水资源系统分析及应用：第六章 多目标规划

1、第六章 多目标规划 同时考虑多个决策目标时，称为多目标规划问题。6-0 引言从线性规划问题可看出： 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由

2、于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计划指标之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规划方法，从而使一些线性规划无法解决的问题得到满意的解答。6-1 多目标规划问题多目标规划问题的提出 在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。 目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓急地考虑问题。例6-1：一个企业需要同一种原材

3、料生产甲乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，从而获得的利润也不相同（如下表）。那么，该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？如何安排生产，使利润达到最大。用单纯形法求得最优解=（20，20）最优值=200（百元）问题：该厂提出如下目标（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；如何安排生产？例6-2：某车间有A、B两条设备相同的生产线，它们生产同一种产品。A生产线每小时可制造2件产品，B生产线每小时可制造1.5件产品。如果每周正常工作时数为45小时，要求制定完成下列目标的生产计划： （1）生产量达到210件/周；（

4、2） A生产线加班时间限制在15小时内；（3）充分利用工时指标，并依A、B产量的比例确定重要性。例6-3：某电器公司经营的唱机和录音机均有车间A、B流水作业组装。数据见下表。要求按以下目标制订月生产计划：（1）库存费用不超过4600元；（2）每月销售唱机不少于80台；（3）不使A、B车间停工（权数由生产费用确定）；（4）A车间加班时间限制在20小时内；（5）每月销售录音机为100台；（6）两车间加班时数总和要尽可能小（权数由生产费用确定）；多目标优先级 先将目标等级化：将目标按重要性的程度不同依次分成一级目标、二级目标.。最次要的目标放在次要的等级中。目标优先级作如下约定：对同一个目标而言，若

5、有几个决策方案都能使其达到，可认为这些方案就这个目标而言都是最优方案；若达不到，则与目标差距越小的越好。目标优先级作如下约定： 不同级别的目标的重要性是不可比的。即较高级别的目标没有达到的损失，任何较低级别的目标上的收获都不可弥补。所以在判断最优方案时，首先从较高级别的目标达到的程度来决策，然后再其次级目标的判断。目标优先级作如下约定：同一级别的目标可以是多个。各自之间的重要程度可用数量（权数）来描述。因此，同一级别的目标的其中一个的损失，可有其余目标的适当收获来弥补。多目标规划解的概念：若多目标规划问题的解能使所有的目标都达到，就称该解为多目标规划的最优解；若解只能满足部分目标，就称该解为多

6、目标规划的次优解；若找不到满足任何一个目标的解，就称该问题为无解。例6-4：（例6-1）一个企业需要同一种原材料生产甲乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，从而获得的利润也不相同（如下表）。那么，该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？如何安排生产，使利润达到最大。前面已经求得最优解=（20，20）最优值=200（百元）问题：该厂提出如下目标（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；如何安排生产？对例6-1的问题，设超过一吨钢材与超过5个工时的损失相同。现有四个方案进行比较优劣？目标：（1）利润达到280百元；（2

7、）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；对于（1），只有方案4没有完成。排除方案4。对于（2），只有方案2达到了，因此方案2是最优。目标：（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；方案1与方案3都达到了（1），又没达到（2）方案1与（2）的差距：工时损失=（110-100）*5+（130-120）*1=60方案3与（2）的差距：工时损失=0*5+（190-120）*1=70方案1优于方案3。方案2优于方案1优于方案3优于方案4例6-4：继续上例目标：（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；对于（1），三个方案都没有完成。但方

8、案3离目标最远，方案3最差。方案1与（2）的差距：工时损失=（108-100）*5+（130-120）*1=50方案2与（2）的差距：工时损失=0*5+（160-120）*1=40方案2优于方案1方案2优于方案1优于方案36-2 多目标规划问题的数学模型多目标的处理 为了将不同级别的目标的重要性用数量表示，引进P1，P2，.,用它表示一级目标，二级目标，.，的重要程度，规定P1P2 P3 .。称P1，P2，.,为级别系数。约束方程的处理差异变量：决策变量x超过目标值b的部分记d+决策变量x不足目标值b的部分记d-d+ 0, d- 0 且 x- d+ + d-= b多目标的综合若决策目标中规定

