中考数学 专题13 存在性-面积等量问题（解析版）

1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第13节 面积等量问题的存在性 方法点拨面积转化 例题演练1抛物线yx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止求当PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当PCB面积最大时，把抛物线yx+3向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y，在新抛物线y上是

2、否存在点E，使ECB的面积等于PCB的面积若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：抛物线yx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，令x0，y3，C（0，3），令y0，0 x+3，x或x3，B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+3，3k+30，k，直线BC的解析式为yx+3； （2）如图1，设P（m，m2+m+3）（0m3），过点P作PMy轴交BC于M，直线BC的解析式为yx+3，M（m，m+3），PMm2+m+3（m+3）m2+m（m）2+，SPBC（m）2+3（m）2+，m时，SPBC的面积最大，最大值为，即：点P（，），B（3，0），C（0，3），F（，），点M和

3、点F重合，作点P（，）关于y轴的对称点P（，），再作点F（，）关于x的对称点F（，），连接PF交y轴于G，交x轴于H，连接PD，G，H，HF此时PG+GH+HF最小，最小值为PF； （3）如图2，在抛物线yx+3（x）2+4中，令y，x+3，x或x，由平移知，抛物线y向右平移到y，则平移了个单位，y（x2）2+4x2+2，设点E（n，n2+2n），过点E作EQy轴交BC于Q，直线BC的解析式为yx+3，Q（n，n+3），EQ|n2+2n+n3|n25n+6|ECB的面积等于PCB的面积，由（2）知，PM（m）2+，PM最大EQPM最大，|n25n+6|n或n或n或（舍），E（，）或（，）或（，

4、）2如图，抛物线ymx22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点（1）求A，B两点的坐标；（2）是否存在以BM为斜边的RtBCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且SBPQSCMQ，请写出点P的坐标【解答】解：（1）令y0，则mx22mx3m0，即x22x30，解得x11，x23，所以，点A（1，0），B（3，0）； （2）令x0，则y3m，点C坐标为（0，3m），ymx22mx3mm（x1）24m，抛物线的对称轴为直线x1，顶点M坐标为（1，4m），BC232

5、+（3m）29+9m2，BM2（31）2+（4m）24+16m2，MC212+（3m（4m）21+m2，RtBCM以BM为斜边，BC2+MC2BM2，即9+9m2+1+m24+16m2，整理得，m21，解得m1，m0，m1，抛物线的解析式为yx22x3； （3）在（2）的条件下，点C坐标为（0，3），M（1，4），设直线BC的解析式为ykx+b，则，解得，所以直线BC的解析式为yx3，SBPQSCMQ，SBPQ+SBCQSCMQ+SBCQ，即SBPCSBMC，点P到BC的距离等于点M到BC的距离，MPBC，设MP的解析式为yx+c，则1+c4，解得c5，所以，直线MP的解析式为yx5，联立，解

6、得（为点M坐标），所以，点P的坐标为（2，3）3已知抛物线C：yx2+x+2与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D（）求点A，B，K，D的坐标；（）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P，若OPOP，求点P的坐标；（）点E（2，n）在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使QBE的面积是BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（）对于yx2+x+2，令yx2+x+20，解得x1或2，令x0，则y2，则点A、B、K的坐标分别为（1，0）、（2，0）、（0，2），yx2+x+2（x）2+，故点D

7、的坐标为（，）； （）由平移的性质知，平移后的抛物线表达式为y（x）2x2+x，设点P的坐标为（x，x2+x+2），则点P的坐标为（x，x2+x），OPOP，故点P、P关于x轴对称，即（x2+x+2）+（x，x2+x）0，解得x，故点P的坐标为（，）或（，） （）存在，理由：当x2时，nyx2+x+2，即点E的坐标为（2，4），由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为yx2，当点Q在BE上方时，设直线EB交y轴于点P，则点P的坐标为（0，2），取PK的中点M，作直线mBE，则直线m和抛物线的交点即为所求的点Q，由点K、P的坐标得，点M的坐标为（0，0），故直线m的表达式为yx，联立得：x2+x+

8、2x，解得x，则点Q的坐标为（，）或（，）；当点Q在BE的下方时，同理可得，直线n的表达式为yx4，同理可得，点Q的坐标为（，4）或（，4），综上，点Q的坐标为（，）或（，）或（，4）或（，4）4如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求直线BC的解析式；（2）若点P为抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，SABPSABC，求此时点P的坐标（3）若将AOC沿射线CB方向平移，平移后的三角形记为A1O1C1，连接AA1，直线AA1交抛物线于M点，是否存在点C1，使得AMC1为等腰三角形？若存在，直接写出C1点横坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：

