得m=7故答案为：7【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用（2016新课标I卷T13文科）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x= . 【答案】【解析】依题x+2(x+1)=0，解得x=（2011新课标I卷T13文科）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k垂直，则k=【答案】1【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值【解析】解：垂直即k=1故答案为：1【点睛】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平

5、方等于向量的平方一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.

6、三、平面向量的坐标运算1向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2x1，y2y1）.2向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则abx1y2x2y1=0.4向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.*平

7、面向量的坐标运算1向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标2解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的*向量共线（平行）的坐标表示1利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量2利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利

8、用“若，则的充要条件是”解题比较方便3三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线4利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换。二、考向题型研究二： 平面向量的数量积(2019新课标I卷T7理科)已知非零向量a，b满足=2，且（ab）b，则a与b的夹角为ABCD【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积

9、及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为（2016新课标I卷T13理科）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= 【答案】-2【解析】由已知得：，解得（2017新课标I卷T13理科）已知向量，的夹角为60，|=2，|=1，则|+2|=【答案】2【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可【解析】解：【解法一】向量，的夹角为60，且|=2，|=1，=+4+4=22+421cos60+412=12，|+2|=2【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在OAC中，由余弦定理得|=2，即|+2|=2故答案为

10、：2【点睛】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题（2012新课标I卷T15文科）已知向量，夹角为，且|=1，|=，则|= .【答案】【解析】|=，平方得，即，解得|=或（舍）(2013新课标卷T13理科)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.【答案】2【解析】cta(1t)b，bctab(1t)|b|2.又|a|b|1，且a与b夹角为60，bc，0t|a|b|cos 60(1t)，01t.t2.一、平面向量的数量积1平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其

11、中是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度. （3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.2平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则交换律：；数乘结合律：；分配律：.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角： .（4）垂直与平行：；ab

12、ab=|a|b|.【注】当与同向时,；当与反向时,.（5）性质：|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立).三、平面向量的应用1向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量

13、用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.*平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.（3）当题中出现一个向量式子的模长时，例如，可以先对整个式子

14、进行平方，向量的平方就相当于模长的平方，带入数量积公式，即可求解*平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围(3)由向量的模求夹角对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.三、考向题型研究三： 平面向量的几何表示（2015新课标I卷T2文科）已知点，向量，则向量AB

15、CD【答案】A【解答】解：由已知点，得到，向量，则向量；故选：（2015新课标I卷T7理科）设为所在平面内一点，则（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】由题知=，故选A.考点：平面向量的线性运算(2014新课标卷T15理科)已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为【答案】90【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论【解析】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则，即与的夹角为90，故答案为：90【点睛】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础平面向量

16、线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.（4）平面向量进行运算时，如果是正三角形，直角梯形，圆，正方形，长方形，间距相等的表格等时，应该建立直角坐标方程系，把每个点的坐标表示出来，带入进行计算，如果这些图形的

17、长度未知时，可以设立参数表示，表达出相关关系式子，可以求解四、考向题型研究四： 平面向量的综合应用（2018新课标I卷T6理科） 在ABC中，AD为BC边上的中线，为AD的中点，则EB=A. 34AB-14AC B. 14AB-34ACC. 34AB+14AC D. 14AB+34AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=12BA+12BC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到BC=BA+AC，之后将其合并，得到BE=34BA+14AC，下一步应用相反向量，求得EB=34AB-14AC，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得BE=12B

18、A+12BC=12BA+12(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.（2011新课标I卷T10理科）已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题P1：|+|10，）；P2：|+|1（，；P3：|10，）；P4：|1（，；其中的真命题是（）AP1，P4BP1，P3CP2，P3DP2，P4【答案】A【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是

19、解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围【解析】解：由，得出22cos1，即cos，又0，故可以得出（，故P3错误，P4正确由|+|1，得出2+2cos1，即cos，又0，故可以得出0，），故P2错误，P1正确故选：A【点睛】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力1向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决基向量法适当选取一组