9、x b, 当 d+ = 0 时目标才算达到。多目标的综合若决策目标中规定 x b, 当 y+=0 时目标才算达到。若决策目标中规定 x b, 当 d- = 0 时目标才算达到。多目标的综合若决策目标中规定 x b, 当 y+=0 时目标才算达到。若决策目标中规定 x b, 当 y-=0 时目标才算达到。若决策目标中规定 x = b, 当 d+ = d- = 0 时目标才算达到。例6-5（例6-4)解：引进级别系数P1：（1）利润达到280百元；P2：（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；（权数之比5：1）数学模型：目标函数：Min S=P1d1-+P2(5d2+d3+)约束方程： 6

10、X1+4X2+ d1- d1+=280 2X1+3X2+ d2- d2+=100 4X1+2X2+ d3- d3+=120 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3)例6-6（例6-2) 某车间有A、B两条设备相同的生产线，它们生产同一种产品。A生产线每小时可制造2件产品，B生产线每小时可制造1.5件产品。如果每周正常工作时数为45小时，要求制定完成下列目标的生产计划： （1）生产量达到210件/周；（2） A生产线加班时间限制在15小时内；（3）充分利用工时指标，并依A、B产量的比例确定重要性。解：设A，B生产线每周工作时间为X1，X2。A，B的产量比例2：1.5 = 4:3目标函数

11、：Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4-约束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+=210 （生产量达到210件/周） X1 + d2- d2+=60（A生产线加班时间限制在15小时内） X1 + d3- d3+=45 （充分利用A的工时指标） X2+ d4- d4+=45 （充分利用B的工时指标） X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3,4)A，B的产量比例2：1.5 = 4:3目标函数： Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4-约束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+= 210 X1 + d2- d2+= 60 X1

12、 + d3- d3+= 45 X2 + d4- d4+= 45 X1,X2,di-, di+ 0 (i=1,2,3,4)例6-7(例6-3)：(1)库存费用不超过4600元；(2)每月销售唱机不少于80台；(3)不使A、B车间停工（权数由生产费用确定）；(4)A车间加班时间限制在20小时内；（5）每月销售录音机为100台；（6）两车间加班时数总和要尽可能小（权数由生产费用确定）；解：设每月生产唱机、录音机X1，X2台。且A、B的生产费用之比为100：50=2：1目标函数：Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5- +P4d41+ P5d3-+ P5d3+2P6d4+ P6d

13、5+约束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600 （库存费用不超过4600元） X1 + d2- d2+=80 （每月销售唱机不少于80台） X2 + d3- d3+=100 （每月销售录音机为100台） 2X1 + X2+ d4- d4+=180 （不使A车间停工） X1 + 3X2+ d5- d5+=200 （不使B车间停工） d4+ d41- d41+=20 （A车间加班时间限制在20小时内） X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5)目标函数：Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5- +P4d41+ P5d3-+

14、 P5d3+2P6d4+ P6d5+约束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600 X1 + d2- d2+=80 X2 + d3- d3+=100 2X1 + X2+ d4- d4+=180 X1 + 3X2+ d5- d5+=200 d4+ d41- d41+=20 X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5)6-3 多目标决策的特点多目标性：目标的不可公度性：目标之间的矛盾性：定性指标与定量指标相混合：1）多目标性决策问题的多目标性，有示例所见，是显而易见的。2）目标的不可公度性是指：量纲的不一致性，即各目标没有统一的衡量标准或计量单位，因

15、而难以比较。例如：投资项目评价3）目标之间的矛盾性如果多目标决策问题中存在某个备选方案，它能使所有目标达到最优，即存在最优解，此时，不存在目标间的矛盾性。一般情况下，各个备选方案在各目标间存在着某种矛盾。即如果采用一种方案去改进某一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。4）定性指标与定量指标相结合在多目标决策中：有些指标是明确的，可以定量表示出来，如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的，如候选人问题中，有变量：人的思想品德、工作作风、机制改革问题、市场应变能力。不能用求解单目标决策问题的方法求解多目标决策问题。 6-4 多目标决策问题的分类1）多属性决策问题（有限方案多目

