固体物理17讲习题参考答案

1、第三讲3.1证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，而心立方的倒格子是体心立方。证：体心立方基矢取为N=yC+万2=(一亍+了+心&3=尹-j+Q其中a为晶格常数r2力一、2兀肚尹41G2/r一一b_1=-(/+；)=-(/+7)a21其倒格子基欠，按定义fl-l1TOC o 1-5 h z2兀hb2=r_(a3xa1)=L(j+k)一2b-一b3=xN)=(i+k)3Qi2可见，体心立方的倒格子是晶格常数为b=的面心立方。a同理可证，面心立方的倒格子是晶格常数为的体心立方。a3.2证明：倒格子原胞的体积为(2刃3/Q,其中Q为正格子原胞的体积证：正格子原胞体积!Q=&(万2X3)倒格子原胞体积

2、:Q*=百(玄X)=石血x音(%xa2)利用矢量公式Ax(BxC)=(AC)B-(AB)-C并利用性质5=2叫,可得木厂_In_83G=Sci、2/r=11QQ3.3倒格子欠量为Kh=h1bi+h2b2+h3b3,证明布里渊区边界方程为:-1-225-捫|=0证：布里渊区边界垂直且平分倒格欠斤/故该边界面上任一矢量满足(k-Kh)Kh=0即边界方程为2-r-l|2=03.4画图作出二维正方格子和二维简单六方晶格的前三个布里渊区。解：正方格子的倒格子仍是正方格子，六角格子的倒格子仍是六角格子。首先根据正格子原胞基欠计算倒格子原胞基欠（略），根据倒格子原胞基欠画出倒格子点阵,然后画出前三个布里渊区

3、。Tn/mZnIJn/uiK/ni正方格子的布里渊区六角格子的布里渊区3.5写出体心立方第一布里渊区图上点的倒格子空间坐标。布里渊区中心用I、表示，表示100轴，A表示111轴，工表示110轴。r（oo0）H（o-o）2（o-o）4NG扫Z88111P（）A（444888131第四讲4.1倒格子矢量为Kft=h1b1+h2b2+h3b3,证明布里渊区边界方程为:1221瓦-日瓦=0证明此方程就是波在晶体中(A1A2/23)晶面族上发生全反射的布喇格方程。证：布里渊区边界垂直且平分倒格矢斤“，故该边界面上任一欠嵬满足(斤押.心=0即边界方程为2-|,|2=0取斤方向最短的倒格矢为斤,Kh=nK0

4、将而间距公式d=In代入边界方程，有InInnCOS(p-=0其中，卩为斤与斤/，的夹角。取其余角，0=-(p，上式化为22dsin&=/以即Bragg公式。4.2.讨论KC1晶体的儿何结构因子及消光条件。提示,疋和C有相同的电子壳层结构和相同的原子形状因子。解：KC厂电子壳层结构相同，具有相同的原子形状因子，fK+=fcr=f单胞中4个K”，4个C，各自排为面心结构，设其坐标分别为K:(0,0,0)(y,y,O)(y,O,y)(O,y,y)Cl：C，0,0)+Kg几何结构因子厲紅=丈/严=/a+einH)1+e-，Xw+K)+e-H+Q+eK+L);=1消光时,HKL=0o条件:(1)H为奇

5、数或G1)H+K,H+L,K+L中有两奇一偶,即衍射面指数中H,K丄不能为全奇或全偶。因此，只需HKL中存在一个奇数，即会消光。注:由于/点=广，故对X射线衍射而言也可将晶体视为简单立方结构但此时晶格常数减小一倍，相应倒格子基矢扩大一倍。因此简单立方中(才K厶)所表示的晶面，如(111),在原系统中为(HKL)=(2H2K2厶)，即(222)。尽管对简单立方而言，不存在消光，HK1L可任取正整数值，但厶却只能取偶数，这丁前而的结果一致。43.证明対立方晶系进行X射线粉末衍射照和时，如果衍射面指数为(HKL),出现的衍射线GT+K+Z?的值如下：简单立方：1,2,3,4,5,6,8,9,10,1

6、1,12,.体心立方：2,4,6,8,10,12,.面心立方:3,4,8,11,12,.金刚石:3,8,11,.解：(1)简单立方不存在消光，厶可任取非负整数(但不同时为0)(HKL)(001)(Oil)(111)(002)(012)(112)(222)(003)(122)(013)3)g=h2+k2+i2)体心立方几何结构因子Fhkl=/1+厂+讯)衍射条件H+K+L=偶数，由J：此限制，在简单立方的列表中去除了G=l,3,5,9-Gbcc=2,4,6,8-面心立方几何结构因子Fhkl=/1+eH+K+厂心+Q+厂曲+。根据上一道题的讨论，衍射条件要求HKL奇偶性相

7、同故列表中只取Gfcc=3,4,8,11金刚石几何结构因子尸盹=/卩+列面心立方因子即除乩K,厶奇偶性相同外，还须要求(H+K+L)/2不能为奇数，由此1)H,K,L全为奇数或it)H,K,L全为偶数，且三者之和是4的整数倍4.4原子氢的形状因子。对基态的氢原子，（电子）数目密度是（r）=（肌Chexp（-2/q）此处a。是玻尔半径。证明形状因子是屁=16/（4+K；诟尸nl8提示：利用积分公式卜严dx=0(1)由题意知（r）=（加；尸exp（-2厂/勺）代入（1）式，得屁=总剧心P(-2g)sinKM，=斤”rexP(2r/4)exp(jK”)一exp(-iKhr)dr28CO=TT-fre

