1.2.应用举例4课时课件新课标人教A版必修5

1、1.2.1 应用举例解斜三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：2、 大角对大边，小角对小边 。2.余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角； （3）判断三角形的形状。推论:斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。一边和两角(ASA或A

2、AS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)解斜三角形理论在实际问题中的应用实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南600300450200ABCD点A在北偏东600，方位角6

3、00.点B在北偏西300，方位角3300.点C在南偏西450，方位角2250.点D在南偏东200，方位角1600.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离坡角: tan=垂直距离/水平距离ACB51o55m75o测量距离例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。ABCDABCDa解：如图，测量者

4、可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，ADB=分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ，BDA=求A、B两点间距离 .注：阅读教材P12，了解基线的概念练习1

5、.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m） （1）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度 （2）例题中涉及一个怎样的三角形？在ABC中已知什么，要求什么

6、？CAB练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度 已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。 CAB测量高度测量垂直高度 1、底部可以到达的 测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。 图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想BEAGHDC2、底部不能到达的 例3 AB是底部B

7、不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。BEAGHDC解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法BEAGHDC分析：根据

8、已知条件，应该设法计算出AB或AC的长ABCDabCD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。解：在ABC中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，ABCDab例5：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD 分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一

9、山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.解：在ABC中，A=15, C= 25 15=10.根据正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为1047米。变式：某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？ 例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的

10、方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile）?解：在 ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，练习1如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离 ）（精确到1mm） 已知ABC中， BC85mm，AB340mm，C80，求AC 解

11、：（如图）在ABC中， 由正弦定理可得：因为BCAB，所以A为锐角 ， A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：解 题 过 程答：活塞移动的距离为81mm 解 题 过 程 解：如图，在ABC中由余弦定理得：A 2.我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB 我舰的追击速度为14海里/小时，练习又在ABC中由正弦定理得：故我舰航行的方向为北偏东3. 3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。总 结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明四、面积公式推导CBAD应用四：有关三角形计算 例8: 如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88m, 127m, 这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2）应