16、标决策问题）决策变量是离散的备选方案数量是有限的对备选方案进行评价后排定各方案的优劣次序，再从中择优。2）多目标决策问题（无限方案多目标决策问题）决策变量是连续的备选方案是无限的用线性规划理论，进行向量优化，选取最优方案多属性决策问题和多目标决策问题，都是多准则决策问题。6-5 多目标决策的求解过程第一步，提出问题。第二步，阐明问题。第三步，构造模型。第四步，分析评价。第五步，择优实施。1）提出问题第一步，提出问题。目标高度概括。2）阐明问题第二步，阐明问题。使目标具体化，要确定衡量各目标达到程度的标准。即属性以及属性值的可获得性，清楚地说明问题的边界与环境。3）构造模型第三步，构造模型。选择

17、决策模型的形式，确定关键变量以及这些变量之间的逻辑，估计各种参数，并在上述工作的基础上产生各种备选方案。4）分析评价第四步，分析评价。利用模型并根据主观判断，采集或标定各备选方案的各属性值，并根据决策规则进行排序或优化。5）择优实施第五步，择优实施。根据优化结果，选择优化方案，付诸实施。6-6 多目标规划问题的求解1)多目标规划问题的图解法例6-8 Min S = d1+ X1+2X2+ d1- d1+ = 10 X1+2X2 6 X1+X2 4 X1,X2,d1-, d1+ 0 x1x204681021342X1+2X2 6x1x204681021342X1+X2 4x1x204681021

18、342x1x204681021342x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)当 Min S = d1+ 达到时 d1+ = 0 x1x204681021342x1+2x2=105d1-AB(2,2)当 Min S = d1+ 达到时 d1+ = 0 x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 25d1-AB(2,2)当 Min S = d1+ 达到时 d1+ = 0 x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 45d1-AB

19、(2,2)有无穷多解：点（0，3）和点（2，2）连线上的点都是最优解。(0,3)x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 65d1-AB(2,2)有无穷多解：点（4，0）和点（0，2）连线上的点都是最优解。(0,3)(4,0)(0,2)x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 75d1-AB(2,2)有无穷多解：点（1，1）和点（0，3/2） （3，0）连线上的点都是最优解。(0,3)(4,0)(1,1)例6-9 Min S=P1d1-+P2d2+5 P3d3-+ P3d1+ X1+X2+ d1- d1+=40 X1+X2 + d

20、2- d2+=50 X1 + d3- =30 X2+ d4- =30 X1,X2,dI-, dI+ 0(I=1,2,3,4)x1x2020304050101030402050d1-d1+X1+X2=40 x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-X1+X2=50 x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-X1=30 x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-d4-X2=30 x1x2020304050101030402050d1+d2+d2-d3-d4-Min d1- = 0可行域如图x

21、1x2020304050101030402050d1+d2-d3-d4-Min d2+ =0可行域如图x1x2020304050101030402050d1+d2-d4-Min d3- = 0 线段AB是可行域ABx1x2020304050101030402050d2-d4-Min d1+ = 0P=(30,10)唯一最优解。 d2- =10 d4- = 20P例6-10 Min S=P1d1-+P2d2+ P3d3-+ P3d4- 5X1+10X2+ d1- d1+=100 2X1 + X2 + d2- d2+=14 X1 + d3- d3+=6 X2+ d4- d4+=10 X1,X2,d

22、i-, di+ 0(i=1,2,3,4)x1x20101520255515201025d1+d1-5X1+10X2=100 x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-2X1 +X2 =14x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-X1 =6x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-X2=10 x1x20101520255515201025d1+d2+d2-d3+d3-d4+d4-Min d1- = 0 x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d3-d4

23、+d4-Min d2+ = 0可行域如图x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+d4-Min d3- =0可行域为空如图x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Min d3- 0Min d4- = 0可行域如图d3-(2,10)x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Min d3- = 0Min d4- 0可行域为空如图d4-对于目标P1与目标P2很容易达到。目标P3的两个指标不能同时满足，否则无解。又因为P3中的两个目标同样重要，要讨论 （1）Min d3-=0 Min d4- 0 原问题无解。（2）