8、xp(iK_2r/aQ)dr-Jrexp(-z7C/zr-2/7ci0)dr心a。oo00利用积分公式jxneaxdx=0得屁=住K2-W-(-+)-2叫%aQ16(4+K：a訝第五讲5.1由J：晶体周期性的限制，证明晶体旋转对称轴的转角只能是2n/n;n=l,2,3,4,6,五种。证：设想有一个对称轴垂直丁平而，平而内晶面的格点可以用/&+厶石來描述绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度（）B点转到3点（B，点必有一个格点）A和B两点等价以通过B点的轴顺时针转过0A点转到A点（A点必有一个格点）且有（n为整数）7（1-2cos（9）1-2cos0=ncosQ:-1+1n=1,0丄2,39=0

9、o,6090120180o因此晶体的宏观対称操作只能是旋转以上五种角度，其转轴分别称为1,6,4,3,2重旋转对称轴。TOC o 1-5 h z缶00、1.11证明六角晶体的介电常数张量为0$20代入00，有-+Cg+”4V该操作也为六角晶体的対称操作，根据D=D,必有因此，介电常数张最可写为证2：设转动操作的变换矩阵为八在该操作下二阶张看的变换为若该操作为对称操作，应满足=因为绕x轴转180度为对称操作,0、0代入上式，有o冬S0、0代入上式，有_1丿0、00、-sin60,可得Jcos6010取对称操作为绕X轴转180度，T=0-1卫再取对称操作为绕y轴转180度，T=0I。兄=0J101

10、0最后，取绕z轴转120度，T=0cos600sin60第六讲讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合能得影响。（排斥势看作不变）解：NaCl为离子晶体，系统内能可写为=*芈+召）平衡位置由（讐）=0确定，有22%1当q-2q,=4rQ因为晶格常数aoc%,故晶格常数满足相同的变化规律n结合能W=-/=4荷若一晶体的相互作用能可以表示为P_n试求（1）平衡间距m（2）结合能W（单个原子的）（3）体弹性模量（4）若1/1=2,11=10/o=3A,W=4eV,求a,卩值。解：（1）由平衡条件dUdrma严事=0,得平衡间距心=（2）将从）理解为晶体中所有其他原子対某一个原子的相互作用则

11、系统总的内能为对所有原子求和U,o,al（r）=-NU（r）2每个原子的结合能W=-U,o,al(r0)/N=一丄”4)=(1-)22r0mn（3）晶体总体积为V=cNr3,其中N为原子数，c是与晶格结构细节有关的常数体弹性模最j2rjtotal“心)1d1d,r（18c0drr2dr存名)1d218c7qdr2A+118%mQn+V）a十（72+1）0f0rna（n一ni）=18c严（4）将数据代入结论（2）,得0=90eV-A3,/?=1.18xl05eV-A102.4经过sp3杂化后形成的共价键，其方向沿立方体的四条对角线，求共价键之间的夹角。解:共价键之间的夹角与立方体的対角线之间的交

12、角相同。za.kc联结位丁原点的格点和位体心的格点，立方体边长以a表示a_4=沙+)7ZrZ7b=(-x+y+z)Zr一a厂一、c=丁()*)Cl=|5|=C=y/Cl/2四面体键之间的夹角盒,久为：cosoah=需=(x+y-Z)*(-A+y+z)=-iab33cos/=-(x+y_Z)(x_y+z)=-ac33cosOhc=-=(-x+y+zy(x-y+t)=-be33所以，髓“严弘=109286.1用中性组合法求二级近似卜的马德隆常数。解：马德隆常数0=工子(nm2n3)(001)(011)(111)(002)(012)(112)(022)(122)(222)离子数m6128624241

13、2248电荷因子z+-+-+-+-边界因子71111/21/21/21/41/8距离d13y/12代入上表中的数值，可得a=1.752第七讲7.1证明惰性气体晶体中原子间的范德瓦尔斯一伦敦相互作用吸引势和原子间距离成反比。证：相距为r的两个惰性气体原子，原子中电子是球对称分布考虑偶极矩作用设原子1的瞬时电偶极矩耳，在r处产生的电场EP|/r原子2在电场的作用I、感应偶极矩P2=aE(ct原子的极化率)两个电偶极子之间的相互作用能E=P1P2/r3=aP13/r626用Lennard-Jones势计算Ne在体心立方和而心立方结构中的结合能Z比。解：Lennard-Jones势为一訥4沁Zr其中N

14、为晶体中的总原子数。由平衡条件dUdr=0,可得结合能W=_)=丄N(4w)2代入书中给出的数据=0.0032,b=2744,免叱=12.13,码“=14.45,A/cc=9.11,A/cc=11.25,得wBCCwffFCC=0.95727刈于恥从气体的测量得到的林纳德一琼斯势参数为e=50XlOerg,。=2.96A，计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能(以仟焦耳每摩尔为单位)，每个氢分子可以当做球形來处理。结合能的实验值为0.751kJ/mol,试与计算值比较。解：以H2为基团，组成fee结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard-Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：t/(r)=l(4)A2(-)12-4(-)62rr其中,Ai2=12.13,As=14.45,=50X10“erg,o=2.96A,N=6.022X1027mol平衡时（）厂2心条12.13弓）