线性代数学习指导线性空间

1、第五章 线性空间一、内容提要.线性空间封锁概念1设丫是一个非空集合P是一个数域.若在丫中概念的加法和数乘运算对集合丫且加法与数乘运算知足线性运算的，八条运算规则则称集合V为数域P上的线性空间.线性空间又称为向量空间,线性空间的元素亦称为向量.设V是数域P上的线性空间,亚是丫的非空子集,若亚关于丫的加法和数乘运算也组成数域P上的线性空间，则称亚为线性空间丫的一个线性子空间，简称子空间.基、维数和坐标概念2若线性空间丫中有门个线性无关向.而没有更多数量的线性无关的向.则称丫是门维线性空间,称丫中门个线性无关的向量为丫的一组基称为丫的维数，记作dimV =n .注 向量组a1, % , a 是丫的一

2、组基oa1,a2, ,%是丫中的门个线性无关向量且丫中的任一贯量a可由 a1,a2, %线性表示.向量组a1,a2,。生成的空间1（%a2,。）的一组基确实是a1,a2, ,a的一个极大无关组，其维数确实 是向量组a , a , , a,的秩.概念3设a ,a , ,a是n维线性空间丫的一组基，a为丫中的任一贯.若 12 na = xa + x a + + x a则称数x1,x2, ,xn为向量a在基a1,a2, ,an下的坐标，记作（xx2, ,xn）.向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情形来确信坐标的形式.概念4设a1,a2, ,a用外P2

3、, , Pn是n维线性空间丫的两组基，且（P1，P2， ，Pn）=（ a1,a2, ,an ） C（1）称C为由基a ,a , ,a到基P , P9, ,p的过渡矩阵,（1）式称为由基a ,a , ,a到基P , R, ,p的基 1212n .12 n12n变换公式定理1 设a1,a2，,a押/, , Pn是n维线性空间丫的两组且由基a1,a2, ,an到基八吃, , Pn的过渡矩阵为C = (c ) 同 ij n二n(,p2, pn ) = ( a1,a2, ,a )C若向量a在这两组基下的坐标别离为,x2,xn)与(y 1, y2,/ ,则3.线性空间同构概念5设V与W都是数域P上的线性空

4、间,若是由丫到W有一个双射(一对应)。，且o具有如下性质:Va, p e 匕 k e Po(a + P) =o(a) + o(P)o (ka)= ko (a)则称线性空间V与W同构，并称o为由V到W的同构映射.注数域P上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2设线性空间V与W同构,o是由线性空间V到W的同构映射，则V中向量a1,a2,as线性相关的充要条件是它们的像o(a1),o(a2),o(a )线性相关. .向量的内积、长度、距离、夹角概念6设V是实数域R上的线性空间，若是在V上概念了一个二元实函数，称为内积，记作(a, P),且它具有以下性质：a, P，丫是V中任意向

5、量/是任意实数(a,p) = (p,a)(k a, p) = k (a, p)(a + p, Y) = (a, Y) + (p, Y)(a,a) 0,当且仅当a = 9 时，(a ,a)= 0那个概念了内积的线性空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间.当Rn的向量为列向量时，上述内积可记为乘积形式(a, P) = atp .当Rn的向量为行向量时，上述内积可记为乘积形式(a, P )=ap t .设a是欧氏空间v中任一向量，称非负实数waar为向量a的长度或模，记作ia 11,即iaii=-a,a).a向量丁是单位向量，将非零向量化为单位向量称为将向量a单位化-用|称为向量a与P的距离，记作d(