24、Min d3- 0 Min d4-=0原问题(2,10)是次优解。例6-11 Min S=P1d1-+P1d2- X1 +d1- d1+=15 4X1 + 5X2 + d2- d2+=200 3X1 +4X2 120 X1 -2X2 15 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2)x1x2020304050101030402050d1+d1-X1=15x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-4X1 + 5X2 =200 x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-3X1 +4X2 120 x1x2020304050101030

25、402050d1+d1-d2+d2-X1 -2X2 15x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-x1x2020304050101030402050d1+d2+同时考虑 d1- =0, d2- =0 原问题无解。2) 层次分析法（AHP法）层次分析法概述层次分析法的基本步骤层次分析法的应用层次分析法的发展(1) 层次分析法概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是20世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价决策法。将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化,保持决策者思维的一致性。先分解后综合的系统思想在决策中

26、使用AHP法的优点：适用性 选择和判断 反映了对问题的认识简洁性 应用只需掌握简单的数学工具 特征: 分解、判断、综合实用性 定性与定量结合 优化技术 应用范围广系统性 复杂问题 系统的各个组成部分与相互关系(2) 层次分析法的基本步骤建立层次结构模型；构造判断矩阵；层次单排序及一致性检验；层次总排序及一致性检验。建立层次结构模型多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。目标层：解决问题要想达到的目标。准则层：针对目标，评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。方案层：解决问题的方案。分解法：目的 分目标(准则) 指标(子准则) 方案 解释结构模型化方法(ISM

27、法)例：购买某型号设备在功能、价格、维护三个方面进行考虑例 挑选合适的研究工作有三个单位表示愿意录用某毕业生，该生根据已有信息建立了一个层次结构模型。 层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与下一层次要素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全独立性结构由上述两种结构结合的混合结构 完全相关结构 完全独立性结构 混合结构 判断矩阵判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据。建立判断矩阵假设在准则H下要素 的权重分别为 ，即 表示以判断准则H 的角度考虑要素 对 的相对重

28、要程度。对于准则H，对下一层的n个要素 进行两两比较，来确定矩阵的元素值 应该满足： 判断尺度判断矩阵中的元素 是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所示。选择19之间的整数及其倒数作为aij取值的主要原因是，它符合人们进行比较判断时的心理习惯实验心理学表明，普通人在对一组事物的某种属性同时作比较、并使判断基本保持一致时，所能够正确辨别的事物最大个数在59 判断矩阵标度定义标度含义1两个要素相比，具有同样重要性3两个要素相比，前者比后者稍微重要5两个要素相比，前者比后者明显重要7两个要素相比，前者比后者强烈重要9两个要素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8上述相邻判断

29、的中间值倒数两个要素相比，后者比前者的重要性标度相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算(单排序)在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H 的相对重要度，也就是Ai关于H 的权重由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度求A的最大特征值和其对应的特征向量单位化权重向量W(a)求和法(算术平均法) A的元素按列归一化将归一化后的各列相加将相加后的向量归一化（b）方根法(几何平均法) A的元素按行相乘开n次方归一化(c)特征根方法 由正矩阵的Perron定理可知 存在且唯一，W

30、的分量均为正分量，可以用幂法求出 及相应的特征向量W。该方法对AHP的发展在理论上有重要作用。(d)最小二乘法 用拟合方法确定权重向量 ，使残差平方和为最小，这实际是一类非线性优化问题。 普通最小二乘法 对数最小二乘法 求特征值：相容性（一致性）判断根据矩阵理论，判断矩阵在满足上述一致性的条件下，n阶矩阵具有唯一非零的、也是最大的特征值 ，其余特征值均为零。 W 是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。 由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三个“一致性“则不易保证。如判断矩阵A被判断为A有偏差，则称A为不相容判断矩阵，这时就有 若矩阵A 完全相容，则有max=n ，否则maxn 这样