9、（1）对于yx22x3，令x0，则y3，令yx22x30，解得x1或3，故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3），设直线BC的表达式为ykx+b，则，解得，故直线BC的表达式为yx3； （2）SABPSABC，则|yP|yC|34，则x22x34，解得x12或1，故点P的坐标为（1，4）或（12，4）或（1，4）； （3）存在，理由：由BC的表达式知，直线BC与x轴的夹角为45，则AOC沿射线CB向右平移m个单位就向上平移了m个单位，则点C1（m，m3），AA1BC，则设直线AA1的表达式为yx+s，将点A的坐标代入上式并解得s1，故直线AA1的表达式为yx+1，联立并解得

10、，即点M的坐标为（4，5），由点A、M、C1的坐标的：AM250，MC12（m4）2+（m8）2，AC12（m+1）2+（，m3）2，当AMMC1时，则AM2（m4）2+（m8）2，解得m6；当AMAC1时，同理可得：m1（舍去负值）；当MC1AC1时，同理可得：m3.5；综上，点C1的横坐标为6+或6或1+或3.55如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：yax2+b1x+c1（a0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：yax2+b2x+c2（a0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、

11、BE相交于F（1）若a，m1，求抛物线l1、l2的解析式；（2）若a1，AFB90，求m的值；（3）如图2，连接DC、EC，记DAC的面积为S1，ECB的面积为S2，FAB的面积为S，问是否存在点C使得2S1S2aS，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）解：（1）将A、C点代入yax2+b1x+c1中，可得：，解得：，抛物线L1解析式为yx2+2；同理可得：，解得：，抛物线L2解析式为yx2x2； （2）如图，过点D作DGx轴于点G，过点E作EHx轴于点H，由题意得：，解得：，抛物线L1解析式为yx2+（4m）x4m；点D坐标为（，），DG，AG；同理可得：抛物线L2

12、解析式为yx2（m+4）x+4m；EH，BH，AFBF，DGx轴，EHx轴，AFBAGDEHB90，DAG+ADG90，DAG+EBH90，ADGEBH，在ADG和EBH中，ADGEBH，化简得：m212，解得：m2； （3）设L1：ya（x+4）（xm）ax2+（4m）ax4ma，L2：ya（x4）（xm）ax2（4+m）ax+4ma，D（，a），E（，a），直线AF的解析式为yx2a（m+4），直线BF的解析式为yx+2a（m4），由，解得，F（m，），2S1S2aS，2（m+4）a（4m）a8a，整理得：（m216）264，m2168，解得m2或2（舍弃），C（2，0）或（2，0）；6如

13、图，抛物线l1：yx2平移得到抛物线l2，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l2的顶点为点B，它的对称轴与l2相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标（2）求点C的坐标，并直接写出S的值（3）在直线AC上是否存在点P，使得SPOAS？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【参考公式：抛物线yax2+bx+c的对称轴是x，顶点坐标是（，）】【解答】解：（1）设l2的函数解析式为yx2+bx+c，把点O（0，0）和点A（4，0）代入函数解析式，得：，解得：，l2表示的函数解析式为：yx2+4x，yx2+4x（x

14、2）2+4，l2的对称轴是直线x2，顶点坐标B（2，4）； （2）当x2时，yx24，C点坐标是（2，4），顶点坐标B（2，4），S即是抛物线l1、l2与x轴组成的面积，S2（4+4）8； （3）存在理由：设直线AC表示的函数解析式为ykx+n，把A（4，0），C（2，4）代入得：，解得：，y2x8，设POA的高为h，SPOAOAh2h4，设点P的坐标为（m，2m8）SPOAS，且S8，SPOA84，当点P在x轴上方时，得4（2m8）4，解得m5，2m82P的坐标为（5，2）当点P在x轴下方时，得4（82m）4解得m3，2m82，点P的坐标为（3，2）综上所述，点P的坐标为（5，2）或（3，2

15、）7如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；（3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；（4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是ykx，代入（3，3），得：3k3，解得：k1，则

16、正比例函数的解析式是：yx；设反比例函数的解析式是y，把（3，3）代入解析式得：k19，则反比例函数的解析式是：y； （2）m，则点B的坐标是（6，），yk3x+b的图象是由yx平移得到，k31，即yx+b，故一次函数的解析式是：yx+； （3）yx+的图象交y轴于点D，D的坐标是（0，），作AMy轴于点M，作BNy轴于点NA的坐标是（3，3），B的坐标是（6，），M的坐标是（0，3），N的坐标是（0，）OM3，ON则MD3+，DN+6，MN3则SADM3，SBDN6618，S梯形ABNM（3+6）则S四边形ABDMS梯形ABNM+SBDN+18，SABDS四边形ABDMSADM； （4）设二

17、次函数的解析式是yax2+bx+，则，解得：，则这个二次函数的解析式是：yx2+4x+；点C的坐标是（，0）则四边形OABD的面积SSABD+SAOD+3假设存在点E（x0，y0），使S1S四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方，y00，S1SOCD+SOCEy0y0，y0，y04，E（x0，y0）在二次函数的图象上，x02+4x0+4，方程无解，不存在8如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分