6、a,p),即d(a,p) = |a-Pl|.柯西-布捏柯夫斯基不等式：|(a,p)|h|.|p| ,当且仅当a与P线性相关时，等号成立.概念7 设a, p为欧氏空间V中的非零向量，概念a , P的夹角3为=arccos若(a, p) = 0,则称a与p正交(或垂直)，记作alp .向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组.正交向量组必然线性无关.概念8 设a1,a2, ,a是n维线性空间V的一组基，若a1,a2, ,%两两正交且都为单位向量，则称它为V 的一个标准正交基.向量组匕,汽, ,a是n维欧氏空间V中的一组标准正交基的充要条件是()0 , i 丰 j .a ,a = 2的基

7、和维数.分析先找出向量空间V的一组基，即找出一组线性无关的向量，使得V中任一贯量可由这组向量线性表示. 解 在向量空间 V 中取 n -1 个向量a 1 = (1,-1,0,0, ,0), a2 = (1,0,-1,0, ,0),ani = (1,0,0, ,0,-1),显然a1,a2, ,an 1线性无关.对 V中任一贯量a =(x 1,x2,xn),以a1,a2,an1,a为行构造矩阵A,则|a| =-100-1,a ,a线性相关，又因为an-11,a2, ,an1线性无关，因此a可i=1x, nt,a线性表示.n-1故a , a , , a是V的基，V的维数是n -1. 1. 2n-1注

8、 那个向量空间V确实是齐次线性方程组x + x12+ + x =0的解空间，V的一组基确实是齐次线性方程组的 n一个基础解系.例3设t,t , ,t是互不相同的实数，证明向量组a = (1,t,12,tn-1),i = 1,2, ,n是n维向量空间Rn中的一组基.12 n并求出向量p=(b,b, ,b)在这组基下的坐标.分析aa2,a是n维向量空间Rn中的n个向量，只需证明a ,a2, , a n线性无关即可.L. a2t1 t2t21t22t1n-1t n-1,因为t,t , ,t是互不相同的实数, 12 nt2ntn-1) n=n (t -1 )w 0 = a ,a , ,a 线性无关.1

9、 i j nji12ntn-11t n -12tn-1 n因此aa 2,设3在基a1,a2,a下的坐标为(x1，X 2,x ),则有P =x a + x a + + x a1122nn,an是n个线性无关的n维向量，组成n维向量空间Rn中的一组基.,xn因为A可逆，因此(x1, x2,(xx 2,)=PA-1.故P在基aja2,an下的坐标为pa-1.例4设R3中的向量a在基a” -2(011l),a3 = 2下的坐标为1lx3 7，在基P , P , P下的坐标为y ,且（1）求由基B平平到基a ,a ,a的过渡矩阵；（2）求基P平，。.123123解（1）由题有a = (a ,a , a

10、)%1%2%3=(P 平，B) y = (P 平平)-1123n (a1,a2,a3) = (B1, B2, B3) -1I1-110-10223(*),I1-110-102%1 0.12故方程组(*)只有零解k=k =0,将其代入(*),由已知P4 线性无关，得人=入=0. 121212于是得a,a ,p,p线性无关.1212例7将心的一组基气 =1化为标准正交基.OJ解(1)利用施密持正交化方式将其正交化1/2=OC=a()()=OL(%)(P2，P2)(% %)OJ1/23/2-1/2J1/2(21 八2/3-1/2J2/3则% %是正交向量组1/76 一(2)将小昨单位化-1/ E1/

11、V2n2IIP2II2/76-1/6里HP3II1/731/73则n ,T| ,r|为衣3的一组标准正交基. 123(pQ)，其中P,。别离是m , n阶矩阵,O为零矩阵.证明：若A为正交矩阵，则尸和。也是正交矩阵且K为零矩阵.分析用正交矩阵的概念证证由题知At =PtRtAt A =PtOt QtRtYp.因A为正交矩阵，因此PtP + RtR RtQ(EQ)QtRQtQ)上式最后一个等号两边比较得QtQ = e =Q为n阶正交矩阵.PtP + RtR = E 且 R = O=PtP = E =P 是 m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 1.判定全部n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是不是组