31、就提示我们可以用max-n的关系来度量偏离相容性的程度。度量相容性的指标为C.I. 一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W 是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。一致性检验：判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，为克服一致性判断指标随n增大而明显增大的弊端，于是引入修正值R.I. ，见下表：n12345678910R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49R.I.是同阶平均随机一致性指标 C.R .作为衡量判断矩阵一致性的指标更为合理的 C.R.0.1时，便认为判断矩阵具有满意的一致性综合重要度的计算最终归结为最低层（方

32、案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣的次序。(3) 层次分析法的应用例1 购买某型号设备在功能、价格、维护三个方面进行考虑对准则G的G-C矩阵G C1C2C3 WC1 153max=3.038 0.6333C21/511/3 C.I.=0.019 0.1061C31/331 C.R.=0.03 0.2604对准则C1的C1-P矩阵C1P1P2P3 WP111/42 max=3 0.1818P2418C.I.=0 0.7272P31/21/81C.R.=0 0.0910对准则C2的C2-P矩阵 C2 P1 P2 P3 WP1 1 4 1/3 max=3.0180.

33、2572P2 1/4 1 1/8 C.I.=0.009 0.0738P3 3 8 1 C.R.=0.0150.6690对准则C3的C3-P矩阵 C3 P1 P2 P3 WP1 1 1 1/3 max=3.029 0.1867P2 1 1 1/5 C.I.=0.014 0.1577P3 3 5 1 C.R.=0.02 0.6555层次总排序：B C A C1 C2 C3 总排序结果 0.6333 0.10610.2604P1 0.1818 0.25720.18670.1910P2 0.72720.07380.15770.5094P3 0.09100.66900.65550.2993例2 设某高校

34、拟从三个候选人中选一人担任中层领导候选人的优劣用六个属性去衡量：健康状况业务知识书面表达能力口才道德水平工作作风关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A为 111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222311健康状况 X Y ZX 1 1/4 1/2 max=3.0193 0.1429Y 4 1 3 C.R.=0.019 0.5714Z 2 1/3 1 0.2857业务知识 X Y ZX 1 1/4 1/5 max=3.0258 0.0974Y 4 1 1/2 C.R.=0.025 0.3331Z 5 2 1 0.569

35、5书面表达能力 XYZX 13 1/3max=3.5607Y 1/3 11 C.R.=0.539 *Z 311调整判断矩阵为： X Y ZX 1 3 1/3 max=3.0328 0.2583Y 1/3 1 1/5 C.R.= 0.032 0.1047Z 3 5 1 0.6370口才 X Y ZX 1 1/3 5 max=3.0651 0.2790Y 3 1 7 C.R.=0.062 0.6491Z 1/5 1/7 1 0.0719道德水平 X Y ZX 1 1 7 max=3.000.4667Y 1 1 7 C.R.=0.0000.4667Z 1/7 1/7 1 0.0667工作作风 X Y

36、 ZX 1 7 9 max=3.2074Y 1/7 1 5 C.R.=0.199 *Z 1/9 1/5 1调整为： X Y ZX 1 7 9 max=3.02130.7928Y 1/7 1 2 C.R.= 0.0200.1312Z 1/9 1/2 1 0.0760 健康状况 业务知识 书面表达能力 口才 道德水平 工作作风 W=(0.3771,0.3148,0.30810)可知，应选择候选人X担任该职务例3 挑选合适的研究工作 经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。 （层次总排序）如下表所示 准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单

37、位名气总排序准则权值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79800.3952工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.3052(4) 层次分析法的发展层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了有力的依据。AHP 方法经过几十年的发展，许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善，形成了一些新理论和新方法，像群组决策

38、、模糊决策和反馈系统理论近几年成为该领域的一个新热点。层次分析法其局限性主要表现在：它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。只能从方案中选优，不能生成方案。应用层次分析法的注意事项应用层次分析法研究问题时，主要困难有两个： 如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； 如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。6.2目标规划方法6.2.1目标规划模型多目标线性规划问题问题：能否化为单目标线性规划问题求解？如何处理各目标的主次、轻重？6.2目标规划

