反比例函数动点、面积专题(附详解)

1、第 页共15页判断点）,过点的面积是反比例函数动点、面积专题（附详解）一、解答题（共小题）i已知反比例函数=的图象经过点（-+3,）.（）试确定此反比例函数的解析式；（）点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（）已知点（mV3）也在此反比例函数的图象上（其中）,在线段上任取一点，设点的纵坐标为，过点作丄轴于点，连接，使的面积是手，求代数式n2-I-V2n-2v3的值.、如图，点是正比例函数m和反比例函数=的图象的一个交点.第 #页共15页第 页共15页（）求这两个函数的解析式;m（）在反比例函数y=的图象上取一点，过点做垂直于轴，垂足为，点是直线上一

2、点，垂直于轴，垂足为B直线上是否存在这样的点Q使得的面积是的面积的倍？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.2、如图，已知次函数：-的图象与反比例函数y=）的图象分别交于、两点，点是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，设矩形的面积为；点为反比例函数图象上任意一点，过分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，设矩形的面积为，（）若设点的坐标为（，），请写出关于的函数表达式，并求取何值时，的最大值；（，观察图形，通过确定的取值，试比较、的大小.,5如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（-,-），且-1-）为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂

3、直于轴，垂直于轴，垂足分别是、.）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（，当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点Q使得与面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.、如图1已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(-2-)，且(-1-)为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂直于轴，垂直于轴，垂足分别是、.)写出正比例函数和反比例函数的关系式；()当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点Q使得与面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；()如图2当点在第一象限中的双曲线上运动时，作以、为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值.第 页共15页TOC o

4、1-5 h z7如图，点(a)和点(，)是反比例函数=图象上第一象限内的两个动点(b工)，且始终有.()求证：，；()是点关于轴的对称点，是点关于轴的对称点，连接分别交、于点、N求证：；求四边形的面积能否等于|?若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.第 页共15页反比例动点与面积答案与评分标准一、解答题(共7小题)fc&1、已知反比例函数尸一的图象经过点A(-.二，1).试确定此反比例函数的解析式；点0是坐标原点，将线段0A绕0点顺时针旋转30得到线段0B判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；已知点P(m,?m+6)也在此反比例函数的图象上(其中mVO),过P点作x轴的垂线，交x1

5、一r轴于点M.若线段PM上存在一点Q，使得OQM的面积是了，设Q点的纵坐标为n，求n2-.?n+9的值.考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。专题：综合题。分析：(1)由于反比例函数以的图象经过点A(-、Q,1)，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；首先由点A的坐标，可求出OA的长度，HOC的大小，然后根据旋转的性质得出ZA0B=30,OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；把点P(m,.?m+6)代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可一1得Q点的坐标为(m，n)，再由OQM的面积是，根据三角形的面积公式

6、及mVO，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2-2.$n+9的值.kQ解答：解：(1)由题意得1=，解得k=-，反比例函数的解析式为y=-；(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C.在RtAOC中，OC=：OA=U=2,zAOC=30,将线段OA绕O点顺时针旋转30。得到线段0B,4OB=30,OB=OA=2,0OC=6O.过点B作x轴的垂线交x轴于点D.在RtBOD中，BD=OB2BOD*3,OD令OB=1,点坐标为(-1,、卩)，:3(3)3由y=-=得xy=-.将x=-1代入y=-.中，得y=.?,点B(-1,3)在反比例函数y=-.的图象上.3点P(m,Vm+

7、6)在反比例函数y=-的图象上，其中mVO,m(Jm+6)=-、i3,m2+2、i3m+1=0,.PQJx轴，Q点的坐标为(m,n).OQM的面积是亍,1QM=,mV0,mn=-1,.m2n2+2,:22mn2+n2=0,2-2J3n=-1,.2-2J3n+9=8.点评：本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=-1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便.2、已知：反比例函数经过点B(1,1).求该反比例函数解析式；连接OB，再把点A(2,0)与点B连接，将KAB绕点O按顺时针

8、方向旋转135得到OA/B/,写出AV的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；若该反比例函数图象上有一点F(m,，)(其中m0),在线段OF上任取一点E,设_y;2E点的纵坐标为n,过F点作FM占轴于点M,连接EM,使OEM的面积是丁，求代数式第 页共15页甘-丄口-2.?的值.第 #页共15页第 页共15页分析：（1）函数式y=，且过（1,1）点，代入可确定k的值，从而求出函数式.（2）因为OAB是等腰直角三角形，旋转后求出A和B的坐标，从而求出Ab中点的坐标，可判断是否在双曲线线上.（3）因为EH=n,0M=m,OEM的面积是丁，从而可求出n和m的关系式，因为F在反比例函数

9、图象上，代入函数式，可求出结果._1解答：解：（1）反比例函数解析式：；（1分）（2）：巳知B（1，1），A（2，0）TOAB是等腰直角三角形顺时针方向旋转135，B（0，-J?），A（-从2，一2）.中点p为（-亍，-詁2）.（2分）（-）（-J2）=1（3分）点P在此双曲线上.（4分）(3).EH=n,0M=m计=二（5分）又F(m，它）在函数图象上V3m2亠=1.(6分)、违J3将m=代入上式，得丁一=1，.n2+3=3，2+=1-2.3=r3.(7分）点评：本题考查反比例函数的综合应用，关键是知道用已知点确定反比例函数式k的值，进而确定函数式，以及反比例函数上的点，和由这点做顶点的三角