12、成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，因此只需查验集合对加法与数乘运算的封锁性.由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩 阵仍然是n阶实对称矩阵，因此集合对矩阵加法与数乘运算封锁，组成实数域上的线性空间.全部正实数R+,其加法与数乘概念为a b = abk a = ak其中a,b e R +,k e Ro判定R+按上面概念的加法与数乘是不是组成实数域上的线性空间.答是.设九,2R.因为 Va, b e R + n a b = ab e R + ,V九 e R, a e R + n 九 a = a 九 e R +,因此R

13、 +对定义的加法与数乘运算封锁.O下面一一验证八条线性运算规律a b = ab = ba = b a ;(a b) c = (ab) c = (ab)c = abc = a (bc) = a (b c);R +中存在零元素1, V a e R +,有a1 = a - 1 = a ;(4)对R +中任一兀素a , 存在负元素a-i e Rn,使a a-i = aa-i = 1 ；(5) 1 a = a1 = a ;(6)九(N a)=九 a=(7)(九+ 以)a = a + = /a = a a*=九 a a ;(8)九(ab) = (ab) = (ab斗=ab = ab九二九a九b. ooo因

14、此R+对概念的加法与数乘组成实数域上的线性空间.OOOO.全部实n阶矩阵，其加法概念为A B = AB - BA按上述加法与通常矩阵的数乘是不是组成实数域上的线性空间.答否.A B = AB - BA,B A = BA - AB = -(AB - BA)j AB与BA不一定相等.故概念的加法不知足加法的互换律即运算规则（1）,全部实n阶矩阵按概念的加法与数乘不组成实数域上 的线性空间.在P 2x2中，W = / |a| = 0, A e P 2.,判断W是否是P 2x2的子空间.答否.例如(1 2、33Jl J)的行列式都为零，(24 l的行列式不为零，也确实是说集合对加法不封锁.习题1.讨论

15、P2x2中(a1 l1J，A2(11l，a、1J，A3 =(1 1、，A4 =(1 1 、J a ,的线性相关性.解 设 % A + % A + % A + % A = O,a% + % + % + % = 0% + a% + % + % = 0234%1 + %2 + a%3 + %4 = 0%1 + %2 + %3 + a%4 = 0a1111a1111a1111a由系数行列式=(a + 3)(a 一 1)3知，a。-3且a牛1时，方程组只有零解,这组向量线性无关;a = -3或a = 1时,方程组有非零解,这组向量线性相关.在R4中，求向量a在基a , a , a , a下的坐标.其中(

16、0、(1、(2、(1、(001111,a =，a =，a =，a =01023304-111l1J0-1v-Jl，JlJlJl La =7解 设 a = % a + % a + % a + % a由(a1a)=2 1 00、(1 0 0 011 1 1 ： 00 10 0： 0初等行变换3 0 -1 ： 00 0 10; -11 0 -1 ： 1 7、0 0 0 1: 07下的坐标为(1,0 , - 1,0 ).(110i1得a =aa133.在P2x2中求a =在基a = 11Ja=2(0 -1、10l1 J J(1 -1、10 O ,(1、0下的坐标.解 设a = %a + % a + %

17、a + % ax + 0 x + x + x = 2x x x + 0 x = 31234x + x + 0 x + 0 x = 41234x + 0 x + 0 x + 0 x = -71111011011001000001023400017112130得 a = -7a+ 11a-21a + 30a .故向量 a在基a , a , a ,a彳下的坐标为（-7, 11,10-1(1)求由基（I）到基（I）的过渡矩阵;4 .已知H3的两组基(1、(I):11k )(II)：1、(2)已知向量a在基a ,a ,a下的坐标为0 ,求a在基p ,p ,p下的坐标；T、(3)已知向量p在基p ,p ,