39、方法例6.1 某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所消耗的原材料及设备工时、材料和设备工时的限额如下表所示。甲 乙限额原材料（公斤）设备（工时）2 33 22426利润（元/件）4 2产品消耗原料例6.1决策者根据市场需求等一系列因素，提出下列目标（依重要程度排列）：首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量；尽可能充分利用工时，但又不希望加班；确保达到计划利润30元。试对厂家生产作出决策分析。设甲、乙产品的产量分别为x1、x2件。6.2目标规划方法目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划的基本方法对每一个目标函数引进一个期望值；引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将

40、目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组；引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。 6.2目标规划方法1、目标函数的期望值ek对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk(k=1, 2, , K)，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值ek 。在例6.1中乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为0；生产工时的目标值为26（工时）；利润的目标值为30（元）。6.2目标规划方法2、正负偏差变量对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量 正负偏差变量分别表示实际目标值超过和低于期望值的数值。引入偏差变量之后，目标就变成了约束条件，成为约束条件

41、组的一部分。6.2目标规划方法在例6.1中，令：d1+, d1-分别表示乙产品与甲产品产量之差超过和达不到目标值的偏差变量；d2+, d2-分别表示生产工时超过和达不到目标值的偏差变量； d3+, d3-分别利润超过和达不到目标值的偏差变量；则三个目标可化为含有偏差变量的约束条件6.2目标规划方法3、优先因子（优先等级）和权系数如何区别不同目标的主次轻重？凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2，并规定PkPk+1（表示Pk比Pk+1有更大的优先权，Pk+1级目标是在保证Pk 级目标实现的基础上才能考虑的）（k1,2，K）为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分别

42、赋于它们不同的权系数j优先等级及权数的赋值由决策者确定。6.2目标规划方法4、达成函数(准则函数)目标规划模型的目标函数准则函数由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构造而成。注：目标规划模型的目标函数是对各目标的偏差的综合（将多目标化为单目标），在目标函数中不包含原决策变量，且一定是极小型的（偏差最小）。4、达成函数(准则函数)当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小形式，具体有以下三种基本形式：要求恰好达到目标值(正、负偏差都要尽可能小)要求不超过目标值(正偏差应尽可能小)要求不低于目标值(负偏差应尽可能小)6.2目标规划方法在例6.1中，

43、首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量，赋于优先因子P1，目标为d1-尽可能小；次级目标是生产工时恰好达到目标值，赋于优先因子P2，目标为d2-和d2都要小；最后的目标是利润不低于30元，赋于优先因子P3，目标为d3-尽可能小；因此，可构造准则函数如下：6.2目标规划方法例6.1的目标规划模型为：6.2目标规划方法目标规划的一般模型6.2目标规划方法目标规划的建模步骤（1）假设决策变量；（2）建立约束条件；（3）建立各个目标函数；（4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；（5）确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数。 6.3化多为少方法对单层次多目标决策模型其中f1(x

44、), f2(x), , fm(x)表示m个目标函数，X表示满足某些约束条件的n维点集。 处理方法：（1）化为一个单目标问题 （2）化为多个单目标问题。 例6.5某厂在计划期内生产甲、乙两种产品。产品资源甲 乙资源限额原材料A（公斤）原材料B（公斤）设备C（工时）4 59 4310200240300价格（元/件）400600利润（元/件）70 120污染3 2例6.5设产品能全部销售出去问：计划期应如何安排生产，才能使利润和产值都达到最大，而造成的污染最小？解：设计划期分别生产甲、乙产品x1、x2件，则问题的数学模型为：6.3化多为少方法6.3.1主要目标法主要目标所有决策目标中，重要程度最高和

45、最为关键的目标。主要目标要求达到最优。其余目标作为非主要目标，满足一定条件即可（满意）。设f1(x)为主要目标，则由：可以得到（6.3）的一个有效解。例6.5决策者确定以利润最大为主要目标并要求：总产值至少应达到20000元，污染量则应控制在90个单位以下。由主要目标法可得到单目标规划问题：6.3化多为少方法6.3.2线性加权和法给目标fi(x)赋以权系数i（i=1, 2, , m）然后作新的目标函数构成单目标决策问题：难点：如何使多个目标用同一尺度统一起来（多种方法在下一章中介绍，可以将各目标统一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。6.3.2线性加权和法1.法 以两个目标的多目标决策问题为