10、形的面积的关系.3、如图,M点是正比例函数y=kx和反比例函数T的图象的一个交点.第 #页共15页第 #页共15页（1）求这两个函数的解析式;（2）在反比例函数的图象上取一点P,过点P做PA垂直于x轴，垂足为A,点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B,直线M0上是否存在这样的点Q,使得OBQ的面积是OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由.第 页共15页考点：反比例函数综合题。分析：（1）从图象上可看到正比例函数y=kx和反比例函数忙都过（1,2）点，从而可求出函数式.（2）P是反比例函数上的一点，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A,所以OPA的面积是三m,

11、点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B,Q点的坐标为（x,kx）,所以根据OBQ的面积是OPA的面积的2倍可列方程求解.m解答：解：（1）.y=kx过（-1,2）点，V-2,y=-2x.：y=过（-1,2）点，.m=-2.y=-2;(2)OPA的面积是壬m=1,Q点的坐标为(x,-2x),-2x|2,x=J2,IIII因为在第二象限所以Q点的坐标为（-.-，2.-）,或（t,-2.二）.点评：本题考查反比例函数的综合运用，关键能够熟练确定函数式，并能够掌握由函数图象上的点作为顶点的三角形面积和函数坐标之间的关系.4、如图，已知：一次函数:_2y=-x+4的图象与反比例函数：7=（x0）

12、的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为MM2，设矩形MMOM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为叫、N2，设矩形NNON2的面积为s2；（1）若设点M的坐标为（x,y）,请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S2的大小.第 #页共15页第 页共15页考点：反比例函数综合题；一次函数的图象。专题：计算题。分析：（1）已知M点坐标，根据M点在一次函数：y=-x+4的图象上，代入把M点纵坐标用x表示出来，从而表示出矩形

13、MMOM2的面积为S1；（2）观察图形S2，观察反比例函数在一次函数上方还是下方，从而比较其大小.解答：解：（1）M的坐标为（x，y），M点在还函数y=-x+4的图象上，y=-x+4，.*S1=xy=x（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，当x=2时，S1最大值；_2（2）设N（x1，y1），点N在反比例函数：7=图象上，丫2=*1丫1=2，由S1=S2可得:x2+4x=2,即x2-4x-2=0，哄=三二三，通过观察图象可得：当工=二二、-二时，S1=S2，当UV-工V-二_I工或工二、-工时，SVS2,当2s2.点评：此题考查一次函数和反比例函数的性质及应用，学会通过图象比较面积的

14、大小，比较简单.5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),且P(-1,-2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B.写出正比例函数和反比例函数的关系式；当点Q在直线M0上运动时，直线M0上是否存在这样的点Q,使得OBQ与MAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.考点：反比例函数综合题。专题：代数综合题。分析：(1)设反比例函数的解析式为yb,正比例函数的解析式为y=kb.把点M(-2,-1)分别代入其函数解析式，运用待定系数法即可求出对应的函数的关系式；一1一(2)当点Q在直线M0上运动时，假设

15、在直线M0上存在这样的点Q(x,乏x),使得OBQ与MAP面积相等，则B(0,卡x).根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可.解答：解：(1)设反比例函数的解析式为y=，正比例函数的解析式为y=kzx.正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),1=,-1=-2kS*k=2,1=乏.12正比例函数的解析式为y=p,反比例函数的解析式为y=1一(2)当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q(x,乏x),使得OBQ与MAP面积相等，则B(0,亍x).11111Sqbq=Sqap，2xx2x1,解得x=2.当x=2时，乏x=1；当x=-2时，乏x=-1.故在直线M

16、O上存在这样的点Q(2,1)或(-2,-1),使得OBQ与MAP面积相等.点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式及三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法.6、如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),且P(-1,-2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B.写出正比例函数和反比例函数的关系式；当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q,使得OBQ与MAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形

17、OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值考点：反比例函数综合题。专题：压轴题。分析：(1)正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；2因为P(-1,-2)为双曲线Y=y上的一点，所以OBQ、OAP面积为2,依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC,而点P(-1,-2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.解答：解：(1)设正比例函数解析式为y=kx

18、,将点M(-2,-1)坐标代入得心亍，所以正比例函数解析式为妊x,同样可得，反比例函数解析式为丫(2)当点Q在直线0M上运动时，设点Q的坐标为Q(m，三m),于是SQBQ=lBxBQ|=Tmxm=jm,而SapWI(-1)X(-2)|=1,所以有，2m2=1,解得m=2，所以点Q的坐标为Q(2,1)和Q?2,-1)；(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ,OQ=PC，而点P(-1,-2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，(8分)因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n,三)，222由勾股定理可得OQ2=n2+

19、r=(n-=)2+4,所以当(n-=)2=0即n-=0时，OQ2有最小值4,I又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2,由勾股定理得OP-5,J所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP+OQ)=2(.+2)=2.。+4.(10分)点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强要注意对各个知识点的灵活应用.7、如图，点P(a,b)和点Q(c,d)是反比例函数丫=二图象上第一象限内的两个动点(aVb,hC，且始终有OP=OQ.求证:a=d,b=c；P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M

20、、N.0求证：PQZP1Q1；求出点P的坐标；若不能，请说明理由.求四边形PQNM的面积S能否等于言？若能,考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定。专题：证明题；探究型。1分析：（1）由于点P（a,b）和点Q（c,d）是反比例函数y=图象上第一象限内的两个点，所以可用含a、c的代数式分别表示b、d,然后由0P=0Q,列出等式，将式子变形，即可得出结果；（2）右首先求出点Q的坐标，根据（1）的结论，把点P、Q四点的坐标都用含a、b的代数式分别表示，然后运用待定系数法分别求出直线PQ与直线PQ的解析式，发现它们的斜率相同，因而得出PQZP1Q1.1如果设PP1与y轴交于点A，QQ1与x轴交于点B，过点P作PDJx轴于点D，则SOPQ=S梯形PDBQ=y（a+b）（b-a）.设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C