18、p下的坐标为-1 ,求p在基a ,a ,a下的坐标;(4)解（1）求在两组基下坐标互为相反数的向量Y .设C是由基（I）到基（II）的过渡矩阵，由(p , p , p )= Q ,a ,a ) C3、：1 10 10 0 1：1 110 j、0 0 0C.jr 0111i1100000011-100100-1101-11-11-10 1;3 Jr10 l-01101-11-11-10，1;3 J（2）设多项式fx）在基（I）下的坐标为（牛x2, %, x4 M.据题意有Cx2x3Ix J4,=1 xjx2x3Ix J4n (C - E)I xjx2x3Ix4J=0(*)011 011 01 1

19、 0因为C - E| =01-1 1=-1 -1 1 =0 0 1 = 1一 010 -210 -21 0 -2-11-1 2因此方程组(*)只有零解，则fx)在基(I)下的坐标为(0,0,0,0)T，因此fx) = 0习题证明线性方程组3 x + x - 6 x - 4 x + 2 x = 02 x + 2 x 一 3 x 一 5 x + 3 x = 01234的解空间与实系数多项式空间Rx同构.31 -6 -42)11 -5 -6 8 -6、2 -3 -5 3初等行加给 43 7 5-5 -68-6,0 0 0 0 0 J证明 设线性方程组为AX = 0,对系数矩阵施以初等行变换.(3A

20、= 21R(A) = 2;.线性方程组的解空间的维数是5-R(A) = 3 .实系数多项式空间Rq的维数也是3,因此此线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rq同构.习题.求向量a=(1,1,2,3 )的长度.解IMI = 12 + (-1)2 + 22 + 32 = V15 .求向量0=(1,-1,0,1)与向量。=(2,0,1,3 )之间的距离.解d(a,p)二版一0|=虱1-2)2 + (-1 -0)2 + (0-1)2 + (1-3)2 :、:7.求下列向量之间的夹角a =(1,0,4,3), p=(-1,21,-1)a=(1,2,2,3), p=(3151 )a =(1,1,1,2),

21、 p =(3,1,-1,0)解（1）（a ,） = 1x（-D+ 0 x 2 + 4 x 1 + 3 x（-1）= ，: a, P-=2.（a, P）= 1 x 3 + 2 x 1 + 2 x 5 + 3 x 1 = 18, |a|= 12 + 22 + 22 + 32 = V18,IIP II = 32 +12 + 52 +12 = 6,.a，P ； = arccos=.（a，p） = 1 x 3 +1 x 1 +1 x （-1） + 2 x 0 = 3,iail= V1 +1 +1 + 4 =、行,|p 11= k9 +1 +1 + 0 = 11,/. - a, p ； = arccos

22、=.3.设a, p，丫为n维欧氏空间中的向量，证明：d（a, p） d（a，丫） + d（，p）.证明因为 |a - p II2 = |a -y + -p II2 = （a-y+y-p，a-y+y-p）=（a-y，a-y） + （a-y，y -P） + （y -P，a-y） + （y -P，y -P）=（a-y，a-y） + 2（a-y，y-P） + （y-P，y -P）|a-y|2 + 2 |a-y|H|y-P|+|y-P|2因此假-0|2 （依-丫| + |卜-0|）2,从而d（a，P） d（a，y） + d（y，P）.习题1.在R 4中，求一个单位向量使它与向量组。=G，1，-1，-1）

23、 , a2 =G，-1，-1，1） , a3 = G，-1，1，-1）正交.解 设向量a = （5，%2,%3,%J与向量aa2, a正交,（a, a ） = 0则有 J （a，a） = 0（a，a ） = 0%1 + % 2 - % 3 - %4 = 0即 % - % - % + % = 0（*）.1234% - % + % - % = 0齐次线性方程组（*）的一个解为%1 = %2 = %3 = %4 = 1.取a=（口，1，1），将向量a单位化所得向量a *=（殳，2,2）即为所求.2.将R 3的一组基a1，% = -1化为标准正交基.解（1 ）正交化，取=a(P ,a )-1 x0+2