46、例记：（即x(1)、 x(2)分别为以f1(x)和f2(x)目标的单目标问题的最优解）6.3.2线性加权和法1.法 化作单目标决策问题要求：c1是任意的非零常数。即可确定权系数。若进一步要求1+ 2=1，可得：例6.7设有多目标决策问题其中：试用法化为单目标决策问题。解：先分别求解得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T例6.7x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T则：对目标进行线性加权：化为单目标问题：6.3.2线性加权和法2.法 对多目标决策问题取：化为单目标决策问题：适用条件：fi*06.3化多为少方法6.3.3平方和加权法要求目标fi(x)与规定值fi*

47、相差尽量小（i=1, 2, , m），可构造目标函数：构成单目标决策问题：i 权系数，可按要求的相差程度分别给出。6.3化多为少方法6.3.4理想点法记：称为理想点。若所有x(i)都相同，记为 x(0)，则x(0)就是所求的多目标决策问题的最优解；若不然，则考虑求解下面的单目标决策问题：例6.7x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T用理想点法化为单目标决策问题构造目标函数6.3化多为少方法6.3.5步骤法（STEM法）是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析

48、者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。6.3.5步骤法（STEM法）设有多目标线性规划问题：其中6.3.5步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤：分别求解k个单目标线性规划问题得到的最优解记为x(i)，其相应的目标函数值记为fi*（i=1, 2, , k），并x(i)代入其它目标函数：结果可列表给出（称为支付表）。STEM法支付表x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk6.3.5步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤：求权系数：从支付表中得到为找出目标值的偏差以及消除不同目标

49、值的量纲不同的问题，进行如下处理：归一化后得权系数：6.3.5步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤：求解（使目标与理想值的最大加权偏差最小）该线性规划问题的最优解记为x0 。6.3.5步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤：将x0 和相应的目标值交给决策者判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，则可停止计算；若认为相差太远，则考虑适当修正 。如：考虑对第r个目标让一点步，降低一点目标值fr 。6.3.5步骤法（STEM法）STEM法的求解步骤：求解求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满意了为止。例6.9某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，生产过程会在空气中

50、引起放射性污染，因此决策者有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污染是1单位，由于机器能力（小时）、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是（ x1、x2分别为甲、乙产品的产量）：例6.9该问题的目标函数为：例6.9STEM法求解先分别求解得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0例6.9STEM法支付表f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.523.625x(2)=

51、(0, 0)T00例6.9STEM法求解求权系数：从支付表中得到归一化后得权系数：例6.9STEM法求解求解最优解为x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 例6.9STEM法求解将x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交给决策者判断。决策者将其与理想值（45.5, 0）进行比较后，认为f2 是满意的，但利润太低。且认为可以接受污染值为10个单位。修改约束集求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=-10 决策者认为满意，停止迭代。 6.4 多维效用并合方法6.4.1 多维效用并合

52、模型多目标决策问题其目标属性的特点：目标间的不可公度性即：对各目标的评价没有统一的量纲，不能用同一标准评价。目标间的矛盾性提高某一目标值，可能会损害另一目标值。多维效用并合方法是解决目标间的不可公度性和矛盾性的一种有效途径。6.4.1 多维效用并合模型设多目标决策方案有m个可行方案：a1， a2，.，am有s个评价准则，测定和计算s个评价准则的效用函数为：u1， u2，.，us得到这m个可行方案在s个评价准则下的效用值分别是：u1(ai )，u2(ai ) ，.，us(ai ) (i=1，2，.，m)6.4.1 多维效用并合模型多维效用并合方法为了从总体上表示可行方案ai 的总效用，需要通过某

53、种特定的方法和逻辑程序，将s个分效用合并为总效用，并依据各可行方案的总效用对其进行排序。这一多目标决策方法称为多维效用并合方法。主要用于序列型多层次目标准则体系Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.图6.6 序列型多层次目标准则体系6.4.1 多维效用并合模型图6.6中：H表示可行方案的总效用值，即满意度；v1，v2，.，vl 表示第二层子目标的效用值；如此类推，w1，w2，.，wk 表示倒数第二层各子目标的效用值；u1，u2，.，us 表示最低一层各准则的效用值。6.4.1 多维效用并合模型效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并