18、别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是ykx，代入（3，3），得：3k3，解得：k1，则正比例函数的解析式是：yx；设反比例函数的解析式是y，把（3，3）代入解析式得：k19，则反比例函数的解析式是：y； （2）m，则点B的坐标是（6，），yk3x+b的图象是由yx平移得到，k31，即yx+b，一次函数的解析式是：yx； （3）yx的图象交y轴于点D，D的坐标是（0，），作AMy轴于点

19、M，作BNy轴于点NA的坐标是（3，3），B的坐标是（6，），M的坐标是（0，3），N的坐标是（0，）OM3，ON则MD3+，DN+6，MN3则SADM3，SBDN6618，S梯形ABNM（3+6）则S四边形ABDMS梯形ABNM+SBDN+18，SABDS四边形ABDMSADM； （4）设二次函数的解析式是yax2+bx，则，解得：，则这个二次函数的解析式是：yx2+4x；点C的坐标是（，0）则S666334518假设存在点E（x0，y0），使S1S四边形CDOE的顶点E只能在x轴的上方，y00，S1SOCD+SOCE+y0+y0，+y0，y0，E（x0，y0）在二次函数的图象上，x02+4

20、x0，解得：x02或6当x06时，点E（6，）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x06，（舍去）E的坐标是（2，）9如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使OCE的面积S1与OCD的面积S满足：S1S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设正比例函数的解析式

21、为yax，反比例函数的解析式为，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），33a，3，a1，k9，正比例函数的解析式为yx，反比例函数的解析式为y（2）点B（6，m）在反比例函数上，m，B点的坐标为（6，），直线BD是直线OA平移后所得的直线，可设直线BD的解析式为yx+b，将B点代入上面的关系式得：，b，这个一次函数的解析式为yx（3）令yx中的x0得，y，D（0，），令yx中的y0得，x，C（，0），设过A、B、D三点的二次函数的解析式为：yax2+bx+c，将A（3，3）、B（6，）、D（0，）三点代入上面的关系式得：，解得：，过A、B、D三点的二次函数的解析式为：，（4）存在点

22、E，使OCE的面积S1与OCD的面积S满足：S1S，S1S，设E点的坐标为（x，y），y3，将y3代入得：x13，x25，E1（3，3），E2（5，3），将y3代入得：，存在4个点E，E1（3，3），E2（5，3），使OCE的面积S1与OCD的面积S满足：S1S10如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第

23、一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为yk1x（k10），因为yk1x的图象过点A（3，3），所以33k1，解得k11这个正比例函数的解析式为yx设反比例函数的解析式为y（k20），因为y的图象过点A（3，3），所以3，解得k29这个反比例函数的解析式为y （2）因为点B（6，m）在y的图象上，所以m，则点B（6，）设一次函数解析式为yk3x+b（k30），因为yk3x+b的图象是由yx平移得到的，所以k31，即yx+b又因为yx+b的图象过点B（6，），所以

24、6+b，解得b，一次函数的解析式为yx （3）因为yx的图象交y轴于点D，所以D的坐标为（0，）设二次函数的解析式为yax2+bx+c（a0）因为yax2+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，）、和D（0，），所以，解得，这个二次函数的解析式为yx2+4x （4）方法一：交x轴于点C，点C的坐标是（，0），如图所示，连接OE，CE，过点A作AFx轴，交y轴于点F，过点B作BHy轴，交AF于点H，过点D作DGx轴，交直线BH于点G，则S6663334518假设存在点E（x0，y0），使S1S四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，y00，S1SOCD+SOCE，E（x0，y0）在二次函数的图象

25、上，解得x02或x06当x06时，点E（6，）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x06舍去，点E的坐标为（2，）方法二：过点O作BD的垂线，垂足为H，设E（t，），OHCD，OH，SOECDSOEC+SOCD，OABD，SOABD，S1S，t12，t26，E1（2，），E2（6，），E2（6，）在直线CD上，故舍去，E（2，）11如图，抛物线经过点A（6，0），B（2，0），C（0，3），（1）求该抛物线的解析式；（2）过C点作x轴的平行线交抛物线于点D，请直接写出D的坐标；（3）在该抛物线是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线解析式为ya（x+6）（x+2），把C（0，3）代入得a623，解得a，抛物线解析式为y（x+6）（x+2），即yx2+2x+3；（2）CDx轴，C点和D点的纵坐标都为3，当y3时，x2+2x+33，解得x10，x28，D点坐标为（8，3）；故答案为（8，3）；（3）存在设P（x，x2+2x+3），8|x2+2x+33|43，整理得|x2+2x|4，解方程x2+2x4得 x144，x24+4，此时P点坐标为（44，7）或（4+4，7）；解方程x2+2x4得 x1x24，此时E点坐标为（4，