24、(P ,P)(P,P)-1-0-1(-1)+(- 3)x 1+ (- 3)2(2 )将可以总单位化13131点/ I=*1P6则P *, P *, P *为R 3的一组基标准正交基.3 .求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.分析因齐次线性方程组的一个基础解系确实是其解空间的一组基，因此只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解对齐次线性方程组的系数矩阵实施初等行变换化为行最简阶梯形矩阵(11 -1 1 -3、1 1 -1 0(11 -1 0可得齐次线性方程组的一个基础解系由施密特正交化方式，取p1 刃1=5100ku 7(1/2 )，j % 二1/2100(-1/3 )-1/3I；7将

25、p1? p 2, p3单位化得单位正交向量组p；= *5100ku 7(1/2、(-1/3、1/2Q石-1/31p * 3 2后1/304k丰6.2.由向量a =(1,2,3 )所生成的子空间的维数为向量a =(1,2,3)所生成的子空间的维数为向量组a的秩，故答案为1.3.R 3中的向量 a =(3,7,1)在基 % =(1,3,5), a(6,3,2), % =(3,1,0)下的坐标为依照概念，求解方程组就可得答案.设所求坐标为(x1,x2,x3),据题意有a =为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算(a ,a ,a |a)=初等行变换 154：-82:33因此(x1, x2, x3)= (

26、33,-82,154).4. R冲的基e ,e ,e 到基a =(-2,1,3),a =(-1,0,1),a = (-2,-5,-1)的过渡矩阵为(-2 -1(-2解因为巴,a a3) = % E 2,E 3)1-5 ,因此过渡矩阵为1-1)-101.正交矩阵A的行列式为解 At A = |e| n |a| 2 = 1 n |a| = 1.已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为解5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组(基础解系)含5 s =2个向量,故解空间的维数为2.已知笑二(2,1,1,1),a2 =(2,1,a, a),a3 =(3,2,1,

27、 a),a4 =(4,3,2,1)不是R4的基且a 丰 1,贝Ua 知足解 四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是1,a2,%,a4| = 0,则故答案为a二2二、单项选择题).下列向量集合按向量的加法与数乘不组成实数域上的线性空间的是（A）,0,：0,X )X ,X g R（B）:,x，,x )12 nX + X HF X = 0, X G r12（C）,X，,X )2nX + X FF X = 1, X G R12(D),0,0 )| g R （C ）选项的集合对向量的加法不封锁,故选（C）.12.在P3*3中，由A =V）2生成的子空间的维数为（3J ）).(A) 1(B) 2(C)

28、3(D) 4解向量组A=V2生成的子空间的维数是向量组A的秩，故选（A）.3 73.已知气色色是R3的基,则下列向量组（）是R3的基.(A) a +a ,a +a ,a -a(C) a. +a ,a +a ,aI + 2a +a(B)a + 2a ,2a + 3a ,3a +a(D) a，+a +a ,2a, -3a + 22a 3a. + 5a -5a1 0 1、解因(B )选项中(a + 2a ,2a + 3a ,3a +a )=(a ,a ,a ) I 2 2 0 I 122331123V 0 3 3J1 0 1、又因巴。2。3线性无关且2 2 0可逆，12 3V0 3 37因此 a +

29、 2a ,2a+ 3a3,3%+匕线性无关.故选（B）.4.已知%叱战是R3的基，则下列向量组()不是R3的基. TOC o 1-5 h z (A)a+a ,a +a ,a+a(B)a + 2a,a + 2a,a+ 2a(C)al-a ,a -a ,a.-a(D)a. -2a,a -2a,al-2a解 因(a1-a2) + (ajaj-q-aj = 0,因此(C )选项中向量组线性相关，故选(C). n元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为s,贝U().(A) s=r (B) s=n-r (C) sr (D) sr选(B).已知A, B为同阶正交矩阵，则下列(