54、合得到： 符号“”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。6.4.1 多维效用并合模型多维效用并合的最满意方案为a* ，其满意度满足：第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值：最后，可得可行方案ai 的满意度为：6.4.2 多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。多维效用合并规则可由二维效用合并规则导出，故先讨论二维效用合并规则。二维效用函数与二维效用曲面设效用u1，u2分别在区间0，1上取值，二元连续函数W=W(u1，u2)称为二维效用函数，其定义域是坐标平面u1，u2上的一个正方形，称为二维效用平面，其值域是W轴上的区间0，1，曲面W

55、=W(u1，u2)称为二维效用曲面。6.4.2 多维效用并合规则多维效用函数与多维效用曲面设效用u1，u2，.，un 分别在区间0，1上取值，n元连续函数W=W(u1，u2，.，un)称为n维效用函数。其定义域是n维效用空间u1，u2，.，un上有2n个顶点的凸多面体。其值域是0，1。曲面W=W(u1，u2，.，un)称为n维效用曲面。6.4.2 多维效用并合规则1. 距离规则称满足以下条件的并合规则为距离规则：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值1，即： W(1，1)=1；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值(最小值)，即： W(0，0)=0 ；二效用之一达到最大值，均不能使并

56、合效用达到最大值，即：0W(u1，1)1， 0u110W(1，u2)1， 0u20时，近似于乘法规则形式： 6.4.3 多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。例：“我国总人口目标”实例经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命70年，制定控制人口目标，宜以100年为时间范围。需要确定100年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。例：“我国总人口目标”方案：对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为2亿、3亿、4亿、5亿、6亿、7亿、8亿、9亿、10亿、11亿、12亿、13亿、1

57、4亿、15亿14个人口方案，分别记为ai (i=1, 2, , 14),其满意度分别为Hi (i=1, 2, , 14)。例：“我国总人口目标”各国对比u9我国人口总目标HV1V2吃用v1实力v2用w2吃w1粮食u1鱼肉u2空气u4水u5能源u6土地u3最低总和生育率u8GNPu7目标准则体系例：“我国总人口目标”效用并合1、u1（粮食）、u2（鱼肉）并合为w1宜用乘法规则：w1 u1 u22、 u3（土地）、 u4（空气）、 u5（水）并合为w2宜用乘法规则w2 u3 u4 u53、 u6（能源）、 u7（GNP）并合为v2宜用乘法规则v2 u7 u84、u8（min）、 u9（各国对比）并

58、合为V2宜用乘法规则V2 u8 u9 例：“我国总人口目标”效用并合5、w1（吃）、w2（用）并合为v1宜用加法规则：v1 w1 + (1- ) w26、 v1（吃用）、 v2（实力）并合为V1宜用加法规则：V1 v1 + (1- ) v27、 V1、 V2并合为H宜用乘法规则：H V1 V2得：6.5 层次分析方法AHP方法是美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的，AHP决策分析法是Analytic Hierarchy Process的简称。是一种定性与定量相结合的多目标决策分析方法。AHP决策分析法，能有效地分析非序列型多层次目标准则体系，是解决复杂的非结构化的经济决策问题

59、的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。例6.10科研课题的综合评价综合评价科研课题成果贡献人才培养可行性发展前景实用价值科技水平优势发挥难易程度研究周期财政支持经济效益社会效益6.5.1AHP方法的基本原理首先要将问题条理化、层次化，构造出能够反映系统本质属性和内在联系的递阶层次模型。1.递阶层次模型根据系统分析的结果，弄清系统与环境的关系，系统所包含的因素，因素之间的相互联系和隶属关系等。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。1.递阶层次模型AHP的层次结构既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般

60、将层次分为三种类型：最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。 1.递阶层次模型H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高层中间层最低层G21G22G1k-1G1k层次结构图1.递阶层次模型相邻两层元素之间的关系用直线标明，称之为作用线，元素之间不存在关系就没有作用线。若某元素与相邻下一层次的所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次的部分元素有关系，则称为不完全层次关系。实际中，模型的层次