30、)是正交矩阵.(A) A+B (B) A-B (C) AB(D) kA (k 为数)解A, B为同阶正交矩阵n AB(AB)t = ABBtAt = AAt = E故选(C).线性空间中，两组基之间的过渡矩阵().(A)必然不可逆 (B)必然可逆 (C)不必然可逆(D)是正交矩阵选(B)(B)1.已知R 4的两组基(II)：, =a +a +a +a , p =a +a +a , p =a +a ,p =a(1)求由基(I)到(I)的过渡矩阵；(2 )求在两组基下有相同坐标的向量.0 0 0、1 0 01101 1 1J解(1)设C是由基(I)到基(I)的过渡矩阵，已知1(P1,P2，P3，P

31、4) = (a1, a 2,a3, a4) 1I1因此由基(II)到基(I)的过渡矩阵为-1 10 -1001000 -1 1J(2)设在两组基下有相同坐标的向量为a ,又设a在基(I)和基(1)下的坐标均为(X1，X2,X3,X4)，由坐标变换公式可得X1X2X3X4X1X2X3X4(E C)X1X2X3X4(*)齐次线性方程(*)的一个基础解系为“=(0,0,0,1),通解为X *= (0,0,0, k) (k g R).故在基(I)和基(II)下有相同坐标的全部向量为a = 0a + 0a + 0a + ka = k a(k g R).2.已知。,a ,a是R 3的基，向量组B , p

32、, p满足B + B =a. +a +a, B+B = a +a , p +p = a +a(1证明Bj P2,日：是R3的基；13求由基B；B：,B3到基aja2,a3的过渡矩阵；求向量a=+ 2a在基Bj B：, B3下的坐标.解(1)由题有0 )1171 1(B1，B2，B3)0 1(1 0 TOC o 1-5 h z 01 0、n (af, *) =(W* -1 -1 2(10 0 J001n(B1，B2，B3)=包1，100111_(222 J10120 01 01 12 2故B15 B2, B3是3个线性无关向量，组成R3的基.(2 )因为0 1 0、(a1，a2, a3)= (B

33、1，B2，B3)-1-12(1 0 0 J0 1 0、因此从基彳平2平3到基a/a2,a3的过渡矩阵为-1 -1 211(1 0 0 7(3) a = a + 2a -a=(a ,a ,a ) 2 =(P ,P 平)-1l-1J因此向量a在基P ,P ,P下的坐标为-5 .123l1 J3.设R4的两组基a1,a2,a3, a4与P1 =(1 )20i0 J123且由基a ,a ,a ,a到基P , P , P ,P的过渡矩阵为1234求基a , a , a , a ；(2)求向量a = aI +a解（1）因为由基a1,a2,a3,因此1-102 2 =(P ,P_,P_) -5人-1JP4

34、二(0)(211011000031022J-2a4在基Pj/ P3,下的坐标.到基P, P , P ,P的过渡矩阵为C =(2100 )11000035l0012J,因此(a ,a ,a ,a ) = (P , P , P , P )C-112321000012(1-10Jl u-1200002-10 )0;3 J(-130000003-7 J(-1)(3)(0)(01000a =,a =,a =,a =10203041l0 Jl0 Jl3 Jl-77(2 ) aa +a+ a - 2a=(a , a ,a ,a )=(P1，P2, P3, P4)112-7 J1 )I11I-2 J=(P1，P2, P3, P4)JI-2 J012向量a =匕+ % + % - 2叱在基彳,R, 4,匕下的坐标为-7)4.证明f (%) = 1 + % + %2, f (%) = 1 + % + 2%2,f (%) = 1 + 2% + 3%2是线性空间尸%的一组基, 并求1 (% ) = 6 + 9 % +14 % 2在这组基下的坐标.证明 设 t f (%) +1 f (%) +1 f (%) = 0,1 12 23 3则有t1(1+ % + %2) +1 